与中国古代文化遗产有关的立体几何

与中国古代文化遗产有关的立体几何问题一、单选题:（2024福建漳州一模）1.如图,石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械,通常由两个圆石做成.磨是平面的两层,两层的接合处都有纹理,粮食从上方的孔进入两层中间,沿着纹理向外运移,在滚动过两层面时被磨碎,形成粉末.如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成,每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍,若石磨的侧面积为64π,则圆柱底面圆的半径为A.4B.2C.8D.6(2024辽宁辽阳一模)2.四羊方尊(又称四羊尊)为中国商代晚期青铜器,其盛酒部分可近似视为一个正四棱台(上、下底面的边长分别为40 cm,20 cm,高为A.22400 cm3B.32400 （2023下福建龙岩高一期中考试）3.“今有城,下广四丈,上广二丈,高五丈,袤两百丈.”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题.意思为“现有城(如图,等腰梯形的直棱柱体),下底长4丈,上底长2丈,高5丈,纵长200丈(1丈=10尺)”,则该问题中“城”的体积等于A.3×105立方尺B.6×105立方尺C.64.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,间米堆的体积和堆放的米各为多少?”若圆周率约为3,则可估算出米堆的体积约为A.9立方尺B.18立方尺C.36立方尺D.72立方尺（2023下福建泉州三校高一联考）5.我国古代名著《张邱建算经》中记载:“今有方锥,下广二丈,高三丈.欲斩末为方亭,令上方六尺.问:斩高几何?”大致意思是:有一个正四棱锥的下底面边长为二丈,高为三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台,且正四棱台的上底面边长为六尺,则截去的正四棱锥的高是多少?如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积,则该正四棱台的体积是()(注:1丈=10尺A.2800立方尺B.3640立方尺C.3892立方尺D.11676立方尺（2024上江浙两省高中发展共同体高三联考）6.漏刻是中国古代的一种计时系统,“漏”是指计时器——漏壶,“刻”是指时间,《说文解字》中记载:“漏以铜壶盛水,刻节,昼夜百刻."某展览馆根据史书记载,复原唐代四级漏壶计时器,如图,计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成,当最上层漏水壶盛满水时,漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0,当最上层漏水壶中水全部漏完时,浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5:3,则当最上层漏水壶水面下降到其高度的一半时,浮箭刻度约为()(A.38B.60C.61D.627.“方斗”常作为盛米的一种容器,其形状是一个上大下小的正四棱台,现有“方斗”容器如图所示,已知AB=4,A1B1=2,现往容器里加米,当米的高度是“方斗”高度的一半时A.74 kgC.76 kg(2023下湖南新高考教学教研联盟高二联考)8.2022年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注,足球最早起源于我国古代“蹴鞠”,被列为国家级非物质文化,蹴即踢,鞠即球,北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景.已知某“鞠”的表面上有四个点A,B,C,D,连接这四点构成三棱锥A-BCD如图所示,顶点A在底面的射影落在△BCD内,它的体积为72932 cm3,其中△A.234πcm2B.D.756二、多选题:9.三星堆遗址,位于四川省广汉市,距今约三千到五千年2021年2月4日,在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器,是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空,形状对称,如图所示,圆筒内径长2 cm,外径长3 cm,筒高4 cm,中部为棱长是3 cmA.该玉琮的体积为18+3π4C.该玉琮的表面积为54+πcm210.“端午节”为中国国家法定节假日之一,已被列入世界非物质文化遗产名录,吃粽子便是端午节食俗之一.全国各地的粽子包法各有不同.如图,粽子可包成棱长为6 cm的正四面体状的三角粽,也可做成底面半径为32 cm,高为6 cm(不含外壳)的圆柱状竹筒粽.现有两碗馅料,若一个碗的容积等于半径为6 cm的半球的体积A.这两碗馅料最多可包三角粽35个B.这两碗馅料最多可包三角粽36个C.这两碗馅料最多可包竹筒粽21个D.这两碗馅料最多可包竹筒粽20个11.