专题02几何作图问题

专题02：几何作图问题目录一、热点题型归纳【题型一】作一条线段等于已知线段【题型二】作一个角等于已知角【题型三】作一个角的平分线【题型四】作线段的垂直平分线（作垂线问题）【题型五】作圆及切线问题【题型六】格点作图问题【题型七】无刻度直尺作图二、最新模考题组练

【题型一】作一条线段等于已知线段【典例分析】1.用尺规作图：（不要求写作法，）(1)如图，已知线段，，作线段(2)如图，已知A、B、C、D四点的位置如图所示，根据下列语句，画出图形．①连接，画直线，、相交于点；②画射线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先画出射线，在射线上截取，再截取，，即为所求；（2）根据题意进行画图即可；【详解】（1）解：如图，，，即为所求，（2）解：如图所示：【点睛】本题主要考查了尺规作图，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，以及用圆规截取线段等于已知线段的方法．【提分秘籍】作法：①作射线AB；②在射线AB上截取AC=a，则线段AC就是所求作的线段，如右图.作一条线段等于已知线段是作有关线段的基础，利用它可以作出已知线段的和、差、倍等线段.【变式演练】1.如图，已知线段a和线段．(1)延长线段到C，使（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若，点O是线段的中点，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)1【分析】（1）根据线段的尺规作图方法作图即可；（2）先求出，再根据线段中点的定义得到，则．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：，∴，∵点O是线段的中点，∴，∴．【点睛】本题主要考查了线段的尺规作图，与线段中点有关的计算，灵活运用所学知识是解题的关键．2.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段；求作：矩形，使．【答案】作图见详解【分析】根据矩形的性质运用尺规作图即可．【详解】解：（1）画射线，在上截取，即以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以为半径画弧交于点；（2）分别以点为圆心，以为半径，画弧，交于点，连接，以点为端点，在上取，（3）分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，可得矩形，如图所示，即为所求图形．∴矩形即为所求图形．【点睛】本题主要考查尺规作图，线段的垂直平分线的作图，矩形的作图，矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键．【题型二】作一个角等于已知角【典例分析】1.如图，在中，，点是线段上一点．(1)尺规作图：在内作，与边交于点（保留作图痕迹，不用写作法）；(2)在（1）的条件下，当时，求的度数．【答案】(1)见解析(2)．【分析】（1）利用基本作图作；（2）先根据三角形内角和得到，再利用（1）的结论即可求解．【详解】（1）解：如图，为所作；（2）解：∵，，，∴，∴．【点睛】本题考查了基本作图，三角形内角和定理，熟练掌握基本作图－作一个角等于已知角和三角形内角和定理是解题的关键．【提分秘籍】作法：①作射线O'A'；②以点0为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；③以O'为圆心，以OC的长为半径画弧，交O'A'于点C'；④以C'为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于点D'；⑤过点D'作射线O'B'，则△A'O'B'就是所求作的角，如右图.【变式演练】1.如图，在中，．(1)请用尺规作图法，在内求作，使，交于D．（不要求写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）以B为圆心，小于任意长为半径画弧，交、于点E、F，以C为圆心，以长为半径画弧，交于点G，以G为圆心，以长为半径画弧，交前弧于点H，连接并延长交于D即可；（2）在（1）的条件下，可证，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】（1）以B为圆心，小于任意长为半径画弧，交、于点E、F，以C为圆心，以长为半径画弧，交于点G，以G为圆心，以长为半径画弧，交前弧于点H，连接并延长交于D即可，如上图所示．（2）∵，，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查了尺规作图法、三角形相似的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．2.如图，在梯形中，，．(1)尺规作图：在上找一点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）条件下，若，，，求梯形的高．【答案】(1)见解析(2)梯形的高为．【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，作即可解决问题；（2）证明四边形是平行四边形，求得，再证明是等边三角形，作于点F，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求解．【详解】（1）解：如图，即为所作，；（2）解：∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，作于点F，∴，∴，答：梯形的高为．【点睛】本题考查了作图－复杂作图，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．3.如图，为的延长线上一点．(1)用尺规作图的方法在上方作，使；(2)在（1）的条件下，若，恰好平分，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）以C为顶点，作即可；（2）根据已知判断出，从而根据平行线的性质求出，关键角平分线的定义得到，再根据邻补角求出结果．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）∵，∴，∴，∵平分，∴，∴．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解决此类问题的关键．