专题40排列组合与图论第三缉（原卷版）-备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编

1/2备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编专题40排列组合与图论第三缉1．【2020年吉林预赛】若(1+x+x2)1010则a0+a3+A.3670 B.3669 C.31009 2．【2019年贵州预赛】在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=15,BC=20.则顶点B与斜边各点的连线中(含边AB,BC)长度为整数的线段的条数是( )A.9 B.10 C.11 D.123．【2019年吉林预赛】将1,2,3,…,9这9个数全部填入下图的3x3方格内,每个格内填一个数,则使得每行中的数从左至右递增,每列中的数从上至下递减的不同填法共有( )种(A)12 (B)24 (C)42 (D)484．【2024年四川预赛】在x+y+z8的展开式中,所有形如x(A)112 (B)448 (C)1792 (D)143365．【2024年黑龙江预赛】形如45132这样的数称为“波浪数”,即十位数字,千位数字均比与它们各自相邻的数字大,则由1、2,3、(A)20 (B)18 (C)16 (D)116．【2024年贵州预赛】将1,2,⋯,9这九个数字填在如图所示的九个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当5固定在图中中央位置时,则填写空格的方法种数为((A)12 (B)15 (C)16 (D)187．【2024年辽宁预赛】将2、3、4、6、8、9、12、15共八个数排成一行,使得任意相邻两个数的最大公约数均大于1.则所有可能的排法共有()种A．720B．1014C．576D．12968．【2024年湖南预赛】在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有三名选手各比赛两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场.则上述三名选手之间比赛的场数为（）A．0B．1C．2D．39．【2015年四川预赛】已知n为正整数，二项式x2+1A．4B．5C．6D．710．【2021年广西预赛】某校n名同学通过选拔进入学校的数学讨论班，在一次讨论班上他们讨论A、B和C三个问题.已知寿位同学都和班里的其他所有同学讨论了其中的一个问题.每两位同学只讨论一个问题.若至少有3名同学互相之间讨论的是同一个问题，求n的最小值，并给出证明.11．【2020高中数学联赛A卷（第02试）】给定凸20边形P.用P的17条在内部不相交的对角线将P分割成18个三角形,所得图形称为P的一个三角剖分图.对P的任意一个三角剖分图T,P的20条边以及添加的17条对角线均称为T的边.T的任意10条两两无公共端点的边的集合称为T的一个完美匹配.当T取遍P的所有三角剖分图时,求T的完美匹配个数的最大值.12．【2020年福建预赛】将一个2020×2020方格表的每个格染黑、白两种颜色之一，满足以下条件：方格表中的任意一个格A，它所在的行与列的所有格中，与A异色的格多于与A同色的格.证明：染色后，方格表中每行每列两种颜色的格一样多13．【2019年上海预赛】设n为正整数,称n×n的方格表Tn的网格线的交点(共(n+1)2个交点)为格点.现将数1,2,…,(n+1)2分配给Tn的所有格点,使不同的格点分到不同的数称Tn的一个1×1格子S为“好格”:若从S的某个顶点起按逆时针方向读出的四个顶点上的数依次递增(例如,图中是将数1,2,…,9分配给T2的格点的一种方式,其中,B、C为好格,而A、D不为好格)设Tn中好格个数的最大值为f(n).(1)求f(2)的值;(2)求f(n)关于正整数n的表达式14．【2019年贵州预赛】我们知道,目前最常见的骰子是六面骰,它是一颗正立方体,上面分别有一到六个洞(或数字),其相对两面之数字和必为七.显然,掷一次六面骰,只能产生六个数之一(正上面)。现欲要求你设计一个“十进制骰”,使其掷一次能产生0~9这十个数之一,而且每个数字产生的可能性一样。请问:你能设计出这样的骰子吗?若能,请写出你的设计方案;若不能,写出理由。15．【2019高中数学联赛B卷（第02试）】将一个凸2019边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之一，每种颜色的边各673条.证明:可作这个凸2019边形的2016条在内部互不相交的对角线将其剖分成2017个三角形，并将所作的每条对角线也染为红、黄、蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同或者颜色互不相同.16．【2024年安徽预赛】在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.17．【2024年浙江预赛】如图所示将同心圆环均匀分成n(n≥3)格.在内环中固定数字1~n.问能否将数字1~n填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？18．【2017高中数学联赛A卷（第02试）】将33×33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”试求分隔边条数的最小值.19．【2024年山东预赛】求最大的正整数n,将正整数1到400任意填人20×20的400个方格中,则总有一行或一列,其中两数之差不小于20．【2024年江苏预赛】平面上2n个点n>1,n∈21．【2024年新疆预赛】有9个人参加乒乓球单打比赛,每2个人之间最多比赛1场.已知比赛共举办了28场.求证：必然有4个人,他们之间都互相比赛过.22．【2024年全国】给定空间中十个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.23．【2024年吉林预赛】一次竞赛共有n道判断题，统计八名考生的答题后发现：对于任意两道题，恰有两名考生答“T，T”；恰有两名考生答“F，F”；恰有两名考生答“T，F”；恰有两名考生答“F，T”.求n的最大值.24．【2024年浙江预赛】设正整数n≥2，对2×n格点链中的2n个结点用红（R）、黄（Y）、蓝（B）三种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图。若对剩余的2n−3个结点，要求每个结点恰染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法数。25．【2024年湖南预赛】已知互异的正实