2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)14-解三角形图形类问题(含详解)

专题14解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例1．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在中，角，，的对边分别为，，且______，作，使得四边形满足，，求的取值范围.例2．（2020·北京·北师大二附中高三期中）如图，四边形中，，，设.（1）若面积是面积的4倍，求；（2）若，求.例3．（江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题）在中，内角的对边分别为，，点在边上，满足，且．(1)求证：；(2)求．例4．（广东省2022届高三二模数学试题）如图，已知△ABC内有一点P，满足．(1)证明：．(2)若，，求PC．例5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面积；(2)若，求．例6．（2022·河南安阳·模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中，，，．(1)若，求的面积；(2)若，求BC．例7．（2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习（理））的内角的对边分别为，设.（1）求；（2）若为边上的点，为上的点，，.求．例8．（2022·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD中，．(1)若，求△ABC的面积；(2)若，，，求∠ACB的值．例9．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，，，且______.(1)证明：；(2)若，求四边形ABCD的面积.例10．（2022·福建·厦门一中高一阶段练习）在平面四边形ABCD中，，，.(1)若△ABC的面积为，求AC；(2)若，，求.例11．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，.(1)当，时，求的面积；(2)当，时，求.题型二：两角使用余弦定理例12．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.(1)证明：，；(2)若，，求的最小值.例13．（2022·湖北武汉·二模）如图，内一点满足.(1)若，求的值；(2)若，求的长.例14．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习）如图，在凸四边形中，已知．(1)若，，求的值；(2)若，四边形的面积为4，求的值．例15．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.例16．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，．(1)证明：；(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积．①；②．注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．例17．（2022·重庆·二模）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.(1)证明：(2)若，，求的最大值.题型三：张角定理与等面积法例18．（广东省2022届高三三模数学试题）已知△ABC中，分别为内角的对边，且.(1)求角的大小；(2)设点为上一点，是的角平分线，且，，求的面积.例19．（2022·湖北武汉·模拟预测）在中，设角，，所对的边分别为，，，且(1)求；(2)若为上的点，平分角，且，，求.例20．（2022·辽宁·高一期中）如图，在中，，，且点在线段上．(1)若，求的长；(2)若，，求的面积．例21．（2022·江苏·华罗庚中学三模）在中，已知.(1)求的值；(2)若是的角平分线，求的长．例22．（2022·山东淄博·三模）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．(1)求函数的解析式；(2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．例23．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积．①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．题型四：角平分线问题例24．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）已知的内角的对边分别为，且(1)求的值；(2)给出以下三个条件：条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：（i）求的值；（ii）求的角平分线的长.例25．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足.(1)求角；(2)角的内角平分线交于点，若，，求.例26．（2022·北京八十中模拟预测）在△ABC中，.(1)求B的值；(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分线BD的长.例27．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在中，D为边BC的中点，的平分线分别交AB，AD于E，F两点．(1)证明：；(2)若，，，求DE．例28．（2022·广东佛山·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知，的平分线交于点，且．(1)求；(2)若，求．例29．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知的内角、、的对边分别为、、，且的面积为．(1)求；(2)若，的角平分线与边相交于点，延长至点，使得，求．题型五：中线问题例30．（2022·广东佛山·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若边上的中线，求的面积.例31．（2022·全国·模拟预测）在中．．(1)求角；(2)若，点是线段的中点，于点，且，求的长．例32．（2022·海南海口·二模）在中，角的对边分别为已知，．(1)求；(2)若，边的中点为，求．例33．（2022·山东·烟台二中模拟预测）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)设D，E分别为边AB，BC的中点，已知的周长为，且，若，求a．例34．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））在中，分别为三个内角的对边，若．(1)求角；(2)若，，D为的中点，求的长度．例35．