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙,且细沙全部漏入下部后A.沙漏中的细沙体积为1024B.沙漏的体积是128C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4D.该沙漏的一个沙时大约是1565秒π12.《九章算术》成书于公元一世纪左右,经历代各家的不断增补和修订,而逐渐成为现今定本,现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年）刘徽为《九章》所作注本.书中阐述:将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;将底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”;将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”,在“堑堵”ABC-A1B1C1中上的点,下列结论正确的是()A.四棱锥A1-B.若AE⊥A1B,AF⊥C.当E,F分别为A1B,A1CD.若CA=CB,则当A1B=3时,四面体A三、填空题:13.我国古代数学著作《九章算术》中记载了许多几何体,如“立方”指立方体,“堑堵”指底面为直角三角形的三棱柱.现将体积为1的“立方”斜剖得到两个体积相等的“堑堵”,再将其中一个“堑堵”剖分得到两个体积相等的小“堑堵”,则小“堑堵”的体积是___.(2023下浙江温州高二学业考试)14.在公元前4世纪中叶,中国天文学家有一套测定天体球面坐标的仪器称作浑仪,比古希腊早了近60年.浑仪是由两个重重的同心圆环构成,整体看上去,近似一个球体.它的运行制作原理可以如下解释,同心圆环的小球半径为r,大球的半径为R,大球内安放六根等长的金属丝(不计粗细),使小球能够在金属丝框架内任意转动,若R=3,则r15.“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体,它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体(如图).如图所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分,其中APC与BPD为相互垂直且全等的半椭圆面,它们的中心为O,OP为1.用平行于底面ABCD的平面α去截“四脚帐篷”所得的截面图形为___；当平面α经过OP的中点时，(2024北京五十五中高二月考)16.(图1)庑殿顶是中国古代建筑一种官式建筑,而且等级是最高的,如故宫的英华殿.它屋面有四面坡,前后坡屋面全等且相交成一条正脊,两山屋面全等与前后屋面相交成四条垂脊.由于屋顶四面斜坡,也称“四阿顶”;(图2)是庑殿顶的顶盖几何模型图,底面ABCD是矩形,若四个侧面与底面所成的角均相等,已知BC=2,EF=庑殿顶图1图2四、解答题:17.自古以来,斗笠是一个防晒遮雨的用具,是家喻户晓的生活必需品之一,主要用竹篾和一种叫做棕榈叶染白后编织而成,已列入世界非物质文化遗产名录.现测量如图中一顶斗笠,得到图中圆锥PO模型,经测量底面圆O的直径AB=48 cm,母线AP=30 cm,若点C在AB上,且∠CAB=π6,D为（2023上上海闵行高二期末考试）18.我国古代数学名著《九章算术》,将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1(1)求证:四棱锥D1-ABCD是一个“阳马”(2)求该“阳马”D1-ABCD（2023下辽宁六校高一联考）19.《九章算术.商功》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑;在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCDBC⊥CD,且AB=(1)四面体ABCD的表面积;(2)四面体ABCD内切球半径;(3)四面体ABCD外接球的表面积.20.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,CB=CP,E为棱PC的中点,F为棱(1)求证:DE⊥平面PBC(2)若EF⊥PB,连接BE,判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角;若不是,(3)延长FE,BC交于点G,连接DG,若二面角F-DG-B的大小为π21.中国是风筝的故乡,南方称“鹞”,北方称“鸢”,如图,某种风筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD,其中AC⊥BD于O,（1）求证:PD⊥（2）试验表明,当PO=12OA时,风筝表现最好,求此时直线PD与平面22.在陕西汉中勉县的汉江河与定军山武侯坪一带,经常出土有铜、铁扎马钉等兵器文物.扎马钉（如题21图(1)）是三国时蜀汉的著名政治家、军事家诸葛亮所发明的一种对付骑兵的武器,状若荆刺,故学名蒺藜,有铜、铁两种.扎马钉有四个锋利的