对钩函数详解性质图像对比并举例说明I7

主要内容：本文通过对比分析，解析函数y=ax+eq\f(b,cx)当a，b，c的系数符号不同时，并举例以四个函数y₁=68x+eq\f(84,99x),y₂=68x-eq\f(84,99x),y₃=-68x+eq\f(84,99x),y4=-68x-eq\f(84,99x),说明系数符号变化与函数性质的关系，简要画出函数在同一个坐标系下的图像。☆.函数的定义域分析根据y₁=68x+eq\f(84,99x),y₂=68x-eq\f(84,99x),y₃=-68x+eq\f(84,99x),y4=-68x-eq\f(84,99x)函数特征，可知均含有分式，故要求分母不为0，所以4个函数的定义域相同，定义域均为：(-∞,0)∪(0,+∞)。☆.函数的单调性分析由于4个函数均是由一个正比例函数和一个反比例函数的和差函数，可以根据两个函数的单调性综合分析和差函数的单调性。1.对于函数y₂=68x-eq\f(84,99x),是由正比例增函数和反比例减函数的差，所以相当于两个增函数的和，故函数y2整体为增函数。2.对于函数y₃=-68x+eq\f(84,99x)，是由正比例减函数和反比例减函数的和，所以相当于两个减函数的和，故函数y3整体为减函数。3.对于函数y₁=68x+eq\f(84,99x)，y4=-68x-eq\f(84,99x)前后两个函数的单调性不一致，不能简单通过上述方法解析，但可以使用导数来分析单调性。☆.导数分析函数的单调性步骤1.函数y₁=68x+eq\f(84,99x),求函数的一阶导数，有：eq\f(dy,dx)=68-eq\f(84,99x²)=eq\f(68*99x²-84,99x²),令eq\f(dy,dx)=0，即：68*99x²-84=0,所以x=±eq\f(1,561)eq\r(3927)≈±0.11,结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,561)eq\r(3927))∪(eq\f(1,561)eq\r(3927)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＞0，函数为增函数；(2)当x∈[-eq\f(1,561)eq\r(3927),0)∪(0,eq\f(1,561)eq\r(3927)]时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数。2.函数y4=-68x-eq\f(84,99x),是y1的相反函数，故单调性与之相反。同理，结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,561)eq\r(3927))∪(eq\f(1,561)eq\r(3927)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数；(2)当x∈[-eq\f(1,561)eq\r(3927),0)∪(0,eq\f(1,561)eq\r(3927)]时，eq\f(dy,dx)＞0，为增函数。☆.函数的凸凹性1.函数y₁=68x+eq\f(84,99x)有：eq\f(dy,dx)=68-eq\f(84,99x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*84,99x³)=eq\f(2*84,99x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。2.函数y₂=68x-eq\f(84,99x)有：eq\f(dy,dx)=68+eq\f(84,99x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*84,99x³)=-eq\f(2*84,99x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。3.y₃=-68x+eq\f(84,99x)有：eq\f(dy,dx)=-68-eq\f(84,99x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*84,99x³)=eq\f(2*84,99x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。4.y4=-68x-eq\f(84,99x)有：eq\f(dy,dx)=-68+eq\f(84,99x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*84,99x³)=-eq\f(2*84,99x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。☆.函数的极限eq\s(lim,x→-∞)68x+eq\f(84,99x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)68x+eq\f(84,99x)=-∞,eq\s(lim,x→0+)68x+eq\f(84,99x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)68x+eq\f(84,99x)=+∞。eq\s(lim,x→-∞)68x-eq\f(84,99x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)68x-eq\f(84,99x)=+∞，eq\s(lim,x→0+)68x-eq\f(84,99x)=-∞，eq\s(lim,x→+∞)68x-eq\f(84,99x)=+∞，eq\s(lim,x→-∞)-68x+eq\f(84,99x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-68x+eq\f(84,99x)=-∞，eq\s(lim,x→0+)-68x+eq\f(84,99x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)-68x+eq\f(84,99x)=-∞。eq\s(lim,x→-∞)-68x-eq\f(84,99x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-68x-eq\f(84,99x)=-∞eq\s(lim,x→0+)-68x-eq\f(84,99x)=-∞,eq\s(lim,x→+∞)-68x-eq\f(84,99x)=+∞☆.函数的奇偶性按照奇偶性判断方法，可知四个函数y₁=68x+eq\f(84,99x),y₂=68x-eq\f(84,99x),y₃=-68x+eq\f(84,99x),y4=-68x-eq\f(84,99x),均为奇函数。所以，图像关于原点对称,本处以y₃介绍奇偶性判断步骤。∵f(x)=-68x+eq\f(84,99x)∴f(-x)=-68*(-x)+eq\f(84,99*(-x))=68x-eq\f(84,99x)=-[-68x+eq\f(84,99x)]=-f(x).即：f(-x)=-f(x)，所以函数为奇函数，关于原点对称。☆.函数的五点图x(＜0)-0.17-0.14-0.11-0.08-0.0468x+eq\f(84,99x)-16.55-15.58-15.19-16.05-23.9368x-eq\f(84,99x)-6.57-3.460.235.1718.49-68x+eq\f(84,99x)6.573.46-0.23-5.17-18.49-68x-eq\f(84,99x)16.5515.5815.1916.0523.93x(＞0)0.040.080.110.140.1768x+eq\f(84,99x)23.9316.0515.1915.5816.5568x-eq\f(84,99x)-18.49-5.17-0.233.466.57-68x+eq\f(84,99x)18.495.170.23-3.46-6.57-68x-eq\f(84,99x)-23.93-16.05-15.19-15.58-16.55☆.函数的图像示意图四个函数y₁=68x+eq\f(84,99x),y₂=68x-eq\f(84,99x),y₃=-68x+eq\f(84,99x),y4=-68x-eq\f(84,99x)在同一个坐标系下示意图如下所示。其中：红色曲线表示y₁=68x+eq\f(84,99x)图像；绿色曲线表示y₂=68x-eq\f(84,99x)图像；紫色曲线表示y₃=-68x+eq\f(84,99x)图像；黑色曲线表示y4=-68x-eq\f(84,99x)图像。y4=-68x-eq\f(84,99x)y₁=68x+eq\f(84,99x)y₃=-68x+eq\f(84,99x)y₂=68x-eq\f(84,99x)y₃=-68x+eq\f(84,99x) xy₁=68x+eq\f(84,99x)y4=-68x-eq\f(84,99x)☆.主要特性归纳1.函数相反性：函数y₁=68x+eq\f(84,99x)和函数y4=-68x-eq\f(84,99x)在同一个x处的y值互为相反数；函数y₂=68x-eq\f(84,99x)和函数y₃=-68x+eq\f(84,99x)也在同一个x处的y值互为相反数。2.经过的象限：函数y₁=68x+eq\f(84,99x)经过第一和第三象限，函数y4=-68x-eq\f(84,99x)则经过第二、第三象限；函数y₂=68x-eq\f(84,99x)和函数y₃=-68x+eq\f(84,99x)四个象限均经过。3.曲线的交点：函数y₁=68x+eq\f(84,99x)和函数y4=-68x-eq\f(84,99x)分别同另外3条曲线均没有交点;曲线方程y₂=68x-eq\f(84,99x)和函数y₃=-68x+eq\f(84,99x)有公共交点，且有两个交点，交点在x轴上，并互为相反数。4.坐标轴交点：函数y₁=68x+eq\