苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题4.3期中全真模拟试卷03(压轴卷九上苏科第1-4章)特训(原卷版+解析)

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题4.3期中全真模拟试卷03（压轴卷，九上苏科第1-4章）注意事项：本试卷满分120分，试题共27题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·江苏南京·九年级期中）已知一组数据3，7，5，3，2，这组数据的众数为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2021·江苏南京·九年级期中）用配方法解方程x2﹣4x＝1时，配方所得的方程为（

）A．（x＋2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x＋2）2＝5 D．（x﹣2）2＝53．（2021·江苏南京·九年级期中）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离4．（2021·江苏南京·九年级期中）标标抛掷一枚点数从1－6的正方体骰子12次，有7次6点朝上．当他抛第13次时，6点朝上的概率为（

）A．113 B．712 C．5125．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝62°，E是BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接BD，则∠D的度数为（

）A．58° B．59° C．60° D．61°6．（2021·江苏南京·九年级期中）在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（）A．2 B．2 C．22 D．4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上7．（2021·江苏南京·九年级期中）方程x28．（2021·江苏南京·九年级期中）已知⊙O的半径为3cm，直线l上有一点P，OP=3cm，则直线l与⊙O的位置关系为____________．9．（2021·江苏南京·九年级期中）电影《长津湖》首映当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为________________．10．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，若AE＝CD＝4，则⊙O的半径为__________．11．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，一个可以自由转动的圆形转盘，转盘按1：2：3：4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，指针的位置固定，任意转动转盘1次，则停止后指针恰好落在B区域的概率为_______．12．（2021·江苏南京·九年级期中）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩/分709080将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5∶3∶2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是____分．13．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，A、B是⊙O上的点，且∠AOB＝60°，在这个图中，仅用无刻度的直尺能画出的角的度数可以是__．（只要求写出四个）14．（2021·江苏南京·九年级期中）若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为___________．15．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心．C是AB上的点，OC⊥AB，垂足为M．若AB＝10m，CM＝1m，则⊙O的半径为______m．16．（2020·江苏·南京师范大学附属中学树人学校九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=23，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值=__________.三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2021·江苏南京·九年级期中）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣5＝0；（2）3x（x＋2）＝2x＋418．（2021·江苏南京·九年级期中））甲乙两人在相同条件下完成了5次射击训练，两人的成绩如图所示．（1）甲射击成绩的众数为环，乙射击成绩的中位数为环；（2）计算两人射击成绩的方差；（3）根据训练成绩，你认为选派哪一名队员参赛更好，为什么？19．（2021·江苏南京·九年级期中）一个不透明的袋子装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为．（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求恰好摸出一个红球一个白球的概率．20．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在一个长16m，宽12m的矩形花圃外围铺设等宽的小路，且铺设小路的面积为花圃面积的三分之二，求小路的宽度．21．（2021·江苏盐城·九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范围．(2)若该方程的两个实数根分别为x1,x2，且22．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，点A、B、C在⊙O上，OB平分∠ABC．（1）求证：BA＝BC．（2）连接AC，若AC＝6，AB＝5，求⊙O的半径．23．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，点A在直线l上，点P在直线l外，作⊙O经过P，A两点且与l相切．24．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）直接写出OF与CD的数量关系，并证明你的结论．（2）若AB=2，CD=1．求⊙O的半径．25．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．（1）求证AE＝AH；（2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形．26．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．E为射线CB上一动点，以DE为直径的⊙O交AD于点F，过点F作FG⊥AE于点G．（1）若E为BC的中点，求证：FG为⊙O的切线；（2）若CE＝m，请直接写出⊙O与线段AB的交点个数及相应的m的取值范围．27．（2021·江苏南京·九年级期中）【数学概念】有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”．【概念理解】（1）关于“对分四边形”，下列说法正确的是．（填所有正确的序号）①菱形是“对分四边形”②“对分四边形”至少有两组邻边相等③“对分四边形”的对角线互相平分【问题解决】（2）如图①，PA为⊙O的切线，A为切点．在⊙O上是否存在点B、C，使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？小明的作法：①以P为圆心，PA长为半径作弧，与⊙O交于点B；②连接PO并延长，交⊙O于点C；③点B、C即为所求．请根据小明的作法补全图形，并证明四边形PACB是“对分四边形”．（3）如图②，已知线段AB和直线l，请在图②中利用无刻度的直尺和圆规，在直线l上作出点M、N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是“对分四边形”．（只要作出一个即可，不写作法，保留作图痕迹）（4）如图③，⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB＝8，点C是⊙O上的动点，若存在以A、B、C、D为顶点的四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是⊙O的切线，直接写出AC的长度．2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题4.3期中全真模拟试卷03（压轴卷，九上苏科第1-4章）注意事项：本试卷满分120分，试题共27题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·江苏南京·九年级期中）已知一组数据3，7，5，3，2，这组数据的众数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数据，叫这组数据的众数）即可求出这组数据的众数．【详解】解：在这组数据中3出现了2次，出现的次数最多，则这组数据的众数是3；故选：B．【点睛】此题考查了众数的定义；熟记众数的定义是解决问题的关键．2．（2021·江苏南京·九年级期中）用配方法解方程x2﹣4x＝1时，配方所得的方程为（

