专题08多边形及平行四边形的性质（专题测试）

专题08多边形及平行四边形的性质专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．（2020•宁波模拟）下列图标中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【点拨】根据中心对称图形的概念求解．【解析】解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形，解题时掌握好中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（2019秋•萧山区期中）已知一个正多边形的内角为a度，则下列不可能是a的值的是（）A．90 B．100 C．120 D．176.4【点拨】根据正多边形外角和为360°，再利用内外角互补，只要360°不能整除内角，即不是正多边形．【解析】解：A、根据正多边形外角和为360°，当正多边形的内角为90°，即外角为90°，360°÷90°＝4，故可以是正多边形，正确；B、当正多边形的内角为100°，即外角为80°，360°÷80°＝4.5，故不可以是正多边形，故本选项错误；C、当正多边形的内角为120°，即外角为60°，360°÷60°＝6，故可以是正多边形，正确；D、当正多边形的内角为176.4°，即外角为3.6°，360°÷3.6°＝100，故可以是正多边形，正确．故选：B．【点睛】此题主要考查了正多边形内角与外角之间的关系，以及多边形外角和定理，注意计算的正确性．3．（2020春•鹿城区校级期中）已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝70°，则∠B的度数为（）A．125° B．135° C．145° D．155°【点拨】由在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝70°，即可求得∠A与∠C的度数，继而求得答案．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∵∠A+∠C＝70°，∴∠A＝∠C＝35°，∴∠B＝180°﹣∠A＝145°．故选：C．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键．4．（2020春•鹿城区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，AC和BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，则边AD长的取值范围是（）A．1＜AD＜7 B．5＜AD＜11 C．6＜AD＜8 D．3＜AD＜4【点拨】根据平行四边形对角线互相平分可得AO＝4，DO＝3，再根据三角形的三边关系可得4﹣3＜AD＜4+3，再解即可．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC，DO＝BD，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，∴4﹣3＜AD＜4+3，解得：1＜AD＜7，故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系以及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．5．（2020•上城区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，BE平分∠ABC，交CD于点E，则DE的长度是（）A． B．2 C． D．3【点拨】根据四边形ABCD为平行四边形可得AB∥CD，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠CBE＝∠CEB，可得CE＝BC＝4，即可求得DE的长度【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，CD＝AB＝6，∴∠ABE＝∠CEB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝BC＝4，∴DE＝CD﹣CE＝6﹣4＝2．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及角平分线定义等知识，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠CBE＝∠CEB．6．（2020春•奉化区期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE＝BC，成立的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4【点拨】利用平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE＝BE＝BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∵AB＝BC，∴AE＝BE＝BC，∴AE＝CE，故①正确；∴∠EAC＝∠ACE＝30°∴∠BAC＝90°，∴S△ABC＝AB•AC，故②错误；∵BE＝EC，∴E为BC中点，∴S△ABE＝S△ACE，故③错误；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝CO，∵AE＝CE，∴EO⊥AC，∵∠ACE＝30°，∴EO＝EC，∵EC＝AB，∴OE＝BC，故④正确；故正确的个数为2个，故选：B．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键．7．（2019春•海曙区期末）把平行四边形ABCD放入平面直角坐标系中，已知对角线的交点为原点，点A的坐标为（2，﹣3），点C的坐标为（）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（2，3）【点拨】因为平行四边形是中心对称图形，若对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称，从而根据A点坐标可求C点坐标．【解析】解：∵平行四边形是中心对称图形，所以当其对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称，∵A（2，﹣3），∴C（﹣2，3）．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，以及坐标与图形的性质，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．8．（2019春•富阳区期末）在平行四边形ABCD中，下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AB＝AD C．∠A≠∠C D．∠A+∠B＝180°【点拨】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得对角相等，邻角互补，继而求得答案．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠C，∴∠A+∠B＝180°．故一定正确的是D．故选：D．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．9．