第六章计数原理小结教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章计数原理小结教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容教材章节：人教A版选择性必修第三册《数学》高二下学期第六章“计数原理”小结部分。

内容列举：

1.加法计数原理与乘法计数原理的概念及运用。

2.排列组合的基本概念与公式，包括排列数公式和组合数公式。

3.排列与组合在实际问题中的应用，如事件的可能性计算。

4.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的具体应用案例。

5.等可能事件的概率计算方法。

6.利用计数原理解决实际问题，如等差数列中的排列组合问题、几何问题中的计数等。核心素养目标1.培养学生运用数学抽象思维，理解并掌握计数原理的基本概念。

2.发展学生逻辑推理能力，通过实际问题运用排列组合原理进行推理分析。

3.提升学生数学建模素养，能够将实际问题转化为数学模型，运用计数原理解决问题。

4.增强学生数学运算技能，准确运用排列组合公式进行计算。

5.培养学生数据分析观念，通过对计数原理的应用，提升数据分析与解决问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

-学生已经学习过基本的加法和乘法原理。

-掌握了排列和组合的基本概念。

-能够理解和运用简单的排列组合公式。

-在之前的数学学习中，接触过一些概率和统计的基础知识。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

-学生对解决实际问题有较高的兴趣，喜欢通过例子来理解抽象概念。

-学生具备一定的逻辑推理能力，但需要通过练习来提高。

-学生可能偏好直观和具体的学习方式，对公式和理论的学习可能较为抵触。

-部分学生可能对数学问题有较强的探究欲望，愿意挑战更复杂的问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

-在理解和区分排列与组合的概念上可能会混淆。

-应用排列组合公式解决实际问题时，可能难以确定正确的分类或分步方法。

-对于等可能事件的概率计算，可能难以准确判断所有可能情况。

-在处理较为复杂的计数问题时，可能会感到解题思路不清晰，计算过程繁琐。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《数学》人教A版选择性必修第三册教材，以便于学生跟随课程进度学习。

2.辅助材料：准备相关的PPT演示文稿，包含计数原理的概念图、示例题目和解答步骤，以及实际应用案例的图表。

3.实验器材：无需特殊实验器材。

4.教室布置：确保教室环境整洁，每组学生有足够的空间进行讨论和练习。教学过程一、导入新课

1.同学们，上一节课我们学习了排列组合的基本概念和公式。今天，我们将对这一章节进行小结，帮助大家巩固知识，提高解题能力。请大家回忆一下，什么是排列？什么是组合？

二、知识回顾

2.很好，排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列方式，其公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。组合则是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合方式，其公式为C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]。现在，我想请大家翻开教材，我们一起回顾一下这两个公式。

三、重点讲解

3.我们先来看排列组合在实际问题中的应用。请大家看教材第99页的例1，这是一个关于排列组合的典型问题。我们首先要确定这是一个排列问题还是组合问题。同学们，你们觉得这是一个什么问题？

-学生回答后，老师继续引导：正确，这是一个排列问题，因为每个位置上的人都不能相同。那么，我们如何解决这个问题呢？

-学生回答后，老师总结：首先，我们要确定排列的对象和排列的顺序。在这个问题中，我们有5个人要站成一排拍毕业照，所以排列的对象是5个人，排列的顺序是从左到右。接下来，我们按照排列公式计算，P(5,5)=5!/(5-5)!=5!/0!=5!=120。所以，总共有120种不同的站法。

4.接下来，我们来看一个组合问题的例子。请大家看教材第100页的例2。这个问题要求我们从10个人中选出3个人参加比赛，这是一个典型的组合问题。同学们，你们知道如何解决这个问题吗？

-学生回答后，老师继续引导：正确，我们首先要确定这是一个组合问题，因为选出的3个人之间没有顺序关系。那么，我们如何计算组合数呢？

-学生回答后，老师总结：我们使用组合公式计算，C(10,3)=10!/[3!(10-3)!]=120。所以，总共有120种不同的选法。

四、应用拓展

5.现在我们已经掌握了排列组合的基本概念和计算方法，接下来，我们来看一些实际应用的问题。请大家看教材第101页的练习题1和2，尝试运用我们学到的知识来解决这些问题。

-学生解答过程中，老师巡回指导，针对学生的疑问进行解答。

-学生解答完成后，老师邀请几位同学分享他们的解题思路和答案，并进行点评和总结。

五、核心素养培养

6.现在，我想请大家尝试解决一个更复杂的问题。请大家看教材第102页的思考题。这个问题要求我们计算从5个男生和4个女生中，选出3个男生和2个女生组成一个代表队的不同选法。

-学生尝试解答，老师巡回指导。

-学生解答完成后，老师邀请同学分享解题过程，并引导他们运用排列组合的核心素养，如逻辑推理、数学建模等。

六、总结反馈

7.同学们，通过今天的学习，我们巩固了排列组合的基本概念和计算方法，也学会了如何在实际问题中运用这些知识。现在，我想请大家回顾一下今天的学习内容，思考一下我们学到了什么，还有什么地方需要加强。

