数学北师大版 九年级上册 第二章 一元二次方程：《用因式分解法求解一元二次方程》教案（含答案）

数学北师大版九年级上册第二章一元二次方程：《用因式分解法求解一元二次方程》教案（含答案）课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计思路本节课旨在让学生掌握用因式分解法求解一元二次方程的方法，通过引导学生观察、分析、归纳，培养学生解决问题的能力。课程设计以课本内容为基础，结合九年级学生的认知水平，按照以下步骤展开：

1.回顾一元二次方程的定义及标准形式，巩固基础知识。

2.通过实例引入因式分解法，引导学生理解其原理。

3.逐步讲解因式分解法的解题步骤，使学生掌握方法。

4.安排练习题，让学生在实际操作中熟练运用因式分解法。

5.总结课堂内容，布置课后作业，巩固所学知识。二、核心素养目标1.培养学生逻辑思维能力和数学抽象能力，通过因式分解法求解一元二次方程的过程，提升学生分析问题和解决问题的能力。

2.增强学生数学运算技能，提高解题效率。

3.培养学生独立思考和合作交流的能力，鼓励学生在小组讨论中分享解题策略和思路。

4.增强学生数学学习的兴趣和自信心，通过解决实际问题感受数学的应用价值。三、学习者分析1.学生已经掌握了关于一元一次方程的解法，了解方程的基本概念，熟悉等式的基本性质，具备了一定的数学运算能力。

2.九年级学生的学习兴趣较为广泛，对于实际生活中的问题具有较强的探究欲望。在数学能力上，学生具备一定的逻辑思维和分析问题的能力，但个体差异较大，部分学生擅长抽象思维，而部分学生则更倾向于直观操作。在学习风格上，学生喜欢互动讨论和小组合作，希望通过实例来理解抽象概念。

3.学生在用因式分解法求解一元二次方程时可能遇到的困难和挑战包括：对因式分解的理解不深，不能熟练运用；在寻找方程的因式时缺乏策略，容易出错；对一元二次方程的根的情况理解不透，容易忽略判别式的应用。此外，部分学生在解题过程中可能会因为计算失误而得到错误的结果。四、教学资源1.硬件资源：多媒体投影仪、计算机

2.软件资源：数学教学软件（如几何画板）

3.课程平台：校园教学管理系统

4.信息化资源：数字教材、在线习题库

5.教学手段：板书、小组讨论、互动式问答五、教学流程1.导入新课（5分钟）

详细内容：通过提问学生已学过的一元一次方程的解法，引导学生思考一元二次方程与一元一次方程的关联。接着，给出一个简单的一元二次方程实例，让学生尝试用已知的解法求解，从而引出一元二次方程的特性和本节课要学习的因式分解法。

2.新课讲授（15分钟）

详细内容：

（1）介绍一元二次方程的定义和标准形式，强调其与一元一次方程的区别。

（2）讲解因式分解法的原理，通过实例演示如何将一元二次方程转化为两个一元一次方程的乘积形式。

（3）逐步演示因式分解法的解题步骤，包括提取公因式、使用公式法等，并强调注意事项和常见错误。

3.实践活动（10分钟）

详细内容：

（1）给出几个一元二次方程，让学生尝试独立使用因式分解法求解。

（2）要求学生板演解题过程，及时给予反馈和指导。

（3）引导学生总结因式分解法的关键步骤，加深对方法的理解。

4.学生小组讨论（10分钟）

详细内容：

（1）讨论一元二次方程的根的情况，例如判别式的应用，根的判别条件。

（2）分析在因式分解过程中可能遇到的问题，如多项式的分解不彻底、计算错误等。

（3）分享解题过程中的经验和技巧，如何避免常见错误，提高解题效率。

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：回顾本节课的主要内容，强调因式分解法求解一元二次方程的步骤和注意事项。通过提问的方式检验学生对因式分解法的掌握程度，并对学生的表现给予肯定和鼓励。最后布置相关的课后作业，巩固所学知识。六、知识点梳理1.一元二次方程的定义与标准形式

