专题02 相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）（原卷版）

专题02相似三角形重要模型--母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；4）共边模型条件:如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；例1．（2023·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的一点，当时，．

例2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．例4．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．例5．（2023·成都市·九年级专题练习）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．例6．（2023·浙江·九年级期末）（1）如图1，在中，为上一点，．求证：．（2）如图2，在中，是上一点，连接，．已知，，．求证：．（3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积．例7．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】（1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：；【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长；【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．

课后专项训练1．（2023秋·广东佛山·九年级校考期中）如图，为中边上一点，则添加下列条件不能判定的是（

）

A．B．C．D．2．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在中，，于点，下列关系中不正确的是（

）

A．B．C．D．3．（2023·云南临沧·统考三模）如图，在中，D是上的点，，，，则与的面积比为（

）

A． B． C． D．4．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（）A．B．C．D．5．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：①平分；

②；

③四边形是菱形；

④其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

6．（2020·广东广州·统考中考真题）如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为．7．（2021·四川南充·中考真题）如图，在中，D为BC上一点，，则的值为________．8．（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为9，则的面积为．

9．（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．(1)证明：；(2)若，求的长．

10．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现：如图1，在中，，．（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．

11．（2023·广东·九年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．12．（2023春·江苏·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．13．（2023·广西梧州·九年级校考阶段练习）如图，已知中，P是AB上一点，连接CP，B=ACP，求证：．14．（2022·江西·统考中考真题）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．(1)求证：；(2)当时，求的长．15．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使．(1)说明．(2)，，求线段AC的长．16．（2022秋·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．17．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长.18．（2021·湖北武汉·统考一模