-学生回答后，老师进行总结：很好，我们学到了排列组合的概念、公式和应用方法，也培养了我们运用数学知识解决实际问题的能力。希望大家在课后能够加强练习，提高自己的解题技能。

七、布置作业

8.最后，我给大家布置一道作业题。请大家完成教材第103页的练习题3。这道题目要求你们运用排列组合的知识解决一个实际问题，希望你们能够独立思考，顺利完成作业。

9.好的，同学们，今天的课就到这里。下课！教学资源拓展1.拓展资源：

-拓展排列组合在实际生活中的应用，例如在统计学、密码学、计算机科学等领域的应用。

-介绍排列组合在解决复杂问题时的策略，如隔板法、插空法等。

-探讨排列组合与概率论的关系，如何利用排列组合计算概率。

-分析排列组合中的特殊问题，如重复排列、圆排列等。

-引入一些经典的排列组合问题，如错位排列（德利克雷问题）、帽子问题等。

-讨论排列组合在解决实际问题时的局限性，以及如何与其他数学工具结合使用。

2.拓展建议：

-鼓励学生在课后阅读相关的数学书籍或文章，了解排列组合在各个领域的应用实例。

-建议学生参与数学竞赛或挑战活动，通过解决实际问题来提高排列组合的应用能力。

-提议学生利用网络资源，如在线教育平台、数学论坛等，与其他学习者交流排列组合的心得和技巧。

-指导学生通过制作思维导图或概念图的方式，梳理排列组合的知识点，加深理解和记忆。

-鼓励学生尝试解决一些经典的排列组合问题，如通过编写程序来计算大数的排列组合数。

-建议学生在日常生活中寻找排列组合的实例，将数学知识应用到实际生活中，增强数学的应用意识。

-提议学生阅读一些数学家的传记或故事，了解排列组合的发展历史和数学家的研究历程。

-鼓励学生参与学校或社区的数学俱乐部，与同学一起探讨排列组合的深层次问题，共同进步。教学反思与总结今天的课堂上，我们一起对“计数原理”这一章节进行了小结。在回顾整个教学过程时，我深感教学既是一门艺术，也是一门科学。以下是我对本次教学的一些反思和总结。

首先，在教学方法上，我尝试采用了启发式教学，引导学生主动思考和探索。例如，在讲解排列组合的概念时，我没有直接给出定义，而是通过一些生活中的实例让学生自己发现规律。这样的方式激发了学生的兴趣，也让他们更加积极参与到课堂中来。但同时，我也发现有些学生在面对复杂问题时，仍然习惯于等待老师的解答，而不是自己动手尝试。这提醒我，在今后的教学中，我需要更加注重培养学生的独立思考能力和解决问题的能力。

其次，在教学策略上，我尽量将抽象的数学概念具体化，通过实际例子帮助学生理解。比如，在讲解排列数和组合数的计算时，我使用了具体的物品和图示，让学生直观地看到排列和组合的区别。这样的策略对于大部分学生来说效果很好，但我也注意到，对于那些空间想象能力较弱的学生来说，可能还需要更多的辅助工具和教学资源。

在课堂管理方面，我尽量营造一个轻松和谐的学习氛围，鼓励学生提问和分享。我发现，当学生感到被尊重和支持时，他们更容易打开心扉，表达自己的想法。然而，我也发现，在课堂讨论中，有些学生可能会dominatingtheconversation，而其他学生则可能因为害怕犯错而保持沉默。为了解决这个问题，我计划在今后的教学中更加注意调动所有学生的积极性，确保每个人都有机会发言。

在教学效果方面，我观察到学生们在知识掌握和技能应用上都有一定的进步。他们能够熟练地运用排列组合的公式解决问题，也能够将计数原理应用到一些实际问题中去。但同时，我也注意到，对于一些较为复杂的问题，学生们还是感到有些困难。这告诉我，我需要在教学中更加注重对学生思维能力的培养，帮助他们构建解决问题的框架。

针对教学中存在的问题和不足，我提出以下改进措施和建议：

1.引入更多的教学辅助工具，如多媒体资源、实物模型等，以帮助学生们更好地理解和掌握抽象的数学概念。

2.设计更多实际案例和练习题，让学生们在解决具体问题的过程中深化对计数原理的理解和应用。

3.在课堂上更加注重学生的参与度，通过小组讨论、同伴教学等方式，让每个学生都有机会参与到课堂活动中来。

4.对学生的个别差异给予更多的关注，为不同水平的学生提供不同层次的学习材料和指导。

5.定期进行教学反思，根据学生的反馈和学习效果调整教学方法和策略。内容逻辑关系①排列组合的基本概念与区别

-重点知识点：排列的定义、组合的定义、排列与组合的区别

-重点词：元素、顺序、选择、不同、相同

-重点句：排列关注元素的顺序，组合关注元素的选择而不关注顺序

②排列组合公式的推导与应用

-重点知识点：排列数公式、组合数公式、排