专题17解答题压轴题新定义题型

专题17解答题压轴题新定义题型（解析版）模块一2022中考真题集训类型一函数中的新定义问题1．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（13，13）是函数y＝x图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数（1）在①（﹣2，−12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”的有（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．思路引领：（1）根据定义进行判断即可；（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．解：（1）①（﹣2，−12）到两坐标轴的距离分别是2，∵2＞1，12∴（﹣2，−12）不是反比例函数y②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1，1，∵≤1，1≤1，∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y=1③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1，1∵1≤1，1≤1，∴（1，1）是反比例函数y=1故答案为：②③；（2）∵当x＝3时，y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1＝1，∴函数经过点（3，1），如图1，在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，综上所述：a的值为3或﹣1；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，如图2，当n＞0时，A（n，n），C（﹣n，﹣n），B（n，﹣n），D（﹣n，n），当抛物线经过点B时，n＝1；当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n=1∴14≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“综上所述：当14≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“总结提升：本题属于二次函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．2．（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式；（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，13t2+23t﹣1），N（t，0），分别求出MN（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分两种情况讨论：①当EG＝EF时，22=(x+2)2+1，可得F（7−2，0）或（−7−2，0）；②当解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴9a−6a+c=0c=−1解得a=1∴y=13x2+在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴G（0，﹣3）；（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，13t2+23t﹣1），N∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM=13t2+23t﹣1﹣（t2+2t﹣3）=−2∴MNDM（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，∴E（﹣2，﹣1），设F（x，0），①当EG＝EF时，∵G（0，﹣3），∴EG＝22，∴22=解得x=7−2或x∴F（7−2，0）或（−②当EG＝FG时，22=此时x无实数根；综上所述：F点坐标为（7−2，0）或（−总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．3．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1=ab和k2=ba两个值中的最大值叫做点（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜3，请直接写出a思路引领：（1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可；（2）①根据“倾斜系数”k的定义分情况得出结论即可；②根据“倾斜系数”k的定义求出P点坐标，进而求出OP的值即可；（3）根据k的取值，分情况求出a的取值范围即可．解：（1）由题意知，k=6即点P（6，2）的“倾斜系数”k的值为3；（2）①∵点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，∴ab=2或即a＝2b或b＝2a，∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a；②由①知，a＝2b或b＝2a∵a+b＝3，∴a=1b=2或a=2∴OP=1（3）由题意知，满足条件的P点在直线y=3x和直线y=3①当P点与D点重合时，且k=3时，P点在直线y=3x上，如图：此时a＜b，连接OD，延长DA交x轴于E，此时ba则a+2a解得a=3此时B点的坐标为（3+3，3且k=∴a＞3②当P点与B点重合时，且k=3时，P点在直线y=33x如图：此时a＞b，连接OB，延长CB交x轴于F，此时ab则aa−2解得a＝3+3此时D（3+1，3且k=3∴a＞3综上所述，若点P的“倾斜系数”k＜3，则a＞总结提升：本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键．4．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．思路引领：（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出C2的顶点坐标；（2）①设点P的横坐标为m，则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达MN的长，列出方程，可求出点P的坐标；②分情况讨论，当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，分别得出C2的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值．解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；（2）①设点P的横坐标为m，∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，∵MN＝6a，∴|3am2﹣3am|＝6a，解得m＝﹣1或m＝2，∴P（﹣1，0）或（2，0）．