）A．（x＋2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x＋2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5【答案】D【分析】直接根据配方法的一般步骤进行计算即可得出答案．【详解】解：∵x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5，故选：D．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．3．（2021·江苏南京·九年级期中）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离【答案】C【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH＝CH＝12BC＝4，则利用勾股定理可计算出AH＝3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝12BC在Rt△ABH中，AH＝AB2−B∵AB＝5＞3，∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；∵AC＝5＞3，∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；∴AH＝3，AH⊥BC，∴直线BC与⊙A相切，所以C选项符合题意，D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．4．（2021·江苏南京·九年级期中）标标抛掷一枚点数从1－6的正方体骰子12次，有7次6点朝上．当他抛第13次时，6点朝上的概率为（

）A．113 B．712 C．512【答案】D【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．【详解】解：掷一颗均匀的骰子（正方体，各面标1−6这6个数字），一共有6种等可能的情况，其中6点朝上只有一种情况，所以6点朝上的概率为16故选：D．【点睛】本题考查概率的求法与运用，解题的关键是掌握一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m5．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝62°，E是BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接BD，则∠D的度数为（

）A．58° B．59° C．60° D．61°【答案】B【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠BDC＝180°﹣∠A＝118°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠ODC＝12∠BDC，即可求出∠ODB【详解】解：连接CD，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝62°，∴∠CDB+∠A＝180°，∴∠BDC＝180°﹣∠A＝118°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝12∠BDC＝59°故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．6．（2021·江苏南京·九年级期中）在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（）A．2 B．2 C．22 D．4【答案】C【分析】连接AC，作AE⊥CD于E，根据垂径定理和勾股定理得出CE＝DE＝12CD，CE＝AC2−AE2，所以当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，由于AE的最大值为【详解】解：如图，连接AC，作AE⊥CD于E，∴CE＝DE＝12CD，CE＝∵AC＝2，∴当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，∴当E点与B重合时，AE最大，∵A（2，﹣1），B（1，0），∴AB2＝（2﹣1）2+（﹣1﹣0）2＝2，∴CE的最小值为：AC2−AB2∴CD的最小值为22，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短以及坐标与图形性质，明确E点与B重合时，AE最大是解题的关键．第II卷（非选择题）二、填空题7．（2021·江苏南京·九年级期中）方程x2【答案】x【详解】解：x（x－3）=0，解得：x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．8．（2021·江苏南京·九年级期中）已知⊙O的半径为3cm，直线l上有一点P，OP=3cm，则直线l与⊙O的位置关系为____________．【答案】相切或相交【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交d＜r；②直线l和⊙O相切d=r；③直线l和⊙O相离d＞r．【详解】分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=3cm=r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜3cm=r，⊙O与直线l相交．所以直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故答案为：相切或相交．【点睛】考点：直线与圆的位置关系．9．（2021·江苏南京·九年级期中）电影《长津湖》首映当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为________________．【答案】2.06(1＋x)2＝4.38【分析】设平均每天票房的增长率为x，根据当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：2.06(1＋x)2＝4.38．故答案为：2.06(1＋x)2＝4.38．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，若AE＝CD＝4，则⊙O的半径为__________．【答案】2.5【分析】连接OC，设OE=x，则OA=OC=AE−x=4−x，根据垂径定理建立方程求解即可．【详解】解：如图所示，连接OC，则OA=OC=r，设OE=x，则OA=OC=AE−x=4−x，∵AB⊥CD，AB为直径，∴AB垂直平分CD，即：CE=CD=1∴在Rt△OCE中，OC即：4−x2解得：x=1.5，∴r=OA=4−1.5=2.5，故答案为：2.5．【点睛】本题考查垂径定理，理解并熟练运用垂径定理是解题关键．11．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，一个可以自由转动的圆形转盘，转盘按1：2：3：4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，指针的位置固定，任意转动转盘1次，则停止后指针恰好落在B区域的概率为_______．【答案】0.2【分析】首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B区域的概率．【详解】解：∵一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，∴圆被等分成10份，其中B区域占2份，∴落在B区域的概率＝210＝0.2；故答案为：0.2．【点睛】此题考查利用概率公式计算，正确理解圆形份数及B区域所占份数与圆形份数之间的关系是解题的关键．12．（2021·江苏南京·九年级期中）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩/分709080将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5∶3∶2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是____分．