（2022·湖北·模拟预测）记的内角的对边分别为，若.(1)求角；(2)若，点在线段上，且是线段中点，与交于点，求.例36．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且．(1)求B；(2)若，AC的中点为D，求BD的长．题型六：高问题例37．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，的面积为4，求BC边上的高．例38．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）从①为锐角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若b＝c且BC边上的高AD为2，求CD的长．例39．（2022·北京房山·二模）在中，.(1)求；(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高.条件①：；条件②：；条件③：的面积为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.例40．（2022·山东青岛·一模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角；(2)若，边上的高为，求边．例41．（2022·福建·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，.(1)求角；(2)若，，求边上的高.题型七：重心性质及其应用例42．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图，在△ABC中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线相交于点P．(1)的余弦值．(2)求四边形的面积.例43．（2022·全国·高三专题练习）G是的重心，分别是角的对边，若，则（

）A． B． C． D．例44．（2022·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，点是的重心，且，则的面积为（

）A． B． C．3 D．例45．（2022·全国·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆的面积为，．(1)求；(2)是角的平分线，若，的重心为，求的长．题型八：外心及外接圆问题例46．（2022·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则的值为___________.例47．（2022·江苏·泰兴市第一高级中学高三阶段练习）在中，，，，点为的外心，若，则（

）A． B． C． D．例48．（2022·广东·模拟预测）的内角的对边分别为，且.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.①为的内心；②为的外心；③为的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.例49．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．①O为的内心；②O为的外心．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．(1)求A；(2)若，________，求的面积．例50．（2022·江苏省白蒲高级中学高三阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；，.（1）求的值；（2）若的外心在其外部，，求外接圆的面积.例51．（2022·辽宁·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.(1)若，求外接圆的直径；(2)若，求的周长.例52．（2022·四川·树德中学模拟预测（理））已知的数．(1)求的单调增区间；(2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求外接圆的面积．例53．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知.以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.题型九：两边夹问题例54．（2021•双流区校级模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值是A．2 B． C． D．1例55．（2020•苏州二模）在中，已知边，，所对的角分别为，，，若，则．例56．（2013•成都模拟）在中，若，则角．例57．（2018•如皋市二模）在中，角、、的对边分别为，，，设是的面积，若，则角的值是．题型十：内心及内切圆问题例58．（2022·全国·高三专题练习）的内角，，所对的边分别为，，.(1)求的大小；(2)为内一点，的延长线交于点，________，求的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题.①为的外心，；②为的垂心，；③为的内心，.例59．（2022·安徽·芜湖一中一模（理））已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=(1)求的值；(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．例60．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A为锐角，，，再从条件①：，条件②：，这两个条件中选择一个作为已知.求：(1)角A；(2)的内切圆半径r.例61．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，且．(1)求角和边的大小；(2)求△的内切圆半径．例62．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，是上一点，平分.(1)求证：；(2)若，，，求的内切圆面积.例63．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在中，分别为角的对边，且.（1）求角；（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.例64．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（1）求函数的对称轴；对称中心；单调递增区间；（2）在中，分别是所对的边，当时，求内切圆面积的最大值.例65．（2022·河南南阳·高三期末（理））在中，.(1)求A；(2)若的内切圆半径，求的最小值.例66．（2022·陕西·模拟预测（文））已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，设O为的内心，则的面积为_________．例67．（2022·全国·高三专题练习）已知点O是ABC的内心，若，则cos∠BAC=（

