专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型（原卷版）

专题03平行线中的拐点模型之牛角模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：牛角模型图1图2如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°图1图2∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。例1．（2023下·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，，，平分，，则．

例2．（2023上·广西柳州·八年级校考开学考试）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，，,则的度数是．例3．（2023·成都市·八年级专题练习）如图，，则下列各式子计算结果等于180度的是（

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A． B． C． D．例4．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为．

例5．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线，点为直线，所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，，．求的度数：(2)问题迁移：如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由：(3)问题应用：如图3，，，，求的值．例6．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则=．例7．（2023·广东七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．

（1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由．【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．课后专项训练1．（2023·重庆渝中·统考二模）如图所示，直线，，则（

）

A．58° B．59° C．60° D．61°2．（2023下·贵州毕节·八年级期末）如图，在中，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，则的度数是（）

A． B． C． D．3．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，，点E，F分别在上，G是上方一点，连接，与交于点H，若，则的度数是（）

A． B． C． D．4．（2023上·海南海口·九年级海师附中校考期中）如图，直线，，，则（

）

A． B． C． D．5．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是（

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A．0 B．1 C．2 D．36．（2023下·河南商丘·七年级统考期末）乐乐在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学模型如图所示，已知，则的度数是（

）A． B． C． D．7．（2023下·山西太原·七年级统考期末）如图，已知直线，直线截两条平行线，点是直线上一点，于点．若，则的度数是(

)

A． B． C． D．8．（2023下·重庆·七年级重庆南开中学校考期末）如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（

）.A．30° B．40° C．50° D．65°9．（2023下·四川巴中·七年级统考期末）如图，，将含有的三角板如图放置，顶点D在直线之上，线段，分别与直线交于A，B两点，，则的度数是（

）

A． B． C． D．10．（2023上·河南新乡·七年级统考期末）如图所示，直线，将一个含30度角的直角三角尺按图所示的位置放置（直角顶点在上），若，则的度数为（

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A． B． C． D．11．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：把它抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是．

12．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，交的反向延长线于点，若，且，则度数为．

13．（2023下·贵州毕节·七年级校联考期中）如图，，的顶点，分别落在直线，上，交于点，平分，若，，求的度数．

14．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）（1）如图a所示，，且点E在射线与之间，请说明的理由．（2）现在如图b所示，仍有，但点E在与的上方．请尝试探索，，三者的数量关系．并说明理由．15．（2023下·河南周口·七年级统考期中）如图所示的图形是由和长方形拼成的，在中，，，点A在长方形的边上，与相交于点，与相交于点．(1)如图1，当时，；．(2)如图2，当与不垂直时，猜想与的数量关系，并说明理由．

16．（2023下·山西吕梁·七年级统考期末）如图，直线、被直线所截，交点分别为G，H，．(1)请你添加一个条件，使直线，并说明理由；(2)如图2，在（1）的条件下，作的平分线交于点M，作交于点N，求的度数．

17．（2023下·湖北荆门·七年级统考期中）AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．18．（2023下·江苏·七年级期中）已知直线，点E，F分别在上，O是平面内一点(不在直线、、上)，平分，射线，交于点H．(1)如图①，若，则，(2)如图②，若，则；(3)直接写出点O在不同位置时、和三个角之间满足的数量关系．19．（2023下·重庆九龙坡·七年级统考期末）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．20．（2023下·广东东莞·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，直线和直线，分别交于点，，直线上有一动点．

(1)如图1，点在，之间运动时，，，之间有什么关系，并说明理由；(2)若点在，两点外侧运动时，如图2和图3（点与，不重合），试直接写出，，之间有什么关系，不必写理由．21．（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．

(1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数；(2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数；(3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由．22．（2023下·山东烟台·七年级统考期中）如图1，已知，且，，，若．