专题1.7三角形的证明全章十二类必考压轴题（北师大版）（原卷版）

专题1.7三角形的证明全章十二类必考压轴题【北师大版】必考点1必考点1等腰三角形的存在性问题1．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(b≠0)的图象经过A(−1,0)，B(0,2)，D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且OC=5OA，连接BC，CD，已知(1)求直线AB的表达式；(2)求点D的坐标；(3)在线段AD，CD上分别取点M，N，使得MN∥x轴，在x轴上取一点P，连接MN，NP，MP，2．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图，ΔABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A−B−C−A运动，设运动时间为t秒t>0(1)点P运动结束，运动时间t=______；(2)当点P到边AB、AC的距离相等时，求此时t的值；(3)在点P运动过程中，是否存在t的值，使得△ACP为等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．3．（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，作射线BC，AD是腰BC的高线，E是△ABC外射线BC上一动点，连结AE．(1)当AD=4，BC=5时，求CD的长；(2)当BC=CE时；求证：AE⊥AB；(3)设△ACD的面积为S1，△ACE的面积为S2，且S1S2=184．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点B、D分别在y轴、x轴上，点A−a，b，Cb，a，且a，b满足3a−b2+b−6(1)求点A，C的坐标；(2)如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为(3)若OC=210，在x轴上存在点F，使△COF是以CO为腰的等腰三角形，请直接写出F5．（2022秋·广东广州·八年级校联考期中）平面直角坐标系中，点Aa,0、B0,b，且a、b满足：a−1=−b2+6b−9，点A、C关于(1)求点A、B两点的坐标；(2)如图1，若BC⊥CD，BA⊥EA，且BD=BE，连接ED交x轴于点M，求证：DM=ME；(3)如图2，若BC⊥CD，且BC=CD，直线BC上存在某点Gm,3m+3，使△DFG为等腰直角三角形(点D、F，G按逆时针方向排列)，请直接写出点F必考点2必考点2等腰三角形与勾股定理、全等综合1．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为边在AB上方作等边△ABD，以BC为边在BC右侧作等边△CBE，连接ED并延长交AC于点G(1)求证：△CAB≌(2)求证：AG=DG．(3)连接CD并延长交BE于F，若AB=2，当CF⊥BE时，求CD2．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，CD，BE是△ABC的两条高线，且它们相交于Q，F是BC边的中点，连接DF，DF与BE相交于点P，已知BD=CD．(1)求证BQ=AC(2)若BE平分∠ABC．①求证：DP=DQ；②若AC=8，求BP的长．3．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图1，在等边△ABC的AC、BC边上各取一点D、E，AE、BD相交于点F，∠BFE=60°．(1)求证：AD=CE；(2)如图2，过点B作BG⊥AE于点G．①若BE=2EC=2，求BG的长；②若BF=2AF，连接CF，求∠CFE的度数．4．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图1，△ABC中，AB=AC，点N为AC中点，点D为AB上一点，连结CD．已知BD:AD:CD=2:3:4,CD=8．动点P从点B出发，以1个单位/秒的速度沿线段BA向终点A运动，设点P运动的时间为t（秒）．(1)求证：CD⊥AB．(2)若△BPN为等腰三角形时，求t的值．(3)如图2，动点P出发的同时，另有一点Q从点D出发沿线段DC向终点C运动，速度为13个单位/秒，连结BQ,PQ，将线段BQ,PQ绕点Q分别向顺时针和逆时针方向旋转90∘，得到线段QE和QF，当E,C,F三点共线时，直接写出5．（2022春·安徽合肥·八年级合肥市庐阳中学校考期中）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边所在直线上的一动点（不与点B、C重合），连接AD，以AD为边作Rt△ADE，且AD=AE，根据∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，得到∠BAD=∠CAE，结合AB=AC，AD=AE得出△BAD≌△CAE，发现线段BD与CE的数量关系为BD=CE，位置关系为(1)探究证明：如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE，AB=AC，AD=AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接①则线段BC，DC，CE之间满足的等量关系式为；②求证：BD(2)拓展延伸：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=13cm，CD=5cm，求必考点3必考点3等腰三角形与图形变换1．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB的中点，连接AE，DF交于点N，将△ABE沿AE翻折，得到△AGE，AG交DF于点M，延长EG交AD的延长线于点H，连接CG，ME，取ME的中点O，连接NO，GO．则以下结论不正确的是（