）A． B． C． D．

专题14解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例1．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在中，角，，的对边分别为，，且______，作，使得四边形满足，，求的取值范围.【答案】.【解析】【分析】根据题意，选择①②③求得，设，则，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，结合和三角函数的性质，即可求解.【详解】若选①：由，根据正弦定理可得，即，即，可得，因为，所以，设，则，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因为，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，所以的取值范围是.选②：由，根据正弦定理可得，可得，即，又由余弦定理，可得，因为，所以，设，则，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因为，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，所以的取值范围是.若选③：由，可得，即，可得，因为，所以，设，则，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因为，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，所以的取值范围是.例2．（2020·北京·北师大二附中高三期中）如图，四边形中，，，设.（1）若面积是面积的4倍，求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设AC＝a，可求ABa，AD＝asinθ，CD＝acosθ，由题意S△ABC＝4S△ACD，利用三角形的面积公式即可求解；（2）在△ABD中，△BCD中，分别应用正弦定理，联立可得2sin（θ）＝3sinθ，利用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】（1）设，则，，，由题意，则，所以.（2）由正弦定理，中，，即①中，，即②①÷②得：，化简得，所以.例3．（江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题）在中，内角的对边分别为，，点在边上，满足，且．(1)求证：；(2)求．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）分别在和中利用正弦定理表示出，，代入已知等式化简整理即可得到结果；（2）根据，在和利用余弦定理可整理得到；在中，利用余弦定理可得，进而得到，代入中即可求得结果.(1)，，；在中，由正弦定理得：；在中，由正弦定理得：；又，，即，.(2)在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；，，即，整理可得：；在中，由余弦定理得：，则，，，即；.例4．（广东省2022届高三二模数学试题）如图，已知△ABC内有一点P，满足．(1)证明：．(2)若，，求PC．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理得，即，即要证明即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；（2）由题意求得，继而求得，在中利用余弦定理求得，即可求得答案.(1)证明：在△ABP中，由正弦定理得，即，要证明，只需证明，在△ABP中，，在△ABC中，，所以，所以，所以．(2)由（1）知，又因为，，所以，由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以，则，所以在△PBC中，，由正弦定理得，即，即．由余弦定理得，由题意知，故解得，所以．例5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面积；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】(1)中，利用含的余弦定理表达式建立BC的方程，求出BC而得面积，再利用面积关系求的面积得解；(2)由题设中角的信息用表示出与中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得的方程，解之即得.【详解】(1)设，在中，由余弦定理得：，即，而x>0，解得，所以，则的面积，梯形中，，与等高，且，所以的面积，则梯形的面积；(2)在梯形中，设，而，则，，，，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，两式相除得：，整理得，即解得或，因为，则，即．例6．（2022·河南安阳·模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中，，，．(1)若，求的面积；(2)若，求BC．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据求得，再结合求解即可（2）设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可(1)由可得，又故，故(2)设，则，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化简得，即，利用降幂公式有，利用辅助角公式有，故，利用诱导公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故例7．（2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习（理））的内角的对边分别为，设.（1）求；（2）若为边上的点，为上的点，，.求．【答案】(1)；(2)2【解析】【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，利用余弦定理即可求解；（2）设，将三角形中其余角用表示出来，结合，表示边长，即可解出.【详解】（1）由，得，即∴；（2）令，则在中，由正弦定理得：，即在中，由正切定义：在中，由正切定义：，∴例8．（2022·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD中，．(1)若，求△ABC的面积；(2)若，，，求∠ACB的值．【答案】(1)(2)∠ACB=【解析】【分析】（1）依据题意求得角，利用正弦定理去求△ABC的面积；（2）利用正弦定理解三角形即可求得∠ACB的值．(1)在△ABC中，，因为，所以．．(2)设，则，，．在△ACD中，由，得．在△ABC中，由，得．联立上式，并由得，整理得，所以，因为，所以，所以，解得，即∠ACB的值为．例9．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，，，且______.