对钩函数详解性质图像对比并举例说明I5

主要内容：本文通过对比分析，解析函数y=ax+eq\f(b,cx)当a，b，c的系数符号不同时，并举例以四个函数y₁=110x+eq\f(78,178x),y₂=110x-eq\f(78,178x),y₃=-110x+eq\f(78,178x),y4=-110x-eq\f(78,178x),说明系数符号变化与函数性质的关系，简要画出函数在同一个坐标系下的图像。☆.函数的定义域分析根据y₁=110x+eq\f(78,178x),y₂=110x-eq\f(78,178x),y₃=-110x+eq\f(78,178x),y4=-110x-eq\f(78,178x)函数特征，可知均含有分式，故要求分母不为0，所以4个函数的定义域相同，定义域均为：(-∞,0)∪(0,+∞)。☆.函数的单调性分析由于4个函数均是由一个正比例函数和一个反比例函数的和差函数，可以根据两个函数的单调性综合分析和差函数的单调性。1.对于函数y₂=110x-eq\f(78,178x),是由正比例增函数和反比例减函数的差，所以相当于两个增函数的和，故函数y2整体为增函数。2.对于函数y₃=-110x+eq\f(78,178x)，是由正比例减函数和反比例减函数的和，所以相当于两个减函数的和，故函数y3整体为减函数。3.对于函数y₁=110x+eq\f(78,178x)，y4=-110x-eq\f(78,178x)前后两个函数的单调性不一致，不能简单通过上述方法解析，但可以使用导数来分析单调性。☆.导数分析函数的单调性步骤1.函数y₁=110x+eq\f(78,178x),求函数的一阶导数，有：eq\f(dy,dx)=110-eq\f(78,178x²)=eq\f(110*178x²-78,178x²),令eq\f(dy,dx)=0，即：110*178x²-78=0,所以x=±eq\f(1,9790)eq\r(381810)≈±0.06,结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,9790)eq\r(381810))∪(eq\f(1,9790)eq\r(381810)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＞0，函数为增函数；(2)当x∈[-eq\f(1,9790)eq\r(381810),0)∪(0,eq\f(1,9790)eq\r(381810)]时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数。2.函数y4=-110x-eq\f(78,178x),是y1的相反函数，故单调性与之相反。同理，结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,9790)eq\r(381810))∪(eq\f(1,9790)eq\r(381810)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数；(2)当x∈[-eq\f(1,9790)eq\r(381810),0)∪(0,eq\f(1,9790)eq\r(381810)]时，eq\f(dy,dx)＞0，为增函数。☆.函数的凸凹性1.函数y₁=110x+eq\f(78,178x)有：eq\f(dy,dx)=110-eq\f(78,178x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*78,178x³)=eq\f(2*78,178x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。2.函数y₂=110x-eq\f(78,178x)有：eq\f(dy,dx)=110+eq\f(78,178x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*78,178x³)=-eq\f(2*78,178x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。3.y₃=-110x+eq\f(78,178x)有：eq\f(dy,dx)=-110-eq\f(78,178x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*78,178x³)=eq\f(2*78,178x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。4.y4=-110x-eq\f(78,178x)有：eq\f(dy,dx)=-110+eq\f(78,178x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*78,178x³)=-eq\f(2*78,178x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。.函数的极限eq\s(lim,x→-∞)110x+eq\f(78,178x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)110x+eq\f(78,178x)=-∞,eq\s(lim,x→0+)110x+eq\f(78,178x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)110x+eq\f(78,178x)=+∞。eq\s(lim,x→-∞)110x-eq\f(78,178x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)110x-eq\f(78,178x)=+∞，eq\s(lim,x→0+)110x-eq\f(78,178x)=-∞，eq\s(lim,x→+∞)110x-eq\f(78,178x)=+∞，eq\s(lim,x→-∞)-110x+eq\f(78,178x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-110x+eq\f(78,178x)=-∞，eq\s(lim,x→0+)-110x+eq\f(78,178x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)-110x+eq\f(78,178x)=-∞。eq\s(lim,x→-∞)-110x-eq\f(78,178x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-110x-eq\f(78,178x)=-∞eq\s(lim,x→0+)-110x-eq\f(78,178x)=-∞,eq\s(lim,x→+∞)-110x-eq\f(78,178x)=+∞☆.函数的奇偶性按照奇偶性判断方法，可知四个函数y₁=110x+eq\f(78,178x),y₂=110x-eq\f(78,178x),y₃=-110x+eq\f(78,178x),y4=-110x-eq\f(78,178x),均为奇函数。所以，图像关于原点对称,本处以y₃介绍奇偶性判断步骤。∵f(x)=-110x+eq\f(78,178x)∴f(-x)=-110*(-x)+eq\f(78,178*(-x))=110x-eq\f(78,178x)=-[-110x+eq\f(78,178x)]=-f(x).即：f(-x)=-f(x)，所以函数为奇函数，关于原点对称。☆.函数的五点图x(＜0)-0.08-0.07-0.06-0.05-0.03110x+eq\f(78,178x)-14.28-13.96-13.90-14.26-17.91110x-eq\f(78,178x)-3.32-1.440.703.2611.31-110x+eq\f(78,178x)3.321.44-0.70-3.26-11.31-110x-eq\f(78,178x)14.2813.9613.9014.2617.91x(＞0)0.030.050.060.070.08110x+eq\f(78,178x)17.9114.2613.9013.9614.28110x-eq\f(78,178x)-11.31-3.26-0.701.443.32-110x+eq\f(78,178x)11.313.260.70-1.44-3.32-110x-eq\f(78,178x)-17.91-14.26-13.90-13.96-14.28☆.函数的图像示意图四个函数y₁=110x+eq\f(78,178x),y₂=110x-eq\f(78,178x),y₃=-110x+eq\f(78,178x),y4=-110x-eq\f(78,178x)在同一个坐标系下示意图如下所示。其中：红色曲线表示y₁=110x+eq\f(78,178x)图像；绿色曲线表示y₂=110x-eq\f(78,178x)图像；紫色曲线表示y₃=-110x+eq\f(78,178x)图像；黑色曲线表示y4=-110x-eq\f(78,178x)图像。yy4=-110x-eq\f(78,178x)y₁=110x+eq\f(78,178x)y₃=-110x+eq\f(78,178x)y₂=110x-eq\f(78,178x)y₃=-110x+eq\f(78,178x) xy₁=110x+eq\f(78,178x)y4=-110x-eq\f(78,178x)☆.主要特性归纳1.函数相反性：函数y₁=110x+eq\f(78,178x)和函数y4=-110x-eq\f(78,178x)在同一个x处的y值互为相反数；函数y₂=110x-eq\f(78,178x)和函数y₃=-110x+eq\f(78,178x)也在同一个x处的y值互为相反数。2.经过的象限：函数y₁=110x+eq\f(78,178x)经过第一和第三象限，函数y4=-110x-eq\f(78,178x)则经过第二、第三象限；函数y₂=110x-eq\f(78,178x)和函数y₃=-110x+eq\f(78,178x)四个象限均经过。3.曲线的交点：函数y₁=110x+eq\f(78,178x)和函数y4=-110x-eq\f(78,178x)分别同另外3条曲线均没有交点;曲线方程y₂=110x-eq\f(78,178x)和函数y₃=-110x+eq\f(78,178x)有公共交点，且有两个交点，交点在x轴上，并互为相反数。4.坐标轴交点：函数y₁=110x+eq\f(78