也考查了平行线的判定和性质以及角平分线的定义．【题型三】作一个角的平分线【典例分析】1.（1）尺规作图：已知，求作的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法）（2）尺规作图：已知，求作．使．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用尺规作图——作一个角的平分线的方法直接作图即可；（2）利用尺规作图——作一个角等于已知角的方法直接作图即可.【详解】（1）解：如图所示，射线OC即为所求．（2）解：如图即为所求；【点睛】本题考查了尺规作图——作一个角的平分线和作一个角等于已知角，解题关键是掌握尺规作图的方法．【提分秘籍】作法：①在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD=0E；②分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在△AOB内交于点C；③作射线OC，则OC就是△AOB的平分线，如右图【变式演练】1.如图，四边形是平行四边形，．(1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；(2)猜想与证明：试猜想线段，，的关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）根据尺规作图—角平分线的作法，进行作图即可；（2）利用平行四边形的性质可推出，再由角平分线的性质推出，根据等角对等边即可得出结论．【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求；（2）．证明：四边形为平行四边形，，，，平分，，，，．【点睛】本题考查了基本作图角平分线，平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．2.如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C处，是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在的内部，且到A、C的距离必须相等，到两条道路的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置．（不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】作线段的垂直平分线和的角平分线，则其交点即为点P．【详解】解：如图，P点即为所作．【点睛】本题考查作图—线段的垂直平分线，作图—角平分线．掌握基本作图方法是解题关键．3.已知：和两点，求作一点，使，且点到的两边的距离相等．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明）．【答案】作图见详解【分析】根据题意，点在的角平分线与线段的垂直平分线的交点处，由此即可求解．【详解】解：根据题意，先尺规作图的角平分线，（1）以点为圆心，以任意长画弧，交于点，（2）连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，（3）连接并延长，则射线平分；连接，作线段的垂直平分线，（1）分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，（2）连接，则直线是线段的垂直平分线．则射线以直线的交点，即为所求点的位置．【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，垂直平分线的综合，理解并掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质是解题的关键．【题型四】作线段的垂直平分线（作垂线问题）【典例分析】1.如图，在中，，．请用尺规作图法在上找一点D，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】作的垂直平分线交于点D，根据线段垂直平分线的性质得到,推出，利用三角形内角和定理即可得到．【详解】解：如图，点D为所作．．【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．【提分秘籍】作法：①分别以点A和B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，如右图【变式演练】1.如图，是矩形的一条对角线．(1)作的垂直平分线，分别交，于点E、F，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹．不要求写作法）；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）分别以、为圆心，以大于一半的长为半径上下画弧，上下各有一个交点，这两点的连线即为所求；（2）连接，根据垂直平分线的性质得出，设，则，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求；（2）证明：连接，垂直平分线段，，，，设，则，即，解得：，的长为5．【点睛】本题综合考查了尺规作线段的垂直平分线、矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理解三角形等，熟记作图步骤，灵活运用线段垂直平分线的性质和判定进行线段关系的转化是解题关键．2.如图，在矩形中，，在上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）；【答案】作图见解析，理由见解析【分析】利用基本作图，过点作于点即可．【详解】解：如图，过点作于点，∴，∵四边形是矩形，∴，，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，则即为所作．【点睛】本题考查作图—基本作图：熟练掌握种基本作图是此类问题的关键．也考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质．【题型五】作圆及切线问题【典例分析】1.如图，已知中，．(1)尺规作图：作的内切圆（保留作图痕迹，请标明字母）(2)若中，求内切圆的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）作的角平分线交于点，过点作于点，以为圆心，的长为半径作圆，则即为所求；（2）勾股定理求得，设的半径为，根据等面积法求得，进而即可求解．