②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3，∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，根据题意可知，需要分三种情况讨论，Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2，且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3，∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2−2或a＝2+当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3，∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a=2或a=−Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3；∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，解得a=3Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去；综上，a的值为2−2或2总结提升：本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出C2的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．5．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0，2|＝1；②min|−14，﹣4|＝﹣4（2）如图，已知反比例函数y1=kx和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|kx，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣思路引领：（1）根据定义运算的法则解答即可；（2）根据反比例函数和一次函数图象的性质解答即可．解：（1）由题意可知：①min|（﹣3）0，2|＝1，②min|−14故答案为：1，﹣4．（2）当﹣2＜x＜0时，min|kx，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2＝﹣2x∵一次函数y2＝﹣2x+b，∴b＝﹣3，∴y2＝﹣2x﹣3，当x＝﹣2时，y＝1，∴A（﹣2，1）将A点代入y1=kx中，得∴y1=−2总结提升：本题主要考查了新定义运算和反比例函数图像的性质，熟练掌握新定义运算的法则和反比例函数的性质是解答本题的关键．6．（2022•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；（2）①由y=x−p−2y=−x+3p得P（2p+1，p﹣1），当x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），根据点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而m+n＞1，可得p②由函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可得m=34时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，解：（1）函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，理由如下：∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），∴函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；（2）①由y=x−p−2y=−x+3p得x=2p+1∴P（2p+1，p﹣1），∵y1、y2的“组合函数”为y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），∴x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），∵点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，∵m+n＞1，∴1﹣m﹣n＜0，∴p﹣1＜0，∴p＜1；②存在m=34时，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，由①知，P（2p+1，p﹣1），∵函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，∵p≠1，∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，变形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，∴当3﹣4m＝0，即m=34时，12∴x＝3，∴m=34时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，总结提升：本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．类型二几何图形中的新定义问题7．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC=12BC•AD，S△A'B'C′=12B′C′•∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝3：4；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝12，S△CDE＝16（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝amn思路引领：（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；（2）同（1）的方法即可求出答案；（3）同（1）的方法即可求出答案．解：（1）∵BD＝3，DC＝4，∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，故答案为：3：4；（2）∵BE：AB＝1：2，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，∵S△ABC＝1，∴S△BEC=1∵CD：BC＝1：3，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，∴S△CDE=13S△BEC故答案为：12，1（3）∵BE：AB＝1：m，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，∵S△ABC＝a，∴S△BEC=1mS△ABC∵CD：BC＝1：n，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，∴S△CDE=1nS△BEC=1故答案为：amn总结提升：此题主要考查了三角形的面积公式，理解等高的两三角形的面积比等于底的比是解本题的关键．8．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT=12（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（12＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含思路引领：（1）①根据定义，先求出P'的坐标，从而得出Q的位置；②连接PP'，利用三角形中位线定理得NT=12（2）连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP1∥OM，PP1＝OM，P1N＝NQ，利用三角形中位线定理得QT的长，从而求出SQ的长，在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，则PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，从而解决问题．