第09讲根的判别式及其应用

第09讲根的判别式及其应用 运用根的判别式，判别方程根的情况会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围掌握韦达定理 模块一：判别式的值与根的关系 一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）； （2）；（3）； （4）． 【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根；（4）方程有两不等实根．【解析】（1），，，，方程有两不等实根；，，，，方程无实数根；，，，，方程有两相等实根；（4），，，，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况，注意、异号时则必有两不等实根．关于的方程（其中是实数）一定有实数根吗？为什么？【答案】一定有．【解析】∵，，，∴恒成立，可知方程一定有实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况．已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根．【答案】或；时，方程根为；时，方程根为．【解析】化为一般式，即为：，其中，，，则，因为方程有两相等实数根，则有，解得：，；时，方程化为，解得方程根为：；时，方程化为，解得方程根为．已知关于的方程．（1）有两个不相等的实根，求的取值范围；（2）有两个相等的实根，求的值，并求出此时方程的根；（3）有实根，求的最大整数值．【答案】（1）；（2），此时方程根为；（3）．【解析】，，，， 由此可知：（1）当，即时，方程有两个不相等的实根；（2）当，即时，方程有两个相等的实根，此时方程即为 ，解得方程根为：；（3）当，即时，方程有实根，此时最大整数值为．【总结】可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，方程有实数根，即其，可在此基础上进行分类讨论． 模块二：根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．当为何值时，方程，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【答案】（1）且；（2）；（3）．【解析】将方程整理成关于的一元二次方程的一般形式，即得：，此时，，，，由方程为一元二次方程，可知，故；，由此可知，（1）当，即且时，方程有两不等实根；（2）当，即时，方程有两相等实根；（3）当，即时，方程无实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其值，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．已知关于的方程总有实数根，求的取值范围．【答案】．【解析】（1）当，即时，方程为一元一次方程，方程有实根；当，即时，方程为一元二次方程，其中，，，方程有实根，则必有：，可解得且；综上所述，的取值范围为．【总结】对于形如的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算．已知，关于的一元二次方程，（1）若，求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若的整数，且方程有两个整数根，求的值．【答案】（1）略；（2）．【解析】（1）证明：对于一元二次方程而言，其中，，，则，当时，恒成立，由此即可证得方程有两个不相等的实数根．（2）由（1）中值，解方程得方程两根为，，方程有两整数根，则必为平方数，由，可得，为整数，则为奇数，这之间的平方数且为奇数的仅有49，即，解得：．【总结】考查对于一元二次方程根的判别式的应用，为完全平方数或完全平方式时，方程可直接分解因式，进而求解讨论． 模块三：韦达定理韦达定理：如果是一元二次方程的两个根,由解方程中的公式法得,，．那么可推得．这是一元二次方程根与系数的关系．写出下列一元二次方程（方程的根为）的两实数根的和与两实数根的积（1），________；________； （2）， ________；________．【答案】（1）3，1；（2），．【解析】（1），，，根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，；（2），，，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，；【总结】考查一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，由一般式确定相应的、、值即可快速得到结果．已知是方程的一个根，求另一根及值．【答案】方程另一根为，．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，，，令，则可求得，代入可得【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．已知是方程的两个根，分别根据下列条件求出的值．（1）； （2）．【答案】（1），；（2），．【解析】（1）根据韦达定理，可得，，可得，；（2）根据韦达定理，可得，，可得，．【总结】考查韦达定理的应用，可快速由方程的根得到方程中的相关字母量．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2；（5）4．【解析】根据韦达定理，可得，，由此：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算．一、单选题（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）关于x的一元二次方程的根的情况（

）A．有两个不相等的实数根； B．有两个相等的实数根；C．没有实数根； D．不能确定．【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式的值，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故选A．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，关键是掌握，一元二次方程有两个不相等的根，，一元二次方程没有根，，一元二次方程有两个相等的根，（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）如果关于x的二次三项式在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（

）A． B． C． D．且【答案】D【分析】因二次三项式在实数范围内能分解因式，所以有实数根，据此求解即可．【详解】∵二次三项式在实数范围内能分解因式，∴有实数根，∴，∴且．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为，那么一元二次方程可整理为．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴且，即，解得且．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）下列关于的方程中，一定有实数根的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解．【详解】解：A.，∴原方程没有实数根，故该选项不符合题意；

B.，∴原方程没有实数根，故该选项不符合题意；

C.，，当时，，∴原方程没有实数根，故该选项不符合题意；

D.，，∴原方程有实数根，故该选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．（2023春·上海·八年级期中）方程组解的情况是（