）A．∠GCE=∠AEB B．AE⊥DFC．S四边形MNOG=12．（2022秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，以△ABC∠ABC>120°三边为边向外作等边三角形，分别记△ABC，△ABD，△BCE，△ACF面积为S，S1，S2，S3，作△ABD关于AB对称的△ABM，连接MF，BF．若△ABC≌△BMF，则∠ABC=__________，S33．（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=4．（2022秋·北京朝阳·九年级三里屯一中校考期中）如图，在等腰Rt△ABC中，将线段AC绕点A顺时针旋转α0°<α<90°，得到线段AD，连接CD，作∠BAD的平分线AE，交BC于E(1)①根据题意，补全图形；②请用等式写出∠BAD与∠BCD的数量关系．(2)分别延长CD和AE交于点F，①直接写出∠AFC的度数；②用等式表示线段AF，CF，DF的数量关系，并证明．5．（2022秋·吉林延边·八年级统考期末）如图1，在两个等腰直角三角形ABC和DEF中，∠ACB=∠DEF=90°，把两个三角形放置在平面直角坐标系上，边EF在x轴上，点F和点O重合．DE=2，点A0,3，点C3,0，将△DEF沿DF翻折，点E落在点(1)点G的坐标为________．(2)将四边形DEFG沿x轴方向往右平移，平移距离是x．①当点G在边AC上时，x=________．②当x=2时，四边形DEFG与△ABC的重叠部分的面积为_______．③如图2，当点C在边EF上时（点C与点E、F不重合），求四边形DEFG与△ABC的重叠部分的面积．（用含x的式子来表示）(3)在（2）的条件下，若x<5，当四边形DEFG与△ABC的重叠部分的图形为轴对称图形时，直接写出x的取值范围．6．（2022春·四川成都·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点A0,3，点(1)如图1，点C为点A关于x轴的对称点，连接BC，判断△ABC的形状，并证明你的结论；(2)如图2，作△ABC关于点B的中心对称图形△EBD，△E′B′D′为△EBD沿着(3)如图3，点M为x轴上一动点，连接AM，将AM绕点M顺时针旋转60°得到线段NM，若N点恰好在某一条直线上运动，请求出该直线的函数表达式．必考点4必考点4等腰三角形中的动态变化1．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）如图1，在△ABC中，AB=AC，D为射线BC上（不与B、C重合）一动点，在AD的右侧射线BC的上方作△ADE．使得AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论；(2)延长EC交AB的延长线于点F，若∠F=45°，①利用（1）中的结论求出∠DCE的度数；②当△ABD是等腰三角形时，直接写出∠ADB的度数；(3)当D在线段BC上时，若线段BC=3，△ABC面积为3，则四边形ADCE周长的最小值是．2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图1，△ABC中，AB=AC，点N为AC中点，点D为AB上一点，连结CD．已知BD:AD:CD=2:3:4,CD=8．动点P从点B出发，以1个单位/秒的速度沿线段BA向终点A运动，设点P运动的时间为t（秒）．(1)求证：CD⊥AB．(2)若△BPN为等腰三角形时，求t的值．(3)如图2，动点P出发的同时，另有一点Q从点D出发沿线段DC向终点C运动，速度为13个单位/秒，连结BQ,PQ，将线段BQ,PQ绕点Q分别向顺时针和逆时针方向旋转90∘，得到线段QE和QF，当E,C,F三点共线时，直接写出3．（2022秋·云南昆明·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，OB=AB，∠BOP=150°．(1)如图1，求证：△OAB是等边三角形；(2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以BM为边作等边三角形BMN，连接NA并延长交x轴于点P，求证：AP=2AO；(3)如图2，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，连接AC、DB交于E，请问AE、BE与CE之间有何数量关系，并证明你的结论．4．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高线．动点D在线段AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连结BE．(1)若DM=MC，则∠ACD=度，∠BCE=度；(2)判断AD与(3)如图2，若AB=12，P、Q两点在直线BE上且满足CP=CQ=10，试求(4)在第（3）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值，若是，请直接写出PQ的长；若不是，请简单说明理由．