（2019•宁波模拟）如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，BC＝3，AC＝4，则B，D两点间的距离是（）A． B．6 C．10 D．5【点拨】过D作DE⊥BC，利用平行四边形的性质和勾股定理解答即可．【解析】解：过D作DE⊥BC，∵平行四边形ABCD中，AC⊥BC，∴AD∥CE，∵DE⊥BC，∴AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴CE＝AD＝BC＝3，连接BD，在Rt△BDE中，BD＝，故选：A．【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．10．（2019春•防城港期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，，则下列结论：①∠CAD＝30°②③S平行四边形ABCD＝AB•AC④，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【点拨】①先根据角平分线和平行得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝，OE∥AB，根据勾股定理计算OC＝和OD的长，可得BD的长；③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断．【解析】解：①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝1，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝1，∵BC＝2，∴EC＝1，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝30°，∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACE＝30°，故①正确；②∵BE＝EC，OA＝OC，∴OE＝AB＝，OE∥AB，∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，Rt△EOC中，OC＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∴∠ACB＝30°，∴∠ACD＝90°，Rt△OCD中，OD＝，∴BD＝2OD＝，故②正确；③由②知：∠BAC＝90°，∴S平行四边形ABCD＝AB•AC，故③正确；④由②知：OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB，∵AB＝BC，∴OE＝BC＝AD，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键系．二、填空题11．（2020春•衢州期中）如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，其中∠1+∠2+∠3+∠4＝α，若∠BOD＝38°，则α的值是218°．【点拨】根据五边形的内角和等于540°可得∠DEF+∠EFG+∠FGA+∠GAB＝540°﹣38°＝502°，再根据平角的定义即可得出α的值．【解析】解：∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∠BOD＝38°，∴∠DEF+∠EFG+∠FGA+∠GAB＝540°﹣38°＝502°，∵（∠DEF+∠EFG+∠FGA+∠GAB）+（∠1+∠2+∠3+∠4）＝4×180°＝720°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝720°﹣502°＝218°．故答案为：218°．【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解答本题的关键．12．（2019秋•盐田区期末）某多边形从一个顶点出发有5条对角线，则该多边形共有20条对角线．【点拨】根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解．【解析】解：设多边形有n条边，则有条对角线，则n﹣3＝5，解得n＝8．＝＝20，故该多边形共有20条对角线．故答案为：20．【点睛】本题考查了多边形的对角线，经过n边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过n边形的一个顶点的所有对角线把n边形分成（n﹣2）个三角形．13．（2019春•越城区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE，CF分别是∠ABC与∠BCD的平分线，交AD于点E、F，则线段EF的长为1cm．【点拨】根据平行四边形的性质可知∠AEB＝∠EBC，依据BE平分∠ABC，即可得到∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE＝3，同理可证FD＝3，继而可求得EF＝AE+DE﹣AD．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3cm，同理可得：DF＝DC＝3cm，∴EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1（cm）．故答案为：1cm．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．14．（2019春•乐清市期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠BAD的平分线AE交CD于点E，连结BE，若∠BAD＝∠BEC，则平行四边形ABCD的面积为10．【点拨】过点B作BF⊥CD于F，由平分线得出∠DAE＝∠BAE，由平行四边形的性质得出AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，∠BAD＝∠BCE，AB∥CD，证出∠DAE＝∠DEA，则AD＝DE＝3，CE＝2，证出∠BCE＝∠BEC，则CF＝EF＝CE＝1，由勾股定理得出BF＝＝2，则平行四边形ABCD的面积＝BF•CD即可得出结果．【解析】解：过点B作BF⊥CD于F，如图所示：∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，∠BAD＝∠BCE，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE＝3，∴CE＝CD﹣DE＝2，∵∠BAD＝∠BEC，∴∠BCE＝∠BEC，∴CF＝EF＝CE＝1，BF＝＝＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝BF•CD＝2×5＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形面积的计算等知识，熟练掌握平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键．15．（2019春•大渡口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，则DE的最小值是6．【点拨】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．