(1)证明：；(2)若，求四边形ABCD的面积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）选择①，由正弦定理及角度关系推出及，结合两角和的正弦公式及诱导公式，进行证明；选择②，利用正弦定理推导出，直接利用两角和的正弦公式及诱导公式即可推出结论；选择③，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到，，使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；（2）在证明出第一问的基础上，设出边长，利用余弦定理求出的长及角的正弦值，进而利用面积公式进行求解.(1)方案一：选条件①.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以.因为，，所以，即，所以，所以.方案二：选条件②.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因为，所以，因为，所以.因为，所以.因为，，，所以，即，所以，所以.方案三：选条件③.因为，，且，，所以在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因为，所以，因为，所以，因为，所以.因为，，所以，即，所以，所以.(2)选择①②③，答案均相同，由（1）可设，则，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，因为，所以，解得或（舍去），所以，所以，所以四边形ABCD的面积.例10．（2022·福建·厦门一中高一阶段练习）在平面四边形ABCD中，，，.(1)若△ABC的面积为，求AC；(2)若，，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）应用三角形面积公式有，可求，由余弦定理即可求；（2）设，在中，在△中应用正弦定理有，即可求，得解.(1)在△中，，，∴，可得，在△中，由余弦定理得，.(2)设，则，在中，，易知：，在△中，由正弦定理得，即，，可得，即.例11．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，.(1)当，时，求的面积；(2)当，时，求.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.（2）在和中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答.(1)当时，在中，由余弦定理得，即，解得，，因为，则，又，所以的面积是.(2)在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，则，整理得，而，为锐角，所以.题型二：两角使用余弦定理例12．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.(1)证明：，；(2)若，，求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据题意得到，，由正弦定理得到，，两式相除得到，进而得到，，根据余弦定理，并代入化简，即可求解.（2）根据，得到，结合基本不等式求得，进而求得，即可求解.(1)解：在和中，可得，，所以，，由正弦定理，得，，两式相除得，可得，，又由，根据余弦定理得所以代入可得.(2)解：由，及，可得根据基本不等式得，解得，当且仅当时等号成立，又由，，可得，所以的最小值是3.例13．（2022·湖北武汉·二模）如图，内一点满足.(1)若，求的值；(2)若，求的长.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出，再利用余弦定理求出，利用同角三角函数基本关系式求出，最后利用两角差的正弦公式计算即可（2）设，在与采用余弦定理与正弦定理，然后利用与的关系列出关于的方程，解出即可(1)，此时.在中，，又，故所以(2)设，在中，.在中，，代入得：.又，故.即，解得：，所以.例14．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习）如图，在凸四边形中，已知．(1)若，，求的值；(2)若，四边形的面积为4，求的值．【答案】(1)；(2)﹒【解析】【分析】(1)△中求出BD，在△中，由正弦定理求出，根据即可求；(2)在△、△中，分别由余弦定理求出，两式相减可得cosA与cosC的关系式；又由的sinA与sinC的关系式；两个关系式平方后相加即可求出cos(A＋C)﹒(1)在△中，∵，∴．在△中，由正弦定理得，，∴．∵，∴，∴．(2)在△、△中，由余弦定理得，，，从而①，由得，②，得，，∴．例15．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即．又因为，所以．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因为，所以，解得或，当时，（舍去）．当时，．所以．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即，而，即，故有，从而．由，即，即，即，故，即，又，所以，则．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化简得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作，交于点E，则．由，得．在中，．在中．因为，所以，整理得．又因为，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为，所以．以向量为基底，有．所以，即，又因为，所以．③由余弦定理得，所以④联立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则．由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设，则．⑤由知，，即．⑥联立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．例16．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，．(1)证明：；(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积．①；②．注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；（2）选①，根据同角三角形的平方关系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的定义，结合三角形的面积公式即可求解；选②，设出，根据勾股定理，得出，结合已知条件得出，利用锐角三角函数的定义，得出角，进而得出角，再利用三角形的面积公式即可求解.(1)因为，所以，故；(2)选①．因为，所以在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得所以，故，在中，因为，所以，又．选②，设，则，在中，，由（1）得，解得，即在中，则,，所以，所以．