解：（1）①由题意知，P'（﹣2+1，0+1），∴P'（﹣1，1），如图，点Q即为所求；②连接PP'，∵∠P'PO＝∠MOx＝45°，∴PP'∥ON，∵P'N＝QN，∴PT＝QT，∴NT=12∵PP'＝OM，∴NT=12（2）如图，连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP'∥OM，PP'＝OM，P'N＝NQ，∴TQ＝2MN，∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t，∴TQ＝2﹣2t，∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，∵PS﹣QS≤PQ≤PS+QS，∴PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．总结提升：本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形中位线定理，三角形三边关系，平移的性质等知识，解题的关键是理解定义，画出图形，利用三角形中位线定理求出QT的长是解题的关键．模块二2023中考押题预测9．（2023•义乌市校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）关于直线x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．思路引领：（1）根据“镜面函数”的定义画出函数y＝﹣2x+1的“镜面函数”的图象即可；（2）分直线y＝﹣x+m过“镜面函数”图象与直线x＝﹣1的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可；（3）先求出y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“镜面函数”解析式，再分x＝﹣1以及顶点在y＝﹣2上的情况和x＝3时，列出不等式求解即可．解：（1）如图，即为函数函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象，（2）如图，对于y＝x2﹣2x+2，当x＝0时，y＝2，∴函数y＝x2﹣2x+2与y轴的交点坐标为（0，2），当直线y＝﹣x+m经过点（﹣1，5）时，m＝4；此时y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，当直线y＝﹣x+m与原抛物线只有一个交点时，则有：﹣x+m＝x2﹣2x+2，整理得，x2﹣x+2﹣m＝0，此时，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＝0，解得，m=7综上，m的值为4或74（3）函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“镜面函数”解析式为y＝x2+2nx+2（n＞0），当x＝﹣1时，y＜0，∴1﹣2n+2＜0，解得，n＞3当y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的顶点在CD上时，8−4n解得n＝2或n＝﹣2（舍），此时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）关于直线x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边有5个交点，不合题意，∴32当x＝3时，y＜﹣2，∴9﹣6n+2＜﹣2，解得，n＞13综上，n的取值范围为32＜n＜2或总结提升：本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．10．（2023•秦皇岛一模）定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1，（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝3，c1＝1．根据a1+a2＝0，b请思考并解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”；（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2023的值；（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．思路引领：（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式；（2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案；（3）首先求出A、B、C三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定．解：（1）根据题意得1+a=0b=−4解得a=−1b=−4故解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3．（2）根据题意得m−1=−nn−3=0∴m=−2n=3∴（m+n）2023＝（﹣2+3）2023＝12023＝1．（3）根据题意得A（1，0），B（3，0），C（0，﹣6），∴A1（﹣1，0），B1（﹣3，0），C1（0，6），又y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，且经过点A1，B1，C1的二次函数为y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2x2+4x+6，∵a1∴两个函数互为“旋转函数”．总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点，涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键．11．（2022•滨海县校级三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”，例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．（1）在函数①y＝﹣x+5，②y=6x，③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是③（2）设函数y=4x(x＜0)与y＝kx﹣1的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC（3）若将函数y＝2x2+4x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．思路引领：（1）判断y＝﹣x与各个函数图像是否有公共点即可；（2）先得出y=−4x的“好点”，从而得出AC的长，在y＝﹣x上的点B，使得AB＝AC，从而求得点B坐标，将B点坐标代入y＝kx+3求得（3）折叠前的抛物线上有两个“好点”，所以折叠后的抛物线上有一个“好点”即可，即y＝﹣x与折叠后抛物线只有一个公共点，从而求得折叠后的抛物线解析式，进一步求得结果．解：（1）∵y＝﹣x+5，∴y+x＝5，∴①不是“好点”的函数，∵y=3x，∴xy＝3＞0∴x+y≠0，∴②不是“好点”的函数，∵y=x∴x2+3x+1＝0，∴Δ＝32﹣4×1×1＞0，∴方程组有解，∴③是“好点”的函数，故答案为：③；（2）∵y=−4xx+y=0∴x=−2y=2∴A（﹣2，2），如图，当△ABC为等腰三角形时，AB＝AC＝2或BA＝BC，当AB＝AC时，∵y＝﹣x，∴B（x，﹣x），∴（x+2）2+（﹣x﹣2）2＝22，∴x1=2−2，x2当x=2−2时，y∴（2−2）k+3=−∴k=3当x=−2−2时，y∴（−2−2）k+3∴k=−3当AB＝BC时，点B（﹣1，1），∴﹣k﹣1＝1，∴k＝﹣2，综上所述：k=±32−4（3）设翻折后的抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣4x+k，∵y＝2x2+4x的图像上有两个“好点”：（0，0）和（﹣3，3），当y＝﹣2x2﹣4x+k上有一个“好点”时，把y＝﹣x代入得，﹣x＝﹣2x2﹣4x+k，化简整理得，x2+32x−∵Δ=94+∴k=−9∴y＝﹣2x2﹣4x−9由y=2x2y=−9∴y=−9∴m=−1当（0，0）在y＝﹣2x2﹣4x+k上时，此时﹣x2﹣2x＝﹣x，x＝0或x＝﹣1，这时也有三个“好点”：（﹣3，3），（0，0），（﹣1﹣1），∴m=−1总结提升：本题考查了结合一次函数，反比例函数及二次函数知识，考查了对“好点”的理解，等腰三角形知识，坐标系中线段的长，两个图像的交点与方程组之间的关系等知识，解决问题的关键是根据题意，转化为学过的知识．