4.1平方根（八大题型）（原卷版）

（苏科版）八年级上册数学《第4章实数》4.1平方根知识点一知识点一平方根◆1、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.◆2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根.◆3、平方根的表示方法：正数a正的平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为.

正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”．◆4、平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.知识二知识二算术平方根◆1、算术平方根的定义：我们把正数a的正的平方根叫做a的算术平方根．a的算术平方根记作：，读作:“根号a”.规定：0的算术平方根是0.记作:=0.◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性.①被开方数一定是非负数，即a≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0.◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大.读作：“二次根号a”.◆5、算术平方根与平方根的联系和区别：联系：（1）包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.（2）只有非负数才有平方根和算术平方根.（3）0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：（1）个数不同：一个正数有两个平方根，但正数算术平方根只有一个.（2）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为，正数a的平方根表示为；题型一平方根及算术平方根的认识题型一平方根及算术平方根的认识【例题1】下列说法正确的是（）A．25的平方根是5 B．（﹣3）2的平方根是﹣3 C．925的算术平方根是3D．0.16的算术平方根是±0.4解题技巧提炼±a（a≥0）表示非负数的a的平方根，a（a≥0）表示非负数a的算术平方根.【变式11】（2022秋•莱州市期末）144的平方根是±12的数学表达式是（）A．144=12 B．144=±12 C．±144【变式12】下列说法中，正确的是（）A．任何数的平方根都有两个 B．一个数的平方根是它本身 C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根【变式13】（2022秋•陈仓区期中）下列语句中，错误的是（）A．14的平方根是±12 B．C．−12是14【变式14】（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±13A．13 B．16 C．19【变式15】（2022春•澄迈县期末）（﹣6）2的平方根是（）A．6 B．±6 C．±6 【变式16】（2022秋•城阳区期中）若x+4是4的一个平方根，则x的值为（）A．﹣2 B．﹣2或﹣6 C．﹣3 D．±2【变式17】（2022秋•薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（）A．±a−1 B．a﹣1 C．a2﹣1 D．±a题型二求一个数的平方根题型二求一个数的平方根【例题2】求下列各数的平方根：（1）2549（2）0.36（3）（﹣9）2（4）解题技巧提炼本题运用了定义法，求一个数的平方根，先把被开方数化成x2=a的形式，再根据定义即可求出它的平方根.【变式21】1649A．47 B．±47 C．−【变式22】（2023•常德三模）16的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．2【变式23】（2023•西乡塘区校级开学）已知实数a的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（）A．﹣2 B．−2 C．4 【变式24】（2022秋•二道区校级期中）在﹣2，0，117A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式25】（﹣8）2的平方根是（）A．﹣8 B．8 C．±8 D．±64【变式26】（2022秋•雁塔区校级月考）求下列各数的平方根：（1）49；（2）1625；（3）279；（4）0.36；（5）【变式27】求下列各式的值：（1）−196；（2）±254；（3）2−1.75；（4）±题型三求一个数的算术平方根题型三求一个数的算术平方根【例题3】求下列各数的算术平方根：（1）144；（2）0.49；（3）614；（4）（−32解题技巧提炼根据算术平方根的概念求一个数的算术平方根，（1）当遇到求带分数的算术平方根的题目时，应先将带分数化成假分数再进行计算；（2）求一个数的算术平方根是多少，首先要知道哪个非负数的平方等于这个数.【变式31】（2022秋•宁强县期末）9的值等于（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．5【变式32】（2023春•兴义市月考）81的平方根是．【变式33】（2023春•秀屿区校级期中）16的算术平方根是．【变式34】（2022•济宁三模）若a=5，则aA．10 B．5 C．25 D．±25【变式35】（2022春•老河口市月考）设x＝﹣22，y=(−3)2A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6【变式36】求下列各式的值：（1）144；（2）2549；（3）10000；（4）0.0049题型四算术平方根的非负性题型四算术平方根的非负性【例题4】（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2+b+2=0，则a+A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0解题技巧提炼算术平方根a具有双重非负性,即被开方数a≥0且a≥0，a中隐含条件a≥0要灵活运用.2、几个非负数的和为0，其中的每一个非负数都必须等于0.【变式41】（2022秋•桂平市期末）若m+2+(n−3)2=0，则mn的值是【变式42】（2023•濠江区模拟）若a，b为实数，且|a−1|+b+2=0，则（a+b）2023＝【变式43】已知a，b为实数，且1+a+1−b=0，则a2022﹣b2023＝【变式44】（2023春•江源区期末）已知（a﹣1）2+|b+1|+b+c−a=0，则a+b+c＝【变式45】（2022春•蜀山区校级期中）若a−1与|b+2|互为相反数，则a+bA．1−2 B．2−1 C．