所以.例17．（2022·重庆·二模）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.(1)证明：(2)若，，求的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）设，利用余弦定理求得，，再根据，化简，可求得，同理可求得，即可得证；（2）利用余弦定理求得，，再根据结合（1）求得，设，可求得，再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案.(1)证明：设，由余弦定理知：，，由是外心知，而，所以，即，而，因此，同理可知，因此，所以；(2)解：由（1）知，由余弦定理知：，，代入得，设，则，因此，当且仅当时取到等号，因此的最大值为.题型三：张角定理与等面积法例18．（广东省2022届高三三模数学试题）已知△ABC中，分别为内角的对边，且.(1)求角的大小；(2)设点为上一点，是的角平分线，且，，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案（2）先利用三角形的面积关系解出，再根据三角形面积公式计算答案即可(1)在△ABC中，由正弦定理及得：，..由余弦定理得，又，所以(2)是的角平分线，，由可得因为，，即有，，故例19．（2022·湖北武汉·模拟预测）在中，设角，，所对的边分别为，，，且(1)求；(2)若为上的点，平分角，且，，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行角化边整理得，再结合余弦定理；（2）利用等面积，整理得，再由角平分线的性质代入计算．(1)因为，所以由正弦定理可得：，整理得.由余弦定理得：又因为所以(2)由（1）知.又因为平分角，所以.由得.即.又因为，，所以.再由角平分线的性质可知：例20．（2022·辽宁·高一期中）如图，在中，，，且点在线段上．(1)若，求的长；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出的值，求出和，利用正弦定理可求得的长；（2）由已知可得出，结合三角形的面积公式以及已知条件可求得、的长，利用余弦定理可求得的长，进而可求得的长，再利用三角形的面积公式可求得结果.(1)解：，，则，，解得，，，，在中，由正弦定理可知得.(2)解：由得，所以，因为，，所以，，在中，由余弦定理得，即，得，所以，.例21．（2022·江苏·华罗庚中学三模）在中，已知.(1)求的值；(2)若是的角平分线，求的长．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先利用余弦定理求出边的长，再利用正弦定理求出（2）利用三角形的面积公式及面积关系，建立关于边的关系式求解即可得到答案(1)在中，由余弦定理整理得解得或由于，所以因为，所以，所以由正弦定理得：，故(2)设，由及三角形的面积公式可得：整理得在中，由余弦定理由得则例22．（2022·山东淄博·三模）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．(1)求函数的解析式；(2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）应用降幂公式及辅助角公式可得，根据相邻的最高、最低点距离、勾股定理求得，即可得解析式.（2）由已知有，根据及三角形面积公式可得，再应用余弦定理求，进而可得的长．(1)因为，设函数的周期为，由题意，即，解得，所以.(2)由得：，即，解得，因为，所以，因为的平分线交于，所以，即，可得，由余弦定理得：，，而，得，因此.例23．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积．①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简，再根据三角形中角的范围可求得；（2）若选①：利用三角形面积关系和余弦定理求得，然后根据面积公式即可；若选②：根据中点的向量关系式并同时平方，结合余弦定理求得，然后根据面积公式即可.(1)由正弦定理知：又：代入上式可得：，则故有：又，则故的大小为：(2)若选①：由BD平分得：则有：，即在中，由余弦定理可得：又，则有：联立可得：解得：（舍去）故若选②：可得：，，可得：在中，由余弦定理可得：，即联立解得：故题型四：角平分线问题例24．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）已知的内角的对边分别为，且(1)求的值；(2)给出以下三个条件：条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：（i）求的值；（ii）求的角平分线的长.【答案】(1)；(2)条件正确，(i)；(ii).【解析】【分析】(1)根据两角和与差的正弦公式、辅助角公式化简计算可得，即可求得B；(2)利用余弦定理即可推出条件①不正确；根据三角形面积公式和余弦定理求出，结合正弦定理即可求出，再次利用正弦定理可得，解方程组即可.(1)，，，，得Z，由，得；(2)若条件①正确，由，得，由余弦定理，得，即，解得不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确；(i)由，，得，解得，由余弦定理，得，因为，所以，由正弦定理，得，即；(ii)由正弦定理，得，即，因为平方，，所以，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，又，上述两式相除，得，解得，所以.例25．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足.(1)求角；(2)角的内角平分线交于点，若，，求.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）先由正弦定理及切化弦得，结合角的范围，即可求解；（2）先由结合面积公式求得，再由余弦定理求得的值，再由正弦定理求出即可.(1)由正弦定理及切化弦可得，又，则，即，又，则；(2)，又，，可得，又由余弦定理得，解得（负值舍去），则，可得或，又，显然当或12时，的值相同，不妨设，则，由正弦定理得，可得，又，可得.例26．（2022·北京八十中模拟预测）在△ABC中，.(1)求B的值；(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分线BD的长.【答案】(1)；(2)（i），（ii）.【解析】【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值.（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，再应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求，由角平分线性质求得、，再根据正弦定理求BD的长.(1)由题设，而，所以，故.(2)若①②正确，则，得或，所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，若②③正确，则，可得，即②为错误条件；综上，正确条件为①③，（i）由，则，即，又，可得，所以，可得，则，故，（ii）由角平分线的性质知：且，在△中，则.