【解析】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，又∵OC＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB＝3，∴DE＝2OD＝6．故答案为：6．【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．16．（2018春•富阳区期末）已知平行四边形周长为20，相邻两条边的长度比是3：2，这个平行四边形的最大面积是24．【点拨】设相邻两条边的长度分别为2x、3x，则2（2x+3x）＝20，解得：x＝2，得出2x＝4，3x＝6，即相邻两条边的长度分别为4和6，当平行四边形为矩形时，面积最大＝4×6＝24．【解析】解：∵平行四边形周长为20，相邻两条边的长度比是3：2，∴设相邻两条边的长度分别为2x、3x，则2（2x+3x）＝20，解得：x＝2，∴2x＝4，3x＝6，即相邻两条边的长度分别为4和6，当平行四边形为矩形时，面积最大＝4×6＝24；故答案为：24．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的面积；熟练掌握平行四边形的性质，由题意求出相邻两条边的长度是解题的关键．三、解答题17．（2019秋•瑞安市期末）如图所示平行四边形ABCD中，EF分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF．（1）求证：BE＝DF；（2）连结AF，若AD＝DF，∠ADF＝40°，求∠AFB的度数．【点拨】（1）证明四边形BEDF是平行四边形即可解决问题．（2）利用等腰三角形的性质求出△DAF即可解决问题．【解析】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE∥BF，DE＝BF∴四边形BEDF是平行四边形∴BE＝DF．（2）∵AD＝DF，∠ADF＝40°∴∠DAF＝∠AFD＝70°∵AD∥BC∴∠AFB＝∠FAD＝70°．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．（2019春•萧山区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC．若AC＝4，AB＝5，求BD的长．【点拨】由平行四边形的性质得出CE＝AC，BE＝BD，根据勾股定理求出BC的长度，得出CE的长度，再根据勾股定理求出BE，即可得出BD的长度．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CE＝AC，BE＝BD，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝3，∴CE＝AC＝2，∴BE＝＝＝，∴BD＝2BE＝2．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的运用；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．19．（2018春•嘉兴期中）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE．求证：AF∥CE．【点拨】欲证明AF∥EC，只要证明∠F＝∠E，只要证明ADF≌△CBE即可．【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADF＝∠CBE，∵BF＝DE，∴BF+BD＝DE+BD，即DF＝BE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠AFD＝∠CEB，∴AF∥CE．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2020春•衢州期中）已知：平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，对角线AC⊥CD．（1）如图1，若AD＝6，求平行四边形ABCD的面积．（2）如图2，连接BD交AC于O点，过点A作AE⊥BD于E，连接EC．求证：ED＝AE+EC．【点拨】（1）由已知条件得到△ACD是等腰直角三角形，求得AC＝CD＝AD＝3，根据平行四边形的面积公式即可得到结论；（2）过C作FC⊥BD于F，根据全等三角形的判定和性质得到AE＝CF，OE＝OF，设AC＝AB＝2x，由勾股定理得到AD＝BC＝2x，BO＝DO＝＝x，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：（1）∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AD＝6，∴AC＝CD＝AD＝3，∴平行四边形ABCD的面积＝33＝18；（2）过C作FC⊥BD于F，∵AE⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∵平行四边形ABCD中，AO＝CO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF，OE＝OF，∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，∴△ACD是等腰直角三角形，设AC＝AB＝2x，∴AD＝BC＝2x，∴AO＝x，∴BO＝DO＝＝x，∵S△AOB＝AB•AO＝BO•AE，∴AE＝＝＝，∴OE＝OF＝＝x，∴EF＝CF＝x，∴CE＝EF＝x，∵DE＝＝x，AE+EC＝x+x＝x，∴ED＝AE+EC．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．21．（2018秋•天台县期末）（1）如图1，在△ABC中，已知OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB．①若∠A＝50°，则∠O＝115°，∠P＝65°；②若∠A＝α，则∠O＝90°+α，∠P＝90°﹣α．（用含α的式子表示）（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P与∠A，∠D的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在六边形ABCDEF中，CP，DP分别平分外角∠GCD，∠HDC，请直接写出∠P与∠A，∠B，∠E，∠F的数量关系∠P＝360°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）．【点拨】根据角平分线的性质和三角形内角和以及外角定理解答即可．【解析】解：（1）①解：∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣50°）＝115°；∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠DBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣50°）]＝65°；故答案为：115°；65°．②解：∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣α）＝90°+α；∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠DBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣α）]＝90°﹣α；故答案为：9