12．（2022•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．思路引领：（1）根据定义画出函数图象即可；（2）画出函数图象，结合图象可知，当直线y＝﹣x+m经过（0，2）时，有3个公共点；函数y＝x2﹣2x+2（x＞0）与直线y＝﹣x+m有一个交点时，即m=74时有3个公共点；根据临界情况可知，m＝2或m=74时，函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣（3）画出函数图象，结合图象可知，当y＝x2+2nx+2经个点A时，n=32，此时有3个交点；当y＝x2﹣2nx+2的顶点在CD上时，n＝2，此时有5个交点；根据临界情况可得32＜n＜2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；当y＝x2﹣2nx+2经过点C时，n=136，此时有5个交点，根据临界情况可得n＞136时，函数y＝x解：（1）如图：（2）如图：y＝x2﹣2x+2与y轴的交点为（0，2），当直线y＝﹣x+m经过（0，2）时，m＝2，此时函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有3个公共点；当x2﹣2x+2＝﹣x+m时，x2﹣x+2﹣m＝0有两个相等的实数根时，Δ＝1﹣8+4m＝0，解得m=7此时函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有3个公共点；∴m=74或m＝2时，函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+（3）如图3，当y＝x2+2nx+2经个点A时，1﹣2n+2＝0，解得n=3当n=32时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形当y＝x2﹣2nx+2的顶点在CD上时，8−4n解得n＝2或n＝﹣2（舍），当n＝2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有5个交点；∴32＜n＜2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形如图4，当y＝x2﹣2nx+2经过点C时，9﹣6n+2＝﹣2，解得n=13当n=136时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形∴n＞136时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形综上所述：32＜n＜2或n＞136时，函数y＝x2﹣2nx+2（总结提升：本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，根据定义，能够画出正确的函数图象，根据函数图象能能够找到临界情况是解题的关键．13．（2022•宁南县模拟）新定义：在平面直角坐标系xOy中，若一条直线与二次函数图象抛物线有且仅有一个公共点，且抛物线位于这条直线同侧，则称该直线与此抛物线相切，公共点为切点．现有一次函数y＝﹣4x﹣1与二次函数y＝x2+mx图象相切于第二象限的点A．（1）求二次函数的解析式及切点A的坐标；（2）当0＜x＜3时，求二次函数函数值的取值范围；（3）记二次函数图象与x轴正半轴交于点B，问在抛物线上是否存在点C（异于A）使∠OBC＝∠OBA，若有则求出C坐标，若无则说明理由．思路引领：（1）联立一次函数y＝﹣4x﹣1与二次函数y＝x2+mx表达式并整理得：x2+（m+4）x+1＝0，由Δ＝0，即可求解；（2）由抛物线的表达式知，其顶点为（1，﹣1），当x＝0时，y＝0，当x＝3时，y＝x2﹣2x＝3，进而求解；（3）求出直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，而∠OBC＝∠OBA，则直线BC的表达式中的k值为1，进而求解．解：（1）联立一次函数y＝﹣4x﹣1与二次函数y＝x2+mx表达式并整理得：x2+（m+4）x+1＝0，∵称该直线与此抛物线相切于点A，则Δ＝（m+4）2﹣4＝0，解得：m＝﹣2或﹣6，当m＝﹣2时，由y=−4x−1y=x2当m＝﹣6时，由y=−4x−1y=x2故点A（﹣1，3），二次函数表达式为：y＝x2﹣2x；（2）由抛物线的表达式知，其顶点为（1，﹣1），当x＝0时，y＝0，当x＝3时，y＝x2﹣2x＝3，故函数值的取值范围是：﹣1≤y＜3；（3）设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则3=−k+bb=2，解得k=−1即直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，∵∠OBC＝∠OBA，则直线BC的表达式中的k值为1，故直线BC的表达式为：y＝x﹣2，则y=x2−2xy=x−2，则x2﹣2解得：x＝2（舍去）或1，故点C（1，﹣1）．总结提升：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，理解“切点”的定义，并利用数形结合思想解决问题是本题的关键．14．（2022•天宁区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（t，0）与（t+6，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．（1）当t＝1时，①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为（4，32+3）②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为（0，3±2）；（2）已知直线y＝﹣0.5x+4上总存在线段AB的“等角点”，则t的范围是﹣310−1≤t≤310−思路引领：（1）①根据P在直线x＝4上画图1，作△APB的外接圆C，连接AC，BC，可知AB＝6，OC的半径为32，最后计算PD的长可得点P的坐标；②同理根据作辅助线，计算OP和OP1的长，可得点P的坐标，注意不要丢解；（2）当△ABP的外接圆与直线y＝﹣0.5x+4相切时，直线上开始存在线段AB的“等角点”，再根据圆与切线的关系求出t的临界值，即可求t的取值范围．解：（1）①如图1，作△APB的外接圆，设圆心为C，连接AC，BC，∵点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0），∴AB＝7﹣1＝6，∵∠APB＝45°，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝32，∴PC＝32，∵点P在直线x＝4上，∴AD＝4﹣1＝3，∴AD＝BD，∵CD⊥AB，∴CD＝AD＝3，∴P（4，32+故答案为：（4，32+②如图2所示，同理作△APB的外接圆，设圆心为C，过C作CD⊥x轴于D，作CE⊥OP于E，连接PC，P1C，在y轴上存在∠APB＝∠AP1B＝45°，则①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝32，由勾股定理得：PE=(3∴PO＝3+2同理得：OP1＝3−2∴P（0，3±2），综上分析，点P的坐标为（0，3±2）．