例27．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在中，D为边BC的中点，的平分线分别交AB，AD于E，F两点．(1)证明：；(2)若，，，求DE．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）在中与中，分别运用正弦定理可求解；（2）根据同角三角函数的平方关系及商数关系得相关的三角函数值，再运用直角三角形中的三角函数关系得相关边长，最后运用余弦定理可求解.(1)在中，由正弦定理可知，且在中，由正弦定理可知，因为D为BC中点，即，所以，即．(2)当时，可知，，又因为，且为锐角，所以，所以，，因为，所以，，，，，由余弦定理可知，可得．例28．（2022·广东佛山·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知，的平分线交于点，且．(1)求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用等面积法结合已知条件可求得的值，再利用余弦定理可求得的值.(1)解：由及正弦定理可得，、，则，所以，，解得，所以.(2)解：因为，即，所以，因为，则，所以，所以.例29．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知的内角、、的对边分别为、、，且的面积为．(1)求；(2)若，的角平分线与边相交于点，延长至点，使得，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理结合三角形的面积公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）令，利用余弦定理可求得，求出，然后在中，利用余弦定理可求得．(1)解：由题可知，所以，由余弦定理，所以，可得，因为，所以.(2)解：不妨令，因为，可得，，又因为为的角平分线，所以，，得，所以在中，由余弦定理可得，即，在中，可得，，所以，为等边三角形，所以，在中，由余弦定理可得，得．题型五：中线问题例30．（2022·广东佛山·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若边上的中线，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为，再利用两角和的正弦公式求解；（2）在中，由余弦定理得到，然后分别在和中，利用余弦定理结合，两式相加得到，联立求得c，再利用三角形面积公式求解.(1)解；因为，所以，所以，即，因为，所以，所以；(2)在中，由余弦定理得，即①，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，两式相加得②，由①②得，所以.例31．（2022·全国·模拟预测）在中．．(1)求角；(2)若，点是线段的中点，于点，且，求的长．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简可得，由此可求得；（2）利用面积桥可求得，利用余弦定理求得后可得，由勾股定理可得结果.(1)，；，，，解得：.(2)是中点，，又，解得：；在中，由余弦定理得：，，则，.例32．（2022·海南海口·二模）在中，角的对边分别为已知，．(1)求；(2)若，边的中点为，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据已知条件及正弦定理即可求解；（1）根据已知及线段中点的关系，结合余弦定理即可求解.(1)在中，由正弦定理，得．(2)由及，得，中，由余弦定理，得，即，解得或（舍），所以，又因为边的中点为，所以即，在中，由余弦定理得，所以．例33．（2022·山东·烟台二中模拟预测）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)设D，E分别为边AB，BC的中点，已知的周长为，且，若，求a．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将边转化成角，然后用辅助角公式，即可求解.（2）在，分别用余弦定理表示出，根据，可得边长的关系，进而根据周长即可求解.(1)由正弦定理，得，∵A，B，C为的内角，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，易知，∴，即．(2)设，，则，，在中，由余弦定理，得，在中，同理有，∵，∴，即，整理得，解得或，∵，即，∴，且，∵的周长为，∴，∴，∴．例34．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））在中，分别为三个内角的对边，若．(1)求角；(2)若，，D为的中点，求的长度．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理边角互化可得，即得；（2）利用和角公式及正弦定理，然后利用余弦定理可得.(1)在中，由余弦定理知：，由正弦定理知：，得,,得：，因为，所以，又因为.(2)，所以，由正弦定理知，所以，在中，由余弦定理知：，所以.例35．（2022·湖北·模拟预测）记的内角的对边分别为，若.(1)求角；(2)若，点在线段上，且是线段中点，与交于点，求.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理可得，即得；（2）利用余弦定理可得，进而可得，然后利用和角公式可得，即得.(1)∵，∴，即，又，∴；(2)由题可知，，∴，∴，又，∴，∵，，∴，∴，，∴.例36．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且．(1)求B；(2)若，AC的中点为D，求BD的长．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）通过正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可求角B；（2）利用中线与相邻两边的向量关系式结合已知可求得BD的长．(1)因为，由正弦定理可得：，，，因为，所以，所以，又(2)，两边平方可得，即，所以.题型六：高问题例37．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，的面积为4，求BC边上的高．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由余弦定理化简可得答案；（2）由三角形的面积公式可得b值，由余弦定理可得a值，结合面积公式可得高.(1)，即．，，．又，．(2)，．故由余弦定理可知．而，解得，所以BC边上的高为．例38．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）从①为锐角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若b＝c且BC边上的高AD为2，求CD的长．【答案】(1)条件选择见解析，(2)【解析】【分析】（1）在三角形中，运用正余弦定理，实现边角互化即可求解.（2）根据三角形的面积公式可得的关系，在中运用余弦定理可求出的值，然后根据边的长度用余弦定理求角，即可求解.(1)选①因为，所以，由余弦定理得，，所以，即由正弦定理得在中，有，故由A为锐角，得选②因为b＝2asin(C＋)，由正弦定理得即

