2.2充分条件必要条件充要条件5题型分类（讲练）（原卷版）

2.2充分条件、必要条件、充要条件5题型分类知识点1充分条件与必要条件充要条件的概念符号与的含义“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：．充分条件、必要条件与充要条件①若，称是的充分条件，是的必要条件．②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．注：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．知识点2充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件．从集合与集合间的关系看若，，①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件．注：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件．知识点3充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）注：对于命题“若，则”①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题．（一）1.判断充分条件、必要条件的注意点（1）明确条件与结论．（2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题．（3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q．2.充分条件、必要条件的两种判断方法（1）定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．（2）命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．3.充分、必要与充要条件的判定(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.(2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件.(3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件.(4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件.4.充分必要条件与集合的关系若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．注:充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；题型1：充分条件与必要条件的判断11．（2024高一上·宁夏吴忠·期中）“为整数”是“为整数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．（2024高一上·上海浦东新·期中）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件13．（2024高一上·河北张家口·期中）p：四边形为矩形，q：四边形对角线相等，则p是q的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．（2024高三·河北·专题练习）一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（

）A． B． C． D．15．（2024高一上·四川攀枝花·阶段练习）设为两个非空集合，“，都有”是“A是B的真子集”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．（2024高一·全国·课后作业）若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件17．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④（二）根据充分条件、必要条件求参数取值范围（1）化简p、q两命题，（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，（3）利用集合间的关系建立不等关系，（4）求解参数范围．题型2：根据充分条件、必要条件求参数的取值范围21．（2024高一上·陕西安康·期末）已知条件，条件，且是的必要条件，求的取值集合．22．（2024高一上·上海徐汇·期末）若，，已知是的充分条件，则实数的取值范围是．23．（2024高一上·江苏南通·开学考试）已知.(1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;(2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.题型3：充要条件的应用31．（2024高一上·湖南郴州·阶段练习）设集合，；(1)用列举法表示集合；(2)若是的充要条件，求实数的值.32．（2024高一上·全国·课后作业）若“1<xm<1”成立的充分不必要条件是“<x<”，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．33．（2024高三上·甘肃金昌·阶段练习）若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（

）A． B．或 C． D．或34．（2024高二上·海南三亚·期中）已知命题，命题.（1）若是的充分条件，求实数的取值范围.（2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（三）探求充要条件一般有两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．题型4：探索命题为真的一个充分、必要、充要条件41．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．42．（2024高一·江苏·假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是A． B． C． D．43．（2024高一上·贵州·阶段练习）若，则的一个充分不必要条件为（

）A． B．C． D．44．（2024高一·全国·专题练习）写出关于，，的等式成立的一个充要条件：．（四）充要条件的证明（1）证明充分性；（2）证明必要性．题型5：充要条件的证明51．（2024高一上·上海长宁·期中）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.52．（2024高一·江苏·假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是.53．（2024高三·全国·对口高考）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件．54．（2024高一上·全国·课后作业）已知，设二次函数，其中a，c均为实数.证明:对于任意，均有成立的充要条件是.一、单选题1．（2024高一上·湖南常德·阶段练习）命题“”是真命题的充要条件是（

）A． B． C． D．2．（2024高一上·全国·单元测试）设：或；：或，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（

）A．，B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等C．，D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等4．（2024高二下·福建·学业考试）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2024高三上·江苏连云港·期中）设x，，则“”的充要条件是（

）A．不都为1 B．都不为1 C．都不为0 D．中至多有一个是16．（2024高一上·全国·课后作业）已知集合M，P，则“或”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2024高一上·吉林辽源·期末）“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要8．（2024高一上·云南·期末）已知、，且，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件9．（2024·北京·一模）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[－1.6]＝－2，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件10．（2024高一下·湖北黄冈·期中）若集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．（2024高一上·北京西城·期中）设x＞0，y∈R，则“x＞|y|”是“x＞y”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．（2024·山西·一模）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件13．（2024高一上·浙江·期中）设x为任一实数，[x]表示不大于x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件14．（2024高一上·河北张家口·期中）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．15．（2024高一上·辽宁·期中）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．16．（2024高一下·安徽·期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．17．（2024高一上·四川绵阳·阶段练习）下列“若,则”形式的命题中，是的必要条件的有（

）个①若是偶数,则是偶数②若，则方程有实根③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形④若，则A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题18．（2024高一上·河北沧州·阶段练习）若M、N是全集I的真子集，下面四个命题m，n，s，t是命题充要条件的是（

），，，A．m B．n C．s D．t19．（2024高一上·海南海口·阶段练习）若是的充分不必要条件，则实数a的值可以是（

）A． B． C． D．20．（2024高一上·安徽六安·期中）命题“一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件可以是（

）．A． B． C． D．21．（2024高一上·安徽芜湖·期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．22．（2024高一上·河北沧州·阶段练习）已知集合或，则的必要不充分条件可能是（

）A． B． C． D．23．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，真命题的是（

）A．若且则至少有一个大于 B．C．的充要条件是 D．至少有一个实数，使得三、填空题24．（2024高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为.25．（2024高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是．26．（2024高一上·江苏·课后作业）如果条件对应的集合为，条件对应的集合为，则（1）若是的充分不必要条件，则；（2）若是的必要不充分条件，则；（3）若是的充分必要条件，则；（4）若是的既不充分又不必要条件，则.27．（2024高一上·重庆渝中·期末）若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为.28．（广东实验中学20232024学年高一下学期限时训练数学试题）设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.29．（2024高一下·上海青浦·开学考试）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是．30．（上海市徐汇区20232024学年高一上学期期末数学试题）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是．31．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）已知命题关于x的方程有实根，若为真命题的充分不必要条件为，则的取值范围是.32．（2024高一上·上海长宁·阶段练习）若或是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.33．（2024高一·全国·单元测试）设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的条件．34．（2024高一上·天津和平·期中）已知p：x>1或x<3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是．35．（2024高一下·上海黄浦·期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是．四、解答题36．（2024高一上·浙江温州·阶段练习）设.(1)求证：成立的充要条件是.(2)直接写出成立的充要条件（不要求证明）.37．（2024高一上·全国·课后作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.38．（2024高一上·云南红河·期末）集合，.(1)当时，求；(2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m的取值范围条件①：是的充分条件；条件②：；条件③：.注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.39．（2024高一·江苏·假期作业）已知，关于的方程有整数解是真命题，且关于的一元二次方程有整数解也是真命题，求的值．40．（2024高一上·湖北·阶段练习）在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合A=x1≤x≤5，非空集合.是否存在实数，使得是的__________条件？41．（2024高一上·全国·课后作业）已知或，为非空集合)，记，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.42．（2024高一·全国·课后作业）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．43．（2024高一上·北京西城·阶段练习）已知，p：，q：，若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．44．（2024高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合．(1)判断8、9、10是否属于集合A；(2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”．45．（2024高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，．(1)若“，”为假命题，求的取值范围；(2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或．46．（2024高一·全国·课后作业）已知，，求的充要条件.47．（2024高一上·江西赣州·周测）在①是真命题；②是的充分不必要条件；③是真命题；这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合(1)当时，求；(2)若_______，求实数的取值范围.48．（2024高一上·甘肃临夏·阶段练习）已知条件集合，条件非空集合．(1)若