故答案为：（0，3±2）；（2）作△APB的外接圆C，∵A（t，0），B（6+t，0），∴AB＝6，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴C（t+3，3），∴AC＝32，设直线y=−12x+4与x轴、y轴的交点分别为M、∴M（8，0），N（0，4），∴MN＝45，∴cos∠NMO=2过C点作DF⊥x轴于直线MN交于点E，∴E（t+3，−12t∴CE＝|−12t+52−当CP⊥MN时，CP＝32，∵∠PCE+∠PEC＝90°，∠CEP+∠NMO＝90°，∴∠PCE＝∠NMO，∴25解得t＝310−1或t＝﹣310∴﹣310−1≤t≤310−1时，直线y＝﹣0.5x+4上总存在线段总结提升：本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆周角与圆心角的性质，切线与圆的性质，直角三角函数值的定义是解题的关键．15．（2022•零陵区模拟）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．请参照小组同学的方法解决下面问题：（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．思路引领：（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；（2）由函数y＝5x2+（m+1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2021即可求出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．（1）解：由函数y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，∴y＝﹣x2﹣4x﹣3，故答案为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）解：根据题意得：m−1=−nn−3=0，解得m=−2∴（m+n）2022＝（3﹣2）2022＝1；（3）证明：化简y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6，则A、B、C三点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），∴经过A1、B1、C1三点的函数解析式为y＝﹣2x2+4x+6，∴y＝﹣2x2+4x+6与原函数y＝2（x﹣1）（x+3）是旋转函数．总结提升：本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质以及二次函数图象与几何变换，解题的关键是：（1）利用“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2的值；（2）利用“旋转函数”的定义求出m，n的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式．16．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．（1）当m＝0时，①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为y＝﹣x﹣7．②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝6．（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．思路引领：（1）①由相关函数的定义，将y＝﹣x+7旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7；②先求出二次函数的相关函数，然后求出相关函数，再把点A代入，即可得到答案；（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；（3）先确定相关函数，然后根据m的取值范围，对m进行分类讨论，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．解：（1）①根据相关函数的定义，y＝﹣x+7关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7，故答案为：y＝﹣x﹣7；②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴y＝ax2﹣2ax+a关于点P（0，0）的相关函数为y＝﹣a（x+1）2，∵点A（5，﹣6）在二次函数y＝﹣a（x+1）2的图象上，∴﹣6＝﹣a（5+1）2，解得：a=1（2）y＝（x﹣2）2+6的顶点为（2，6），y＝﹣（x﹣10）2﹣66的顶点坐标为（10，﹣6）；∵两个二次函数的顶点关于点P（m，0）成中心对称，∴m=2+10故答案为：6；（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，∴y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝﹣（x+m）2+5m2．①当﹣m≤m﹣1，即m≥12时，当x＝m﹣1时，∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，解得m1＝﹣2−13（不符合题意，舍去），m2＝﹣2+②当m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜12时，当x＝﹣m时，∴5m2＝8，解得：m＝±210③当﹣m＞m+2，即m＜﹣1时，当x＝m+2，y有最大值为8，∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，解得：m＝4﹣27或，m＝4+27（不符合题意，舍去），综上，m的值为﹣2+13或4﹣27总结提升：本题考查了二次函数的性质问题以及中心对称，以及相关函数的定义，旋转的性质，中心对称图形的性质，（3）是本题的难点，需要分三类进行讨论，研究函数的变化轨迹，是很好的一道压轴问题．17．（2022•庐阳区校级三模）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为关联函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它的关联函数为y=−x+1(x＜0)x−1(x≥0)．已知二次函数y＝﹣x2+4x（1）当第二象限点B（m，32）在这个函数的关联函数的图象上时，求m（2）当﹣3≤x≤﹣1时求函数y＝﹣x2+4x−1思路引领：（1）由题干定义可得二次函数的关联函数解析式，将点B坐标代入对应解析式，并由m＜0求解．（2）由（1）可得二次函数在x＜0时的关联函数解析式，分别将x＝﹣1，x＝﹣3代入解析式求解．解：（1）由题意得二次函数y＝﹣x2+4x−12的关联函数为y当m≥0时，将（m，32）代入y＝﹣x2+4x−12得32=−m解得m＝2+2或m＝2−当m＜0时，将（m，32）代入y＝x2﹣4x+12得32=m解得m＝2−5或m＝2+∵点B在第二象限，∴m＜0，∴m＝2−5（2）当x＜0时，y＝﹣x2+4x−12的关联函数为y＝x2﹣4x∵y＝x2﹣4x+12=（x﹣2）∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，∴x＜0时，y随x增大而减小，将x＝﹣3代入y＝x2﹣4x+12得y＝9+12将x＝﹣1代入x2﹣4x+12得y＝1+4∴当﹣3≤x≤﹣1时求函数y＝﹣x2+4x−1总结提升：本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．18．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝﹣1；若点P（m，m）是函数y=3x−2的图象上的“梅岭点”，则m＝（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．思路引领：（1）根据“梅岭点”的定义，P（3．