化简得在中，有，由A为锐角得，所以，得(2)由题意得，，所以，又b＝c，所以由余弦定理，解得所以，，所以是钝角三角形所以，所以在直角中，例39．（2022·北京房山·二模）在中，.(1)求；(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高.条件①：；条件②：；条件③：的面积为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】（1）方法一：根据正弦定理，结合内角和与两角和的正弦公式化简即可；方法二：利用余弦定理化简即可（2）选①则不合题意；选②：根据则可得，再根据两角和的正弦公式可得，再根据高计算即可；选③：根据面积公式可得，进而用余弦定理求得，再结合面积公式求解高即可(1)方法一：在中，因为，所以由正弦定理可得.因为，所以.所以.在中，，所以，所以.方法二：在中，因为，由余弦定理得，整理得所以，所以.(2)选条件②：由（1）知因为在中，，所以又，所以所以设边上高线的长为h，则.选条件③：因为所以，由余弦定理得所以.设边上高线的长为h，则例40．（2022·山东青岛·一模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角；(2)若，边上的高为，求边．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理求得，由此求得.（2）结合三角形的面积公式、余弦定理求得.(1)因为，所以，所以由正弦定理得，所以由余弦定理得，因为，所以.(2)由三角形面积公式得，，所以，即，由余弦定理得，将代入上式得，解得或（舍），所以边.例41．（2022·福建·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，.(1)求角；(2)若，，求边上的高.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角变换公式可求.（2）利用正弦定理及三角变换公式可得，再利用余弦定理可得，结合等积可求边上的高.(1)由正弦定理可得，故即：，所以，而为三角形内角，故，所以，而为三角形内角，故.(2)因为，所以，而，即，所以，其中为三角形外接圆的半径.所以即.所以，故，所以，其中为边上的高，故.题型七：重心性质及其应用例42．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图，在△ABC中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线相交于点P．(1)的余弦值．(2)求四边形的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据余弦定理可求出边BC的长度，然后判断出三角形ABC为等腰三角形，进而可得中线AM的长度，再由余弦定理可求出余弦值，进而根据两角和的余弦公式即可求解.（2）由三角形的面积公式即可求解.(1)在中，由余弦定理可知：,即故,,是等腰三角形，故在中，由余弦定理可知：即,在中，由正弦定理可知：因为为锐角，所以(2)由（1）知：是的重心，所以,故所以四边形的面积为例43．（2022·全国·高三专题练习）G是的重心，分别是角的对边，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由G是的重心，得，可令，可求得，再运用余弦定理计算可得选项.【详解】因为G是的重心，所以，又，可令，解得，所以，故选：C.例44．（2022·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，点是的重心，且，则的面积为（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】【分析】边化角可以算出A，利用三角形重心的几何性质和余弦定理可以求出C即可.【详解】由题意作图如下：设BC边的中点为D，由题根据正弦定理可得：，由于，，，；有三角形的几何性质得，，又在和中分别运用余弦定理，得，得，，解得，∴；故选：B.例45．（2022·全国·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆的面积为，．(1)求；(2)是角的平分线，若，的重心为，求的长．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据三角形的外接圆的面积为，可得外接圆的半径的长，可得，根据正弦定理可得，利用余弦定理，可得的值，并结合的取值范围即可得的值；（2）根据内角的平分线定理可得，设，∴，再利用余弦定理可以求出，的值，设为的中点，连接，根据为的重心结合平面向量的基本定理计算出的长，从而求出的长．(1)的外接圆的面积为，可得外接圆的半径为1，可得，由，可得，根据正弦定理可得，即，∴．∵，∴．(2)∵，∴．根据，易得，设，∴，根据余弦定理可得，解得，∴，．设为的中点，连接，，，可得，∴，∴．题型八：外心及外接圆问题例46．（2022·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】设外接圆的半径为，由已知条件可得，即且，取的中点，连接可得，计算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解.【详解】设外接圆的半径为，因为，所以，所以，且，取的中点，连接，则，因为，所以，即，所以，在中由余弦定理可得：，在中，由正弦定理可得：，故答案为：.例47．（2022·江苏·泰兴市第一高级中学高三阶段练习）在中，，，，点为的外心，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出，再求出，得到,（1），同理得到，（2），解之即得解.【详解】由题得,由余弦定理得，所以，因为点为的外心，所以,所以,（1）同理,（2）解（1）（2）得.故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是找到关于的方程，其中一个是根据平面向量的数量积定义得到方程，另外一个是平面向量的线性运算和数量积的运算得到方程.例48．（2022·广东·模拟预测）的内角的对边分别为，且.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.①为的内心；②为的外心；③为的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)选①：；选②：；选③：.