-一元二次方程是只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程。

-标准形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。

2.一元二次方程的根的判别式

-判别式Δ=b²-4ac。

-当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

-当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。

-当Δ<0时，方程没有实数根。

3.因式分解法的基本原理

-因式分解法是将一元二次方程左边的多项式分解成两个一次多项式的乘积。

-目标是找到两个数m和n，使得m+n=b且mn=ac，从而将方程转化为(x-m)(x-n)=0。

4.因式分解法的解题步骤

-首先观察方程，确定a、b、c的值。

-对a进行因式分解，若a不为1，则先提取公因数。

-寻找m和n，使得m+n=b且mn=ac。

-将方程重写为(x-m)(x-n)=0的形式。

-分别解两个一次方程x-m=0和x-n=0，得到方程的两个根。

5.因式分解法的特殊情况

-当a=1时，方程可以简化为x²+bx+c=0的形式，此时寻找m和n更为直观。

-当b是偶数时，可以尝试将方程重写为(x+b/2)²=b²/4-ac的形式，然后利用平方差公式分解。

6.因式分解法的应用

-因式分解法不仅用于求解一元二次方程，还广泛应用于多项式的运算和分解中。

-掌握因式分解法有助于解决更复杂的数学问题，如二次函数的图像分析等。

7.常见错误与注意事项

-在寻找m和n时，注意不要忽略方程的对称性，即如果x-m是因式之一，那么x+m也可能是因式之一。

-在计算过程中，注意保持方程两边的平衡，避免计算错误。

-对于一些特殊形式的一元二次方程，如完全平方公式，可以直接利用公式进行分解，避免复杂的计算。

8.实际应用举例

-例如，对于方程x²-5x+6=0，首先找到m和n，使得m+n=-5且mn=6，可以找到m=-2和n=-3，因此方程可以分解为(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3。

-又如，对于方程x²-4x+4=0，这是一个完全平方公式，可以直接分解为(x-2)²=0，解得x=2。七、板书设计1.一元二次方程的标准形式及解法概述

①一元二次方程的标准形式：ax²+bx+c=0（a≠0）

②解法概述：因式分解法

2.因式分解法的步骤与关键点

①因式分解的目标：找到两个数m和n，使得m+n=b且mn=ac

②因式分解的步骤：提取公因数（若a≠1）→寻找m和n→分解为(x-m)(x-n)=0→解两个一次方程

③关键点：确保找到的m和n满足条件，注意方程两边的平衡

3.特殊情况的处理与常见错误

①特殊情况：完全平方公式

②常见错误：忽略方程的对称性，计算错误，忽略判别式的应用

③注意事项：保持方程两边的平衡，对于特殊形式的方程直接利用公式分解八、教学反思今天的课堂上，我讲授了用因式分解法求解一元二次方程的内容。整体来看，学生们对这一新方法的接受度较高，但在教学过程中我也发现了一些值得反思和改进的地方。

首先，导入环节的设计起到了较好的激发兴趣的作用。通过回顾一元一次方程的解法，学生们能够迅速进入学习状态。然而，我也注意到在提问环节，部分学生对于一元二次方程的定义和特点掌握得不够牢固，未来我需要在复习旧知识时更加细致，确保每位学生都能够扎实掌握。

在讲授新课内容时，我按照预定的步骤逐一讲解，并且通过板书和实际例题来演示因式分解法的解题过程。我觉得这一点做得不错，因为学生们能够直观地看到解题的每一步。但是，我也发现有些学生在跟随我解题时，对于寻找m和n的步骤感到困惑。我意识到，我在讲解这一部分时可能没有足够强调思维的灵活性和策略性，未来我需要更多地引导学生去观察和思考，而不是仅仅告诉他们答案。

在实践活动环节，我让学生们独立完成了一些练习题。虽然大多数学生能够按照步骤进行解题，但仍有少数学生在计算过程中出现了错误。这让我思考，是否我在演示时没有充分强调计算的准确性，或者学生们在练习时没有足够的时间去消化和理解。下次上课时，我计划增加一些时间让学生们充分练习，并在旁边提供即时反馈。

小组讨论环节是一个亮点，学生们积极参与，分享了自己的解题策略和遇到的问题。我听到一些学生提出了很好的问题，比如关于如何确定判别式的符号，以及如何处理特殊情况下的一元二次方程。我觉得这个环节增强了学生们之间的交流，也让他们意识到解题不是孤军奋战，而是可以相互学习和帮助的。

最后，在总结回顾环节，我通过提问来检验学生们对本节课内容的掌握程度。大多数学生能够回答出关键知识点，但也有学生显得不够自信。我想，这可能是因为他们对新知识还没有完全吸收。因此，我计划在课后提供一些额外的学习资源，帮助学生们在家中继续学习和巩固。重点题型整理题型一：基础因式分解

题目：解方程x²-5x+6=0。

解答：首先，寻找两个数m和n，使得m+n=-5且mn=6。可以得到m=-2和n=-3。因此，方程可以分解为(x-2)(x-3)=0。解得x=2或x=3。

题型二：提取公因式

题目：解方程4x²-12x+9=0。

解答：首先，可以观察到方程的每一项都可以被4整除，所以先提取公因数4，得到4(x²-3x+2.25)=0。接着，寻找m和n，使得m+n=-3且mn=2.25，可以得到m=-1.5和n=-1.5。因此，方程可以分解为4(x-1.5)²=0。解得x=1.5。

题型三：完全平方公式

题目：解方程x²-6x+9=0。

解答：这是一个完全平方公式，可以直接分解为(x-3)²=0。解得x=3。

题型四：判别式应用

题目：不解方程，判断方程2x²-4x+3=0有几个实数根。

解答：计算判别式Δ=(-4)²-4*2