p）的横纵坐标相等，即p＝3m+6＝3；P（m，m）的横纵坐标相等，即m=3（2）由题意得：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，对比两个方程的系数，即可求出b，c，进而得出答案：y＝x2+5x+4；（3）先由“梅岭点”的定义证明x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系得出x1+x2=1−ba，x1•x2=2a，进而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，再由﹣1＜x围，即可求出k的取值范围．解：（1）∵点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的梅岭点，∴p＝3m+6＝3，解得：m＝﹣1，∵点P（m，m）是函数y=3∴m=3整理得：m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝3，m2＝﹣1，经检验，m1＝3，m2＝﹣1都是m=3∴m＝3或﹣1；故答案为：﹣1；3或﹣1；（2）点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），∴方程x2+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．∴b﹣1＝4，c＝4，∴b＝5，∴二次函数的表达式为y＝x2+5x+4；（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），∴c＝2，∴y＝ax2+bx+2，∵y＝ax2+bx+2图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），∴x1＝ax12+bx1+2，x2＝ax22+bx2+2，∴ax12+（b﹣1）x1+2＝0，ax22+（b﹣1）x2+2＝0，∴x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，∴x1+x2=1−ba，x1•x2∵|x1﹣x2|＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（1−ba）2﹣4×∴b2﹣2b+1﹣8a＝4a2，∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，∵|x1﹣x2|＝2，∴x1﹣x2＝﹣2或x2﹣x1＝2，∵﹣1＜x1＜1，∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3∴﹣3＜x1•x2＜3，∴﹣3＜2∵a＞0，∴a＞2∴﹣4（a+1）2+7＜﹣4×（23+1）2+7∴k＜−37总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，不等式性质等知识点，熟练掌握根与系数关系，理解应用新定义“梅岭点”是解题的关键．19．（2022•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB，给出如下定义：若将线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的对称的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．（1）如图1，线段CD、EF、GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有CD、EF；（2）已知A点的坐标为（0，2），B点坐标为（1，1）．①如图2，若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴l与y轴的交点M的坐标是（0，12）②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为12≤yM≤13（3）已知点M、N是在以（2，0）为圆心，半径为13的圆上的两个动点，且满足MN=2，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，反射轴l与y轴的交点的纵坐标的取值范围是y＞1或y＜﹣1思路引领：（1）在圆中找出对应的弦，其中GH大于圆的直径，故否定；（2）①画出AB的反射弦，找出对应点的垂直平分线；②以AB为斜边作等腰直角三角形AO′B，连接OO′，交⊙O于A′，作BB′∥AA′，交⊙O于B′，则A′B′是AB的反射弦，对称轴是OO′的中垂线l，然后根据垂直平分线上点到线段两端距离相等，求得S=136时的值，从而确定（3）根据（2）的方法找到MN所在的圆心O3，当M点在圆上运动一周时，如图，取OO3的中点A1，OT的中点S，即OO3的中点A1在以S为圆心，半径为2的圆上运动，进而即可求得反射轴l与y轴交点的纵坐标y的取值范围．解：（1）∵E′F′是EF关于直线CC′的对称的弦，∴EF是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，∵C′E′是CD关于直线x＝1的对称的弦，∴线段CD是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，∵GH=5，⊙O的直径C′E′＝2，EF＞C′E∴线段GH不是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，故答案是：CD、EF；（2）①如图2，AB关于直线l的对称弦是A′B′，直线l与y轴交点M（0，12故答案为：（0，12②如图3，以AB为斜边作等腰直角三角形AO′B，连接OO′，交⊙O于A′，作BB′∥AA′，交⊙O于B′，则A′B′是AB的反射弦，对称轴是OO′的中垂线l，∵A（22S，2+22S），B（1+2∴O′（22S，1+2设l交y轴于C（0，a），由CO＝CO′得，（22S）2+（1+22S﹣a）2＝当a=136时，S1=−22（舍去），∴0≤S≤5（3）如图，根据（2）的方法找到MN所在的圆心O3，设T（2，0），则TM=13∵MN=2，△O3MN∴O3L=22∴TL=T∴TO3＝22，当点在圆上运动一周时，如图，取OO3的中点A1，OT的中点S，∴SA1是△OO3T的中位线，∴SA1=12O3T=2，SA1∥即OO3的中点A1．在以S为圆心，半径为2的圆上运动，∴若MN是⊙O的以直线l为对称轴的反射线段，则l为⊙S的切线．设⊙S与y轴交于点C，D，∵OS=12OT＝1，SC＝SA1＝SD∴OC＝1，OD＝1，∴反射轴l与y轴交点的纵坐标y的取值范围为y＞1或y＜﹣1．总结提升：本题考查了圆的综合应用，掌握中心对称与轴对称，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义是解题的关键．20．（2022•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝4BE，QB＝6，求邻余线AB的长．思路引领：（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得AD⊥BC，则可得∠DAB与∠DBA互余，即∠FAB与∠EBA互余，从而可得答案；（2）画出图形即可．（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得BD＝CD、DM＝ME，再判定△DBQ∽△ECN，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解．解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝4BE，∴BD＝CD＝5BE，∴CE＝CD+DE＝9BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴QBNC∵QB＝6，∴NC=54∵AN＝CN，∴AC＝2CN=108∴AB＝AC=108总结提升：本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键．21．