【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得角；（2）选①，由余弦定理求得，由面积公式求得三角形面积，再结合内切圆半径表示三角形面积求得内切圆半径，即可求面积；选②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圆半径，由圆周角定理和圆心角定理求得，直接由面积公式计算出面积；选③，由余弦定理求得，利用三角形重心的性质，即重心和三角形的三个顶点组成的三个三角形面积相等，用三角形面积公式求解的面积即可.(1)因为，由正弦定理得，，，三角形中，，所以，，则，所以，；(2)选①O为的内心，如图，分别是内切圆在各边上的切点，在中由余弦定理得，，设内切圆半径为，则，，所以；选②O为的外心，在外部，如图，外接圆上，由（1），所以，在中由余弦定理得，，，．选③O为的重心，如图，分别是各边上的中点，在中由余弦定理得，，由三角形重心的性质可得，，故.例49．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．①O为的内心；②O为的外心．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．(1)求A；(2)若，________，求的面积．【答案】(1)(2)选①，；选②，．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得角；（2）选①，由余弦定理求得，由面积公式求得三角形面积，再结合内切圆半径表示三角形面积求得内切圆半径，即可求面积；选②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圆半径，由圆周角定理和圆心角定理求得，直接由面积公式计算出面积．(1)因为，由正弦定理得，，，三角形中，，所以，，则，所以，；(2)选①O为的内心，如图，分别是内切圆在各边上的切点，，，设内切圆半径为，则，，所以；选②O为的外心，在外部，如图，外接圆上，由（1），所以，又，，，．例50．（2022·江苏省白蒲高级中学高三阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；，.（1）求的值；（2）若的外心在其外部，，求外接圆的面积.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理列方程，化简求得的关系式，由此求得.（2）利用正弦定理求得外接圆的半径，进而求得外接圆的面积.【详解】（1）依题意，由余弦定理得，，，，所以或.当时，.当时，.（2）若的外心在其外部，则不符合题意.当时，，为钝角，符合题意.，设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，所以外接圆的面积为.例51．（2022·辽宁·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.(1)若，求外接圆的直径；(2)若，求的周长.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】（1）先由辅助角公式求出，再求出，由正弦定理即可求解；（2）直接由余弦定理解出或3，再求周长即可.(1)因为，所以，则或，则（，舍去）.因为，所以.设外接圆的直径为d，由正弦定理得.(2)由余弦定理可得，代入数据，得，解得或3.当时，的周长为；当时，的周长为.例52．（2022·四川·树德中学模拟预测（理））已知的数．(1)求的单调增区间；(2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求外接圆的面积．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先由倍角公式化简解析式，由正弦函数的性质得出的单调增区间；（2）先得出，再由正弦定理得出的外接圆半径，进而得出外接圆的面积．(1)，令，解得，故函数的单调递增区间为．(2)由（1）可知，则，又，故．设的外接圆半径为R，由正弦定理可得，，∴，故的外接圆的面积为．例53．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知.以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依题意可得，再利用诱导公式及两角和差的余弦公式得到，再利用正弦定理将边化角，即可得解；（2）连接､，依题意可得，，再利用面积公式得到，在和中分别利用余弦定理，即可得到，，从而求出，即可得解；(1)解：由，得，即，即即，∵，∴，由正弦定理得，∵，∴，∴，∵，∴.(2)解：如图，连接､，则，，正面积，∴，而，则，∴中，由余弦定理得：，有，则，在中，，，由余弦定理得，则，∴，，∴，所以的周长为.题型九：两边夹问题例54．（2021•双流区校级模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值是A．2 B． C． D．1【解答】解：，，，，又正弦函数、余弦函数的值均小于等于1，，，、、，，,，，由正弦定理可得，，故选：．例55．（2020•苏州二模）在中，已知边，，所对的角分别为，，，若，则．【解答】解：由正弦定理，得：，，，，当且仅当时，等号成立，，，，，．故答案为：．例56．（2013•成都模拟）在中，若，则角．【解答】解：，，即，，，且，且．则是等腰直角三角形．故答案为：．例57．（2018•如皋市二模）在中，角、、的对边分别为，，，设是的面积，若，则角的值是．【解答】解：中，是的面积，且，由余弦定理得，，所以，整理为：由于，所以，则，由于，故，进一步解得．故答案为：题型十：内心及内切圆问题例58．（2022·全国·高三专题练习）的内角，，所对的边分别为，，.(1)求的大小；(2)为内一点，的延长线交于点，________，求的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题.①为的外心，；②为的垂心，；③为的内心，.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】（1）由余弦定理得，，可得根据可得答案；（2）选①，设的外接圆半径为，由正弦定理得，为外心得，与盾，故不能选①.选②，为的垂心得，由，，得，利用，求得，可得出为等边三角形，再由面积公式可得答案.选③，为的内心，所以，由和正弦定理可得，结合，和面积公式可得答案；(1)在中，由余弦定理得，又因为，，所以，整理得.在中，由余弦定理得，所以，即又因为，所以.(2)选①，设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得，即，因为为外心，所以，与盾，故不能选①.选②，因为为的垂心，所以，又，所以在中，，同理可得，又因为，所以，即，又因为在中，，所以，因此，故，为方程两根，即，因为，，所以，所以为等边三角形，所以.选③，因为为的内心，所以，由，得，因为，所以，即，由（1）可得，即，所以，即，又因为，所以，所以.例59．（2022·安徽·芜湖一中一模（理））已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=(1)求的值；(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．【答案】(1)2(2)【解析】【分析】（1）切变弦，然后整理化简可得sinB=2sinC，再利用正弦定理