【详解】（1）解：如图所示，即为所求，（2）∵中，∴,设的半径为，则，解得：，∴内切圆的面积为．【点睛】本题考查了作三角形的内切圆，三角形内心的定义，掌握三角形内心的定义是解题的关键．2.如图，为的直径，为上的一点．(1)过点作的切线，交的延长线于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若，垂足为，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）解：如图，为所作；（2）解：，，，为的中位线，，为的直径，，为的切线，，，，，，即，解得：，即的长为．【点睛】本题考查了作图复杂作图，切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．【提分秘籍】作圆问题：①三角形的内心（到各边距离相等）：三条角平分线的交点；②三角形的外心（到各顶点距离相等）：三条垂直平分线的交点；③将作圆问题转化成作角平分线或垂直平分线问题做圆切线问题：以切点为圆心，小于原圆半径r的长为半径画弧，与直线有两个交点，再以这两个交点为圆心，大于这两点的长的一半为半径画弧，两弧的两个交点连线即可。【变式演练】1.如图，在中，，，．(1)求的长；(2)用尺规作三角形的外接圆（不写作法，保留作图痕迹），并求此外接圆的半径．【答案】(1)(2)图见解析，【分析】（1）作于点H，则，在中，求得，，在中，，即可得到的长；（2）作线段和的垂直平分线相交于点，以点为圆心，为半径作圆，则即为三角形的外接圆，连接，则，由，根据圆周角定理得到，则是等腰直角三角形，由即可得到．【详解】（1）解：作于点H，则，在中，，，∴，，在中，，∴，∴，即的长为；（2）如图，即为三角形的外接圆，连接，则，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，即此外接圆的半径为．【点睛】此题考查了解直角三角形、圆周角定理、三角形的外接圆等知识，熟练掌握解直角三角形和圆周角定理是解题的关键．2.已知：如图，A、B、C三个点．求作：，使经过A、B、C三点．【答案】见解析【分析】连接、，分别作线段、的垂直平分线，相交于点O，连接，以点O为圆心，的长为半径画圆即可．【详解】解：如图，即为所求，【点睛】此题考查了三角形的外接圆，熟练掌握三角形外接圆的作法是解题的关键．3.已知：和外一点．(1)如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：；(2)尺规作图：在图乙中，过点作的两条切线、、、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，，，首先证（），可得结论；（2）以为直径作，两圆相交于，，直线，即为所求．【详解】（1）如图，连接，，．，是切线，，，．在和中，，，．（2）以为直径作，两圆交于点、，直线、即为所求；【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，直径的性质等知识点，添加合适的辅助线，构造全等三角形，学会利用辅助圆解决问题是解本题的关键．4.尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）已知：和外一点P．求作：过点P的的切线，PB．【答案】见解析【分析】根据几何语言画出对应的几何图形即可；【详解】作图如图，直线、即为所作的的切线．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．【题型六】格点作图问题【典例分析】1.在正方形网格中，已知格点（即小正方形的顶点）A、B组成的线段AB，请分别按下列要求作图：(1)在图1中作一个面积为2的△ABC（点C在格点上），且有一个内角为钝角；(2)在图2中作一个等腰△ABC（点C在格点上）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先找到一个满足面积是2的△ABC，比如点C在点A往后两格，然后在过这个点作一条平行线可找到符合条件的点C，从而作出这样的钝角△ABC；（2）可通过找到点A或点B的距离是的点即点C来找这样的三角形．（1）解：如下图所示，△ABC即为所求做三角形；（2）如下图所示，△ABC即为所求做三角形；（以下5图答其一正确）【点睛】本题考查网格中的作图，涉及等腰三角形的判定，三角形的面积公式等知识，掌握平行线间的距离相等和网格中找长度的线段是解题的关键．【提分秘籍】根据要求作图，常考类型等面积的三角形、等腰三角形、特殊的平行四边形等，要注意各图形的性质特征。【变式演练】1.我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段．如图在的方格中，现有一格点线段，按要求画图．(1)在图1中画一个格点，使得内部有1个格点（不包括边上的格点）：(2)已知格点D，在图2中画一条格点线段，使线段和线段互相平分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）利用平行四边形的性质，构建图形即可．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，线段即为所求．理由：连接，根据题意得：，∴四边形是平行四边形，∴线段和线段互相平分．【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．2.如图，在的方格纸中，有一格点P，请按要求作图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．(1)在图1中画一个格点，使点Q，R分别落在边，上，且(2)在图2中画一个有两边相等的格点四边形，使点E，F，G，H分别落在边，，，上，且点P在边上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可．（2）构造矩形或梯形即可解决问题．【详解】（1）参考图如下．（2）参考图如下．【点睛】本题考查了作图应用与设计，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．【题型七】无刻度直尺作图【典例分析】1.如图，在方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点．已知线段，且点A，B，C均在格点上．仅用无刻度的直尺完成下列画图，再比较大小．(1)画；画，垂足为E；(2)比较大小：线段______线段，理由是______．