（2022•寻乌县二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，∠B＝∠C，则四边形ABCD为“等邻角四边形”．（1）定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形得是②④．①平行四边形②矩形③菱形④等腰梯形（2）深入探究：①已知四边形ABCD为“等邻角四边形”，且∠A＝120°，∠B＝100°，则∠D＝70°．②如图②，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四边形．（3）拓展应用：如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生变化？请说明理由．思路引领：（1）根据“等邻角四边形”的定义判断即可；（2）①由∠A＝130°，∠B＝120°知：不可能还有内角与∠A、∠B相等（否则内角和大于360°），则∠C＝∠D，即得∠D＝55°；②由ED∥BC得∠EDB＝∠DBC，根据对角线BD平分∠ABC，得∠ABD＝∠DBC，故∠ABD＝∠EDB，即证得四边形ABDE为等邻角四边形；（3）过C作CH⊥AB于H，过P作PG⊥CH于G，由PM⊥AB，CH⊥AB，PG⊥CH，得四边形PMHG是矩形，得PM＝HG，可证明△PGC≌△CNP，得CG＝PN，即有PM+PN＝HG+CG＝CH，从而说明在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于C到AB的距离，不会变化．（1）解：根据“等邻角四边形”的定义可知矩形，等腰梯形是“等邻角四边形”．故答案为：②④；（2）①解：∵∠A＝120°，∠B＝100°，根据“等邻角四边形”定义可知：∠C＝∠D，∴∠D＝（360°﹣120°﹣100°）÷2＝70°，故答案为：70；②证明：∵ED∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴四边形ABDE为等邻角四边形；（3）解：在点P的运动过程中，PM+PN的值不会发生变化，理由如下：过C作CH⊥AB于H，过P作PG⊥CH于G，如图：∵PM⊥AB，CH⊥AB，PG⊥CH，∴∠PMH＝∠MHG＝∠HGP＝90°，∴四边形PMHG是矩形，∴PM＝HG，MH∥PG，即AB∥PG，∴∠B＝∠GPC，∵∠B＝∠NCP，∴∠GPC＝∠NCP，∵PN⊥CD，∴∠PGC＝∠CNP＝90°，在△PGC和△CNP中，∠PGC=∠CNP∠GPC=∠NCP∴△PGC≌△CNP（AAS），∴CG＝PN，∴PM+PN＝HG+CG＝CH，即在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于C到AB的距离，是定值．总结提升：本题是四边形综合题，考查多边形综合应用，涉及新定义、多边形内角和、三角形全等的判定及性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．22．（2022•东胜区二模）【概念理解】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形如图①．我们学习过的四边形中是垂美四边形的是菱形、正方形；（写出一种即可）【性质探究】利用图①，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系是AD2+BC2＝AB2+CD2；【性质应用】（1）如图②，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，CD，若AE⊥CD，则AB的长为271；（2）如图③，等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADE中，∠BEC＝∠AED＝90°，AC与BD交于O点，BD与CE交于点F，AC与DE交于点G．若BE＝6，AE＝8，AB＝12，求CD的长；【拓展应用】如图④，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD、AB、CD的中点，EF⊥CF，AD＝6，AB＝8，求BG的长．思路引领：【概念理解】根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可；【性质探究】根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答案；【性质应用】（1）根据垂美四边形的概念计算，得到答案；（2）先△BED≌△CEA（SAS），得∠BDE＝∠CAE，根据三角形内角和定理可得∠AOD＝∠AEG＝90°，最后根据垂美四边形的定义可得结论；【拓展应用】如图④，连接AG，BD，交于点O，证明△BED≌△CEA（SAS），可得∠BDE＝∠CAE，然后证明AC⊥BD于点O，可得四边形ABCD是垂美四边形，最后根据垂美四边形的定义可得结论．解：【概念理解】∵学习过的四边形有平行四边形，矩形，菱形，正方形，而两条对角线互相垂直的四边形是菱形，正方形，∴菱形、正方形一定是垂美四边形，故答案为：菱形、正方形；【性质探究】垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系是：AD2+BC2＝AB2+CD2，证明如下：如图①，设AC与BD交于点O，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2；【性质应用】（1）如图②，连接DE，∵AE⊥CD，∴四边形ADEC是垂美四边形，∴AD2+EC2＝AC2+ED2，∵BC＝6，AC＝8，D，E分别是AB，BC的中点，∴EC=12BC＝3，AB＝2AD，DE=∴AD2+32＝82+42，∴AD=71∴AB＝2AD＝271，故答案为：271；（2）如图③，∵△BCE和△AED是等腰直角三角形，∵∠BEC＝∠AED＝90°，∴∠BEC+∠CED＝∠CED+∠AED，即∠BED＝∠CEA，∵BE＝EC，AE＝ED，∴△BED≌△CEA（SAS），∴∠BDE＝∠CAE，∵∠AGE＝∠DGO，∴∠AOD＝∠AEG＝90°，∴AC⊥BD于点O，∴四边形ABCD是垂美四边形，∴AD2+BC2＝AB2+CD2，∵BE＝6，AE＝8，∴BC＝62，AD＝82，∵AB＝12，∴（82）2+（62）2＝122+CD2，∴CD＝214；【拓展应用】如图④，连接AG，BD，交于点O，在▱ABCD中，∵AD＝6，AB＝8，∴BC＝6，CD＝8，∵点E、F、G分别是AD、AB、CD的中点，∴EF∥BD，DG=12CD＝4，AF=∴CG∥AF，CG＝AF，∴四边形AFCG是平行四边形，∴AG∥CF，∵EF⊥CF，∴BD⊥AG，∴四边形ABGD是垂美四边形，∴AD2+BG2＝AB2+GD2，∴62+BG2＝82+42，∴BG＝211．总结提升：本题是四边形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．23．（2022•修水县一模）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”．例如：在四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．概念理解．（1）如图1，已知四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D的度数为90°；②若∠B＝90°，且AB＝3，AD＝2，则CD2﹣CB2＝5．拓展延伸．（2）如图2，已知四边形ABCD是“对补四边形”．当AB＝CB，且∠EBF=12∠ABC时，试猜想AE，CF，思路引领：（1）①设∠C＝n°，则∠A＝3n°，∠B＝2n°，由四边形ABCD是“对补四边形”得3n+n＝180，则n＝45，即可求得∠B＝2n°＝90°，则∠D＝180°﹣∠B＝90°；②由∠B＝90°，得∠D＝90°，根据勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2，CB2＝AC2﹣AB2，则CD2﹣CB2＝AB2﹣AD2＝32﹣22＝5．