专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型（原卷版）

专题04特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。上图中A’是A关于直线m的对称点。例1．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（

）

A． B． C． D．例2．（2023上·山东青岛·八年级校考自主招生）如图，正方形的边长为6，点E，F分别为边，上两点，，平分，连接，分别交，于点G，M，点P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，则下列结论正确的个数是（

）①；②；③的最小值为；④三角形的面积是．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例3．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，是的边的中点，是对角线上一点．若，则的最小值是（

）

A．1 B．2 C． D．4例4．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（

）

A． B． C．10 D．例5．（2023下·湖北武汉·八年级校考期中）如图，在矩形中，，若在上各取一个点M，N，连接，则的最小值为（

）

A．6 B．8 C．12 D．16例6．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（

）

A． B．3 C． D．例7．（2023上·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上且．F是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值．模型2.求多条线段和（周长）最小值【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）台球两次碰壁模型1）已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.2）已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.【最值原理】两点之间线段最短。例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（

）A． B． C． D．例2．（2023.无锡市初三数学期中试卷）方法感悟：如图①，在矩形中，，是否在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决：例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是________；例4．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，，在的同侧，，，，为的中点．若，则长的最大值是（

）

A．8 B．10 C．12 D．14模型3.求两条线段差最大值【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。（2）点A、B在直线m异侧：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’【最值原理】三角形两边之差小于第三边。例1．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为．例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．例3．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为．课后专项训练1．（2023·湖北鄂州·二模）如图，矩形中，，点在上，且，点分别为边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则的最小值为（

）

A．5 B． C． D．2．（2023·河南信阳·校考三模）如图，菱形，，边长为4，点E在上，且，F为对角线上一动点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．43．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，矩形中，，，点E、F分别是、上的动点，，则的最小值是（）

A． B．12 C． D．164．（2023下·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，要使最小，则这个最小值为(

)A． B． C． D．5．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）已知点、，点在轴上，则最大值为（

）A． B． C． D．6．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为（

）

A． B． C． D．7．（2023·重庆北碚·九年级校考开学考试）如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（

）A．B．C．D．8．（2023上·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（

）A． B． C． D．9．（2023下·四川资阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，点P是上一动点，点E是的中点，则的最小值为．

10．（2023·湖南·统考一模）如图，正方形的边长为，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为．11．（2023下·四川成都·八年级校考期中）在中，点为边上一点，将沿着翻折得到，点为中点，连接、，若，，，则的最小值为．

12．（2023下·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，连接，．则，若为线段上一动点，是的中点，则的最小值是．

13．（2023·广西·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，动点，分别从点，以相同的速度同时出发，沿，向终点，运动，连接，，则的最小值是．

14．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，，在的同侧，点A在线段上，，，则的最大值是．

15．（2023上·福建三明·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，点F为中点，点E在对角线上运动，若，则长的最大值为．

16．（2023·湖北·统考二模）如图，已知，正中，，将沿翻折，得到，连接，交于点，点在上，且，是的中点，是上的一个动点，则的最大值为．17．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．

18．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，己知长方体，是棱上任意一点，是侧面对角线上一点，则的最小值是________．

1