【答案】(1)见解析(2)，垂线段最短【分析】（1）根据方格特征作图即可；（2）由垂线段最短可得答案．【详解】（1）解：取格点D，则；取格点F，直线交于点E，则，垂足为E；如图：∵，∴，∴，∵，∴，故直线即为所求；（2）解：垂线段最短可得：线段线段，故答案为：，垂线段最短．解题的关键是掌握方格特征，利用全等三角形判定与性质作图．【提分秘籍】解题的关键是掌握方格特征，再根据题意，利用全等、对称、旋转等特征与性质作图．【变式演练】1.如图，请你仅用无刻度直尺作图．(1)在图①中，画出三角形边上的中线；(2)在图②中，找一格点D，使得．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图，连接即可；（2）按如图所示，找到点D，连接即可．【详解】（1）（2）如图，即为所求；【点睛】本题考查了作图，三角形中线的性质、全等三角形的判定方法，掌握中线的性质及全等三角形判定的方法是关键．2.如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺作图.(1)在图①中，作的角平分线；(2)在图②中，在边上找一点D，使得．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）延长构造等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知的角平分线过等腰三角形底边的中点，找出底边中点P与点A连接即可；（2）设网格边长为1，如图，取格点、、，连接交网格于，连接，交网格于，连接交于，可得，根据可得，根据相似三角形的性质结合网格特征作出即可得答案．【详解】（1）解：如图，点射线即为所求；（2）解：设网格边长为1，如图，取格点、、，连接交网格于，连接，交网格于，连接交于，∵，，∴，∵，∴，∴，∴∴如图，点D即为所求；【点睛】本题考查了无刻度的直尺作图、等腰三角形的性质、角平分线的定义和相似三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．3.图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．点A、B、C、D均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．(1)在图①中线段上找到一点E，使；(2)在图②中线段上找到一点G，连接、，使．【答案】(1)见解析（答案不唯一）(2)见解析【分析】（1）结合网格特点，利用相似三角形的性质，找出两边的比例正好是即可得；（2）先找出点关于的对称点，再与点连接，与的交点即为点．【详解】（1）解：如图①，点即为所作．（2）解：如图②，点即为所作．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、无刻度的直尺作图等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．1．（2022·陕西西安·校考三模）如图，已知△ABC，点D在AB边上，AB=3BD，请用尺规作图法，在AC边上找一点E，使AC=3CE（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】过点D作∠ADE=∠ABC，射线DE交AC于点E，点E即为所求．【详解】解：如图，点E即为所求．．由作图知：∠ADE=∠ABC，∴DE∥BC，∴，∵AB=3BD，∴AC=3CE．【点睛】本题考查作图复杂作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题关键是理解题意，学会利用平行线分线段成比例定理解决问题．2．（2023·陕西西安·校考一模）如图，已知在中，．请利用尺规在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】根据垂线的作图的方法作即可．【详解】解：点如图所示．【点睛】本题考查作图复杂作图，熟练掌握垂线的作图方法是解答本题的关键．3．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知，作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】作的垂直平分线与交于点M，以M为圆心，为直径画圆即可．【详解】解：如图所示，即为所求；．【点睛】本题主要考查了尺规作图—画圆，熟练掌握角所对的弦是直径是解题的关键．4．（2023·广西贵港·统考一模）如图，在中，．(1)作的平分线，交于点E，（不写作法，保留作图痕迹）；(2)若，，求点E到线段的距离．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的作法即可得出答案．（2）过点E作于点F，根据角平分线的性质即可得出答案．【详解】（1）解：如图，即为所求，（2）解：过点E作于点F，∵为的平分线且，∴，在中，∵，，∴，解得：，经检验，是原方程的解且符合题意，∴，即点E到线段的距离为．【点睛】本题考查了角平分线的作法和性质，正确做出辅助线是解题关键．5．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在四边形中，，平分，交于点E．用尺规作图法在上求作一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】作的角平分线交于点F，则点F为所作．【详解】解：如图，点F为所作．理由：在四边形中，∵，∴，∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了尺规作图，四边形内角和定理，平行线的判定，熟练掌握四边形内角和定理，平行线的判定是解题的关键．6．（2023·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，在以为直径的半圆上，用尺规在弧上求作一点P，使圆周角．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】作线段的垂直平分线交半圆于P，点P即为所求．【详解】解：如图所示，点P即为所求；作线段的垂直平分线交半圆于P，连接，∴，∵为半圆的直径，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，线段垂直平分线的性质和尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．