5．（2022·辽宁葫芦岛·八年级校考期中）如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一定点，点E是直线BC上一动点，以DE为一边作等边△DEF，连接CF．(1)如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CD=2CE；(2)如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CE+(3)如图2，若点E在射线CB上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．必考点5必考点5等腰三角形中的最值1．（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若2．（2022春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，ΔABC是等边三角形，AB＝6，E是靠近点C的三等分点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D3．（2022秋·四川成都·八年级石室中学校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为0,12，点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为____________．4．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图1．已知△ABC为等边三角形，点D和E分别是直线AB和AC边上的动点，连接CD和BE相交于点F．(1)如图1．点E为AC中点，点D为AB三等分点且BD<AD，若S△DBF=1，求(2)如图2．已知∠DFB=60°，点H为BC中点，连接DH交BE于点Q，连接CQ并延长交AD于点M，若DM=MQ，探究CH、CQ、CE之间的数量关系并说明理由；(3)如图3．已知BC=83，点E在AC上，点D在BA延长线上且CE=AD，连接ED并以ED为边向左侧作等边△DEH，点M为AC上一点且AC=4AM，当MH取最小值时请直接写出△DAE5．（2022秋·重庆·八年级校考期中）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．(1)如图1，点M是BC的中点，点D在AB边上，连接MD，过点M作ME⊥MD交AC于点E，连接AM，求证：AD=CE；(2)如图2，在（1）的条件下，过点A作AF∥MD交BC于点F，点G在AB边上，连接CG交AF于点N，交DM于点H，若GA=GN，求证：CN=AE−CE；(3)如图3，已知点E在AC上，点D在BA延长线上且CE=2AD，连接ED并以ED为边向左侧作等腰直角△DEH，且∠EDH=90°，DH=DE，点M为AC上一点且BC=2CM，当MH取最小值时请直接写出6．（2022秋·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考期中）在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点，连接AD(1)如图1所示，AD=AP，且AD平分∠BDP，若DP=5，CD=3，则BC=．(2)如图2所示，过点A作AS⊥BC于点S，AS=2，点R在BC上，且BR=DS，连接AR，则当AD+AR取最小值时，求DS的长；(3)如图3所示，以AD为斜边作等腰Rt△AED，连接BE并延长交AC于点F，若AG⊥AE，CG⊥AC，猜想AG与EF必考点6必考点6勾股定理与网格问题1．（2022春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形ABCD内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，则小正方形的边长为_____．2．（2022秋·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E,F,G,H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为26，此时正方形EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为26时，正方形EFGH的面积的所有可能值是________(不包括52)．3．（2022秋·山东东营·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是____.4．（2022春·全国·八年级统考期末）图中的虚线网格是等边三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的等边三角形.(1)边长为1的等边三角形的高=____;