（2）延长DF到点G，使AE＝CG，根据“同角的补角相等”证明∠A＝∠BCG，即可证明△ABE≌△CBG，得BE＝BG，∠ABE＝∠CBG，则∠EBF＝∠GBF=12∠ABC，即可证明△EBF≌△GBF，得EF＝GF，则AE+CF＝CG+CF＝GF＝解：（1）①设∠C＝n°，∵∠A：∠B：∠C＝3：2：1，∴∠A＝3n°，∠B＝2n°，∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，∴3n+n＝180，解得n＝45，∴∠B＝2n°＝90°，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°，故答案为：90°．②如图1，连接AC，∵∠B＝90°，∴∠D＝90°，∴CD2＝AC2﹣AD2，CB2＝AC2﹣AB2，∴CD2﹣CB2＝AC2﹣AD2﹣（AC2﹣AB2）＝AB2﹣AD2，∵AB＝3，AD＝2，∴CD2﹣CB2＝32﹣22＝5，故答案为：5．（2）AE+CF＝BF，证明：如图2，延长DF到点G，使AE＝CG，则∠BCG+∠BCD＝180°，∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠BCG，∵AB＝CB，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG，∵∠EBF=12∠∴∠GBF＝∠CBF+∠CBG＝∠CBF+∠ABE=12∠∴∠EBF＝∠GBF，∵BF＝BF，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF＝GF，∵AE+CF＝CG+CF＝GF，∴AE+CF＝EF．总结提升：此题重点考查四边形的内角和等于360°、勾股定理的应用、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．24．（2022•盐城一模）对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于点K的锐角旋转点．（1）已知点A（4，0），在点Q1（0，4），Q2（2，23），Q3（﹣2，23），Q4（22，﹣22）中，是点A关于点O的锐角旋转点的是Q2，Q（2）已知点B（5，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的取值范围．（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣3，0），点F（m，n）是以D为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．若直线y＝2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围．思路引领：（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点A以及y轴上的点），点Q2，Q4满足条件．（2）如图中，以O为圆心，3为半径作半圆，交y轴于P（0，3），P′（0，﹣3）当直线y＝2x+b与半圆有交点（不包括P，B）时，满足条件．（3）根据题意，点F关于点E的锐角旋转点在半圆E上，设点P在半圆S上，点Q在半圆T上（将半圆D绕点E旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中，t的值，可得结论．解：（1）如图，∵A（4，0），Q1（0，4），∴OA＝OQ1＝4，∠AOQ1＝90°，∴点Q1不是点A关于点O的锐角旋转点；∵Q2（2，23），作Q2F⊥x轴于点F∴OQ2=OF2∵tan∠Q2OF=2∴∠Q2OF＝60°，∴点Q2是点A关于点O的锐角旋转点；∵Q3（﹣2，23），作Q3G⊥x轴于点G则tan∠Q3OG=Q∴∠Q3OG＝60°，∴OQ3=OGcos∠Q∵∠AOQ3＝180°﹣60°＝120°，∴Q3不是点A关于点O的锐角旋转点；∵Q4（22，﹣22），作Q4H⊥x轴于点H则tan∠Q4OH=Q∴∠Q4OH＝45°，∵OQ4=OHcos∠Q∴Q4是点A关于点O的锐角旋转点；综上所述，在点Q1，Q2，Q3，Q4中，是点A关于点O的锐角旋转点的是Q2，Q4，故答案为：Q2，Q4．（2）在y轴上取点P（0，5），当直线y＝2x+b经过点P时，可得b＝5，当直线y＝2x+b经过点B时，则2×5+b＝0，解得：b＝﹣10，∴当﹣10＜b＜5时，OB绕点O逆时针旋转锐角时，点C一定可以落在某条直线y＝2x+b上，过点O作OG⊥直线y＝2x+b，垂足G在第四象限时，如图，则OT＝﹣b，OS=−12∴ST=OS当OG＝5时，b取得最小值，∵5×（−52b）＝﹣b×（−∴b＝﹣55，∴﹣55≤b（3）根据题意，点F关于点E的锐角旋转点在半圆E上，设点P在半圆S上，点Q在半圆T上（将半圆D绕点E旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，如图3（2）中，阴影部分与直线y＝2x+6相切于点G，tan∠EMG＝2，SG＝3，过点G作GI⊥x轴于点I，过点S作SJ⊥GI于点J，∴∠SGJ＝∠EMG，∴tan∠SGJ＝tan∠EMG＝2，∴GJ=355，∴GI＝GJ+JI＝3+3∴MI=12GI∴OE＝IE+MI﹣OM=352−32，即x解得t=3如图3（3）中，阴影部分与HK相切于点G，tan∠OMK＝tan∠EMH＝2，EH＝6，则MH＝3，EM＝35，∴xE＝t﹣3＝﹣3﹣35，解得t＝﹣35，观察图象可知，﹣35≤t＜3+总结提升：本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，点P是点M关于点N的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题．25．（2022•寿阳县模拟）所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等．在解决它们的过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．主要包括以下类型：①概念的“新定义”；②运算的“新定义”；③新规则的“新定义”；④实验操作的“新定义”；⑤几何图形的新定义．如果我们新定义一种四边形：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=12∠D，∠C=12∠A，请你利用所学知识求出∠（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连接DE并延长交AC于点F，若∠AFE＝2∠EAF．请你判断四边形DBCF是不是半对角四边形？并说明理由．思路引领：（1）根据四边形内角和以及新定义进行计算即可求解；（2）证明△BED≌△BEO（SAS），可得∠BCF=12∠BDE，连接OC，设∠EAF＝α．则∠AFE＝2∠EAF＝2α，根据三角形内角和以及等边对等角可得∠ABC=12∠AOC（1）解：在半对角四边形ABCD中，∠B=12∠D，∠C=1∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+3∠C＝360°．∴∠B+∠C＝120°．即∠B与∠C的度数之和120°．（2）证明：在△BED和△BEO中，BD=BO∠EBD=∠EBO∴△BED≌△BEO（SAS）．∴∠BDE＝∠BOE．又∵∠BCF=12∠∴∠BCF=12∠如图2，连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α．∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α．∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，则∠AOC＝∠EFC，又∵∠ABC=12∠∴∠ABC=12∠AOC=1∴四边形DBCF是半对角四边形．总结提升：本题考查了几何图形的新定义，四边形内角和，圆内接三角形，圆的性质，三角形内