专题03 相似三角形重要模型-手拉手模型（原卷版）

专题03相似三角形重要模型-手拉手模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。模型1.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）条件:如图，∠BAC=∠DAE=，；结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.2）手拉手相似模型（直角三角形）条件:如图，，（即△COD∽△AOB）；结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）条件:M为等边三角形ABC和DEF的中点；结论：△BME∽△CMF；.条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；结论：△ABD∽△ACE.例1．（2023秋·福建泉州·九年级校考期末）问题背景：（1）如图①，已知，求证：；尝试应用：（2）如图②，在和中，，，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值；拓展创新：（3）如图③，D是内一点，，，，，求AD的长．例2．（2023秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）【模型呈现：材料阅读】如图，点，，在同一直线上，点，在直线的同侧，和均为等边三角形，，交于点，对于上述问题，存在结论（不用证明）：（1）（2）可以看作是由绕点旋转而成；…【模型改编：问题解决】点，在直线的同侧，，，，直线，交于，如图1：点在直线上，①求证：；

②求的度数．

如图2：将绕点顺时针旋转一定角度．③补全图形，则的度数为______；④若将“”改为“”，则的度数为______．（直接写结论）【模型拓广：问题延伸】如图3：在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值．

图1

图2

图3例3．（2023春·湖北黄冈·九年级专题练习）【问题呈现】和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

(1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；(2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．例4．（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，已知中，，．点D是所在平面内不与点A、C重合的任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转α得到线段，连接、．

(1)如图1，当时，求证：．(2)当时，请判断线段与之间的数量关系是_____，并仅就图2的情形说明理由．(3)当时，且时，若，，点E在上方，求的长．例5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．例6．（2023·山东济南·九年级统考期中）问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形和等腰按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），其中．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：初步探究（1）如图，将等腰绕点按顺时针方向旋转，连接，．请直接写出与的关系；（2）如图，将（1）中的正方形和等腰分别改成菱形和等腰，其中，，其他条件不变，求证：；深入探究：（3）如图，将（1）中的正方形和等腰分别改成矩形和，其中且，其它条件不变．①探索线段与的关系，说明理由；②连接，若，，直接写出________．例7．（2023春·广东·九年级专题练习）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF．（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．课后专项训练1．（2023秋·北京顺义·九年级校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（

）A． B． C． D．22．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点．若，则（

）

A． B． C． D．3．（2023春·浙江丽水·九年级专题练习）如图，在中，过点C作，垂足为点D，过点D分别作，，垂足分别为E，F．连接EF交线段CD于点O，若，，则的值为（

）．A． B．4 C． D．64．（2022·广西梧州·统考一模）如图，在中，，将绕着点B逆时针方向旋转，使点C的对应点落在CA的延长线上，得到，连接，交于点O．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，已知，，，将绕点A顺时针旋转得到，且点G落在对角线上，延长交于点H，则的长为．

6．（2022·安徽·模拟预测）如图，将边长为3的菱形绕点逆时针旋转到菱形的位置，使点落在上，与交于点．若，则的长为．7．（2021·湖南益阳·统考中考真题）如图，中，，将绕A点顺时针方向旋转角得到，连接，，则与的面积之比等于．8．（2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，已知，．(1)求证：；(2)若，，求．

9．（2023·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点P、M．求证：(1)；(2)．

10．（2023秋·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）问题背景：如图，在中，，，是边上的中线，是上一点，将绕点逆时针旋转得到，的延长线交于点．问题探究：（1）当点在线段上时，证明．①先将问题特殊化，如图2，当时，证明：；②再探究一般情形，如图，当不垂直时，证明：；拓展探究：（2）如图3，若的延长线交的延长线于点时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系．

11．（2022·河南·九年级专题练习）规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形．（1）问题联想：如图①，嵌套四边形ABCD，AMPN都是正方形，现把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，连接BM'，DN'交于点O，则BM'与DN'的数量关系为_____，位置关系为_____；（2）类比探究：如图②，将（1）中的正方形换成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，将（1）中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2:1的矩形，旋转角换成α（90°＜α＜180°），其他条件不变，请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系．12．（2023·山东青岛·模拟预测）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．13．（2023秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）问题提出

如图1，在中，，点是边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系.问题探究

（1）先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小；（2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系.问题拓展

将图1特殊化，如图3，当时，若，求的值.

14．（2023春·河南·九年级专题练习）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．

(1)【问题发现】如图1所示，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点P，和的数量关系是；和的位置关系是；(2)【类比探究】如图2所示，点P是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段、于点M、N．①求的度数；②连接交于点H，直接写出的值；(3)【拓展延伸】如图3所示，已知点C为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于N，连接交于M，连接，直接写出线段的最大值．15．（2023秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）类比探究【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则把绕着A逆时针方向旋转，连接和．

①如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________②若，，，则__________．【迁移应用】在中，，，D、E、M分别是、、中点，连接和．①如图3，写出和的数量关系__________；②如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，当D落在上时，连接和，取中点N，连接，若，求的长．

【创新应用】如图5：，，是直角三角形，，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，且，连接，请直接写出的取值范围．

16．（2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习）（1）如图1，正方形和正方形（其中，连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系是，位置关系是．（2）如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由．

17．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）如图，中，，，中，，，连接．

(1)如图1，当平分时，与交于点，