2+1【变式46】（2022秋•迎泽区校级月考）若x，y满足(x−5)2+y+2=0，则x【变式47】（2022秋•靖江市校级期中）已知a，b，c都是实数，且满足（2﹣a）2+a2+b+c+|c+8|＝0，且ax2+bx+c＝0，求代数式3x【变式48】已知a，b为实数，且满足a−2+b2﹣6b（1）求a，b的值；（2）若a，b为△ABC的两边，第三边c=13，求△ABC题型五利用平方根或算术平方根的定义求值题型五利用平方根或算术平方根的定义求值【例题5】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（）A．8 B．0 C．8或0 D．4或﹣4解题技巧提炼运用平方根及算术平方根的定义列方程求解，运用方程的思想求相关待定字母的值是数学中常用的方法.【变式51】（2023春•长顺县期末）若2m﹣5与4m﹣9是某一个正数的平方根，则m的值是（）A．73 B．﹣1 C．73或2【变式52】（2022•游仙区校级二模）若﹣3xmy和5x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（）A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8【变式53】（2022秋•高新区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|+c+4=0，求a+3b+【变式54】（2021春•饶平县校级期中）若x，y均为实数，且x−1+1−x+2y【变式55】（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．（1）求a，b的值；（2）求4a﹣6b的平方根．【变式56】（2022春•芜湖期末）已知a+b﹣2的平方根是±17，3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b【变式57】（2023春•恩施州期中）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；（2）若2a﹣4与3a+1是同一个正数的平方根，求a的值．题型六利用平方根解方程题型六利用平方根解方程【例题6】（2022春•岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．（1）169x2＝100；（2）（x+1）2＝81．解题技巧提炼先将方程化为ax2=b的形式，再利用平方根的定义求未知数的值.【变式61】（2022秋•新城区校级期中）求下列式子中的x：（1）25（x−35）2＝49；（2）12（x【变式62】（2022秋•滕州市校级月考）求满足下列各式x的值（1）169x2﹣100＝0（2）（2x﹣1）2＝（﹣5）2．【变式63】（2022春•武侯区月考）求下列各式中的x的值：（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2+8＝72；（3）3（x+2）2﹣27＝0；（4）12（x﹣5）2【变式64】已知a，b满足|a﹣4|+b−7=0，解关于x的方程（a﹣3）x2﹣1＝5【变式65】（2023春•澄海区期末）已知|2a+b﹣4|与3b+12互为相反数．（1）求5a﹣4b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+5b﹣5＝0．题型七开平方运算中小数点移动规律题型七开平方运算中小数点移动规律【例题7】（2022春•渝中区校级月考）若51.11≈7.149，511.1≈22.608，则A．71.49 B．226.08 C．714.9 D．2260.8解题技巧提炼1、开平方运算中，被开方数的小数点向左（右）移动两位，其算术平方根的小数点相应向左（右）移动一位.2、解决此类规律题，需从两个方向进行比较，即把被开方数进行比较，把它们的结果进行比较，从中发现规律.【变式71】（2023•宁津县校级开学）若25.36≈5.036，253.6≈15.906，则253600≈【变式72】（2022春•顺德区校级期中）若169=13，则16900为130【变式73】（2021春•淮南月考）已知2021≈44.96，202.1≈14.22A．4.496 B．1.422 C．449.6 D．142.2【变式74】（2022秋•衡阳县期中）已知4.3≈2.0736，43A．0.43≈0.65574 B．430≈C．4300≈20.736 D．43000【变式75】（2022春•潍坊期中）（1）观察各式：0.03≈0.1732，3≈1.732，发现规律：被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位；（2）应用：已知5≈2.236，则0.05≈，500≈（3）拓展：已知6≈2.449，60≈7.746，计算240和【变式76】根据下表回答下列问题：x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917x2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289（1）289的算术平方根是，268.96=（2）±256=，275.56的平方根是（3）1.5921=，28224=（4）若x=a（x＞0），则100x=（用含题型八算术平方根的实际应用题型八算术平方根的实际应用【例题8】（2022春•连江县期末）某学校有一块长、宽分别为38m和16m的长方形空地，计划沿边建造一个长宽之比为5：3且面积为540m2的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造符合要求的篮球场？并说明理由．解题技巧提炼算术平方根在计算几何图形的面积问题中应用比较频繁，利用图形结合有关公式或者数量关系列出算式，求出算术平方根，由所得结果进行说明.【变式81】（2023春•桥西区期末）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105米/秒2，sA．0.9×103米/秒 B．0.8×103米/秒 C．8×102米/秒 D．9×102米/秒【变式82】（2023春•巩义市期末）电流通过导线时会产生热量，满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为5Ω，1s时间导线产生30J的热量，则通过的电流I为（）A．2.4A B．6A C．4.8A D．【变式83】（2022秋•鄄城县期末）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，他们总结了一个经验公式：v＝16df，其中v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝25米，f＝1.44，而该路段的限速为80千米/时，肇事汽车当时的车速大约是多少？此车是否超速行驶？【变式84】（2022春•景县月考）球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有关系式，t=ℎA．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒【变式85】（2022秋•阜城县期末）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不