7．（2023·山东德州·统考一模）如图，内接于半圆，是直径，过作直线，使．(1)求证：是半圆的切线；(2)已知弧的中点，要求过作于．（尺规作图，保留作图痕迹）(3)若，，求．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)1【分析】（1）根据圆周角定理得到，再证明，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）以点为圆心，为半径画弧，与相交两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离的长为半径，画弧，两弧交与一点，过点和这一点的直线交于点，即为所求垂线；（3）连接交于，根据垂径定理，利用点为的中点得到，，易得，接着证明得到，然后计算即可．【详解】（1）证明：为直径，，，，即，，是半圆的切线；（2）解：如图，即为所求．（3）解：如图，连接交于，点为的中点，，，，在和中，，，，是直径，，．【点睛】本题考查了切线的判定，垂线的作法，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，熟练掌握知识点并正确作出辅助线是解题的关键．8．（2023·福建三明·统考一模）如图，在中，，(1)在边上找一个点，使得点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若，，求线段的长．【答案】(1)图见解析(2)【分析】（1）作的角平分线即可；（2）由勾股定理求得，根据角平分线的性质得，即可求得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可．【详解】（1）解：如图，点即为所求．（2）解：在中，，过点作，垂足为，由（1）可得：，，，设，则，在中，，解得：，．【点睛】本题考查了作图角平分线，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．9．（2022·广东汕头·统考二模）如图，在中，，O是的中点，点M在的延长线上．(1)作的平分线，连接，并延长交于点D，连接（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，判断四边形的形状，并证明你的结论．【答案】(1)见解析；(2)平行四边形，证明见解析．【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得到，推出，利用“”易证，得到，即可证明四边形是平行四边形．【详解】（1）解：如图，，即为所求；（2）解：四边形ABCD是平行四边形，证明如下：是的平分线，，，，，，，，，是的中点，，在和中，，，，，四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了尺规作图，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，解题关键掌握全等三角形的判定和性质与平行四边形的判定．10．（2023·福建·模拟预测）如图，在中，，射线．(1)在线段上取一点，使得，在射线上确定一点，使是以为底边的等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，连接，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）以点C为圆心，CB为半径画弧，交AB于一点，该点即为点E，作CE的垂直平分线，交CM于一点，该点即为点D，连接CD、ED即可；（2）证明四边形ABCD是平行四边形即可．【详解】（1）解：以点C为圆心，CB为半径画弧，交AB于一点，该点即为所求作的点E，作CE的垂直平分线，交CM于一点，该点即为所求作的点D，如图所示：（2）证明：连接AD，如图所示：∵AC＝AB，CE＝CB，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CEB，∵，∴∠CEB＝∠DCE，∵DE＝DC，∴∠DCE＝∠DEC＝∠ABC＝∠ACB，∴△DCE≌△ABC（ASA），∴CD＝AB，∵，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC．【点睛】本题主要考查作图−复杂作图，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．（2023·吉林·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，O均落在格点上，以点O为圆心长为半径的圆交于点C．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示．(1)线段的长等于______；(2)画出的切线；(3)P为上的动点，当取得最小值时，画出点P．【答案】(1)(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用网格根据勾股定理求出的长，再用即可求解的长；（2）连接A点和B点上一格再左两格的格点，交于D，利用垂径定理得到，证明，得出是的切线；（3）找到B点和C点关于的对称点和，连接交于P，可得当，P，D三点共线时，取得最小值．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴；（2）如图所示：即为所求；由作图可知：，∴，在和中，，∴，∴，即，∴是的切线；（3）如图，点P即为所求．【点睛】本题主要考查作图复杂作图，勾股定理，轴对称最短路径问题及垂径定理等知识，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．12．（2023·吉林长春·统考一模）如图是边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，按步骤完成下列问题：(1)在图1中，画出点，使得四边形是平行四边形；(2)在图2中，在边上找点，使得的面积是面积的；(3)在图3中，在边上找点，使得．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据平行四边形的判定画出图形即可．（2）取格点，，连接交于点，连接，点即为所求．（3）取格点，，，连接，交于点，连接交于点，点即为所求．【详解】（1）解：如图1所示，平行四边形即为所求；（2）解：如图2所示，点即为所求；（3）解：如图3所示，点即为所求；【点睛】本题考查