(2)图①中的▱ABCD的对角线AC的长=____;

(3)图②中的四边形EFGH的面积=____.

5．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5，10，13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：；思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为5a，22a，17a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．探索创新：（3）若△ABC三边的长分别为m26．（2022秋·全国·八年级期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．（1）在图1中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形（一种情况即可）；（2）直接写出图2中△FGH的面积是；（3）在图3中画一个格点正方形，使其面积等于17．7．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找出格点C，且使BC=5，并且直接写出对应三角形的面积．必考点7必考点7勾股定理与折叠问题1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在ΔABC中，AB=AC，点D在线段AC上，现将ΔABC沿着BD翻折后得到ΔA′BD，A′B交AC于点E，A′D//BC2．（2022秋·浙江·八年级期末）△ABC中，AB=42，AC=6，∠A=45°，折叠△ABC，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交AC于点E，当点D由B向A连续移动过程中，点E经过的路径长记为m，则BC=________，m3．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，点E为AB的中点，D为BC边上的一动点，把△ACD沿AD折叠，点C落在点F处，当△AEF为直角三角形时，CD的长为__________．4．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）在△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°,AB=3，点D为AC的中点，点E在BC边上，将△CDE沿着DE翻折，使点C落在点F处，当FE⊥AC时，FE=________．5．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市宝安中学（集团）统考期末）如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上点A′处，点D的对应点为D′，连接A′D′交边CD于点E，连接CD′，若AB=9，AD=66．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）在△ABC中，AB=25，AC=105，AP垂直直线BC于点P(1)当BC=25时，求AP的长；(2)当AP=20时，①求BC的长；②将△ACP沿直线AC翻折后得到△ACQ，连接BQ，请直接写出△BCQ的周长为___________．必考点8必考点8以弦图为背景的计算1．（2022春·浙江·八年级期末）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=a,AB=b(a<b)．如图所示作矩形HFPQ，延长CB交HF于点G．若正方形BCDE的面积等于矩形BEFG面积的3倍，则ab的值为（

A．24 B．22 C．5−12．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为(

)A．121 B．110 C．100 D．903．（2022秋·全国·八年级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为__．5．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、必考点9必考点9勾股定理的证明方法1．（2022秋·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．（1）请利用这个图形证明勾股定理；（2）请利用这个图形说明a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？2．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为勾股定理.证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，，又可表示为S＝4×12ab＋(b－a)2∴4×12ab＋(b－a)2＝c2∴______________即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.(2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.(3)如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2＋b2＝c2.3．（2022·山东潍坊·八年级统考期中）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点C、点B、点C′三点共线）进行了勾股定理的证明．△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c．请用此图1证明勾股定理．拓展应用l：如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形ACED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，则FM、EN、BC的数量关系是怎样？直接写出结论．拓展应用2：如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直线m、n上，过点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为1，l、m之间距离为2．则正方形的面积是．4．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形（Rt△ACB≅Rt△DAE）如图1放置，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE点E在边AC上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB=a、CA=b，斜边长为AB=c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理（1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为千米．（3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．（4）借助上面的思考过程，当1<x<11时，求代数式x25．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、必考点10必考点10立体几何中求最短路径1．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，一长方体木块长AB=6，宽BC=5，高BB1=2，一直蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点C1A．89 B．85 C．125 D．802．（2022秋·江苏·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是______cm3．（2022秋·陕西西安·八年级校考期末）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B在棱上，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是______．4．（2022秋·陕西西安·八年级校考期末）如图，圆柱底面半径为2πcm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A5．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）在一个长6+22米，宽为4米的长方形草地上，如图推放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图的高是2米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C6．（2022秋·江苏·八年级期末）如图①，长方体长AB为8cm，宽BC为6cm，高BF为4cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？(1)蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．(2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为cm；②当点P在BC边上，设BP长为acm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．必考点11必考点11勾股定理的实际应用1．（2022春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是________．2．（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期中）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．3．（2022秋·重庆·八年级校联考期末）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，在A处有一所中学，AP=120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．（1）学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，则影响时间是多长？4．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第八十五中学校考期中）【问题探究】(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=12(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求12【问题解决】(3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)5．（2022春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD为某街心公园的平面图，经测量AB=BC=AD=100米，CD=1003米，且∠B=90°（1）求∠DAB的度数；（2）若BA为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路BA的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？6．（2022秋·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米