）A．有两组不同的实数解 B．有两组相同的实数解C．没有实数解 D．不能确定【答案】A【分析】方程②减去方程①得出，整理可得，求出，根据根的判别式得出方程有两个不相等的实数根，从而得出方程组有两组不相等的实数解．【详解】解：方程减去方程，消去得：，整理得：，，，即方程有两个不相等的实数根，所以方程组也有两组不相等的实数解，故选：A．【点睛】本题考查了二次方程组和根的判别式，能得出关于x的一元二次方程是解此题的关键．（2022秋·上海·八年级期末）已知为实数，则关于的方程的实数根情况一定是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个实数根 D．没有实数根【答案】C【分析】计算判别式的值，利用配方法得到△＝（m+2）2≥0，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】解：∵a＝1，b＝－(m－2)，c＝－2m，∴，∵，∴，∴方程有两个实数根，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2－4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．二、填空题（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是________．【答案】且【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后即可求解．【详解】解：根据题意得且，解得且．故答案为：且．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）关于x的方程的根的判别式是_____________．【答案】【分析】分别找出该方程的二次项系数，一次项系数和常数项，即可进行解答．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式的求法以及正确找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）若关于的方程（）有两个相等的实数根，则代数式的值是______．【答案】【分析】根据题意可知一元二次方程根的判别式，得出，代入代数式即可求解．【详解】解：∵关于的方程（）有两个相等的实数根，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．三、解答题（2022秋·上海嘉定·八年级统考期末）已知关于的方程．(1)当为何值时，此方程有实数根；(2)选择一个你喜欢的的值，并求解此方程．【答案】(1)当时，方程有实数根；(2)取，，．【分析】（1）根据，确定的取值范围；（2）从上题中求得的范围中找到一个喜欢的值代入后得到方程，求解即可．【详解】（1）解：要使方程有实数根，必须，即，解得，∴当时，方程有实数根；（2）解：取，方程变为，，，，∴，∴，∴，．(答案不唯一)【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式的关系是解答此题的关键．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根(1)求m的取值范围；(2)请写出m的最小整数值，并求出此时方程的根.【答案】(1)且；(2)，．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解不等式即可；（2）根据（1）的结论得到m满足条件的最小负整数为，则原方程化为，然后利用公式法解方程．【详解】（1）解：根据题意，得且，解得且；（2）解：m满足条件的最小整数值，则原方程化为，∴，∴，∴，．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）若m为非负整数，且一元二次方程有两个实数根，求m的值和这时方程的根．【答案】；方程的根为，【分析】根据一元二次方程的定义以及判别式的意义，得出且，解出关于的不等式组，即可求得的值，然后把的值代入原方程，得出，解出即可得出答案．【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，∴可得：且，即，解得：，∵为非负整数，∴，当时，一元二次方程为，即，解得：，，∴当时，方程的根，．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的判别式、解一元二次方程，解本题的关键在正确求出的值．（2022秋·上海宝山·八年级校联考期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值并求出方程的根【答案】，【分析】先由根的判别式求出k的值，再解方程即可得到方程的根．【详解】解；，由题意得，，解得，∴所求方程为，∴，解得，【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，用根的判别式求出k的值是解题的关键．（2022秋·上海·八年级校考期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得出，求出取值范围即可；（2）由且m为非负整数，得到或0，代入后求出方程的解，即可得出答案．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根．即有两个不相等的实数根．∴．解得；（2）∵且m为非负整数，∴或0．当时，原方程为．解得，，它的根都是整数，符合题意；当时，原方程为．解得，，∴它的根都是不整数，不符合题意；．综上所述，．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出的值和的范围是解此题的关键．下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一定能在实数范围内因式分解可知必须满足，分别进行判断即可；【详解】的，故A错误；的，可能大于0，也可能小于0，故B错误；的，故C正确；的，故D错误；故选C．【点睛】本题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件，根据题意判断出判别式的符号，认真计算，熟练掌握任何数的平方都是非负数是解题的关键．下列方程中，有实数解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的被开方数非负性判断未知数的取值，即可判断方程的解．【详解】解：A、∵，∴，∴无实数解，故A错误；B、∵，∴，∴，，故B正确；C、∵，，∴且，∴且，∴无解，故C错误；D、∵，∴，∴，∴无解，故D错误；故选：B．【点睛】此题考查了解一元二次方程，二次根式的性质，解一元一次方程，正确掌握各知识点是解题的关键．等腰三角形的一边长为2，另两边长是关于x的方程的两个实数根，则m的值为______.【答案】10【分析】讨论：当底边长为2时，则腰长为方程的两个根，利用判别式得到m的值；当腰长为2，则将代入方程求解，然后根据三角形三边的关系加以判断．【详解】解：当底边长为2时，则腰长为方程的两个根，∴，解得；当腰长为2，则为方程的一个根，∴，解得，方程化为，解得，∵，∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，综上所述，m的值为10．故答案为：10．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．若关于x的方程在实数范围内没有实数根，则k的取值范围是______．【答案