【答案】78【分析】根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值即可求得．【详解】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70×5故答案为78【点睛】此题考查加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的计算方法．13．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，A、B是⊙O上的点，且∠AOB＝60°，在这个图中，仅用无刻度的直尺能画出的角的度数可以是__．（只要求写出四个）【答案】30°，60°，90°，120°（答案不唯一）【分析】利用直尺，只能画直线、射线、线段的基本事实，根据圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定和性质，平角的定义以及圆周角定理求出相应的角的度数即可．【详解】解：如图，连接AB，作射线AD交⊙O于点C，连接BC，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，因此可以得到60°的角；又∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，因此可以得到90°的角；∵∠ACB＝12∠AOB∴可以得到30°的角；而∠BOC＝180°﹣∠AOB＝120°，于是可以得到120°；∠BCD＝180°﹣∠ACB＝150°，因此可以得到150°的角；当然还可以画出180°的角；故答案为：30°，60°，90°，120°（答案不唯一）．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，正三角形的判定和性质，平角的定义是正确解答的关键．14．（2021·江苏南京·九年级期中）若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为___________．【答案】35°或145°【分析】根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可．【详解】①当点O在三角形的内部时，则∠BAC=12②当点O在三角形的外部时，则∠BAC=12故答案为35°或145°．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念以及圆周角定理，掌握三角形的外心的概念、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．15．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心．C是AB上的点，OC⊥AB，垂足为M．若AB＝10m，CM＝1m，则⊙O的半径为______m．【答案】13【分析】根据垂径定理即可求得AM的长，设这段弯路的半径长是r，则在Rt△OMA中，OA=rm，OM=r−1【详解】解：连接OA，如图所示：设⊙O的半径为r，∵OC⊥AB，AB＝10m，∴AM＝BM＝12AB＝5（m在Rt△OMA中，由勾股定理得：OA2＝OM2+AM2，即：r2解得：r=13，即⊙O的半径为13m．故答案为：13【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理,方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．16．（2020·江苏·南京师范大学附属中学树人学校九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=23，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值=__________.【答案】2【分析】以CQ为直径作⊙O，当⊙O与AB边相切动点P时，CQ最短，根据切线的性质求得OP⊥AB，进而根据已知求得△POQ为等边三角形，得出∠APQ=30°，设PQ=OQ=OP=OC=r，3r=AC=cos30°•AB=32【详解】以CQ为直径作⊙O，当⊙O与AB边相切动点P时，CQ最短，∴OP⊥AB，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠POA=60°，∵OP=OQ，∴△POQ为等边三角形，∴∠POQ=60°，∴∠APQ=30°，∴设PQ=OQ=AP=OC=r，3r=AC=cos30°•AB=32∴CQ=2，∴CQ的最小值为2．故答案为2．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形函数等，熟练掌握性质定理是解题的关键．三、解答题17．（2021·江苏南京·九年级期中）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣5＝0；（2）3x（x＋2）＝2x＋4【答案】（1）x1＝3+14，x2＝3﹣14；（2）x1＝23，x2＝﹣【详解】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．解：（1）∵x2﹣6x﹣5＝0，∴x2﹣6x＝5，∴x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，∴x﹣3＝±14，∴x1＝3+14，x2＝3﹣14；（2）3x（x+2）＝2x+4，3x（x+2）﹣2（x+2）=0，（3x﹣2）（x+2）＝0，3x﹣2＝0或x+2＝0，∴x1＝23，x2＝﹣2【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解此题的关键在于熟练掌握各种解方程的方法．18．（2021·江苏南京·九年级期中））甲乙两人在相同条件下完成了5次射击训练，两人的成绩如图所示．（1）甲射击成绩的众数为环，乙射击成绩的中位数为环；（2）计算两人射击成绩的方差；（3）根据训练成绩，你认为选派哪一名队员参赛更好，为什么？【答案】（1）①7和8

②8；（2）甲的方差为1.4；乙的方差为0.4；（3）选择乙参赛【分析】（1）依据众数、中位数的计算公式，即可得到结果；（2）根据方差的计算公式进行计算；（3）依据甲乙两人平均成绩一样，甲射击成绩的方差小于乙，即可得出甲的成绩更加稳定，所以选择甲去参赛．【详解】（1）①甲5次射击成绩中有两次7环，两次8环，一次10环，所以甲的射击成绩的众数为7和8

②乙的五次射击成绩从小到大排列为7环，8环，8环，8环，9环，所以乙射击成绩的中位数为8

（2）甲射击成绩的平均数为：7+乙射击成绩的平均数为：7+S2甲=（7-S2乙=（8-8（3）解：∵甲乙二人平均成绩相等，且乙的方差小于甲的方差，∴选乙参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定，所以选择乙参赛．【点睛】本题考查方差的定义与意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．19．（2021·江苏南京·九年级期中）一个不透明的袋子装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为．（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求恰好摸出一个红球一个白球的概率．【答案】（1）13；（2）【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，恰好摸出一个红球一个白球的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为13故答案为：13（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，恰好摸出一个红球一个白球的结果有4种，∴恰好摸出一个红球一个白球的概率为49【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率公式，并会画树状图或列表法求概率是关键．20．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在一个长16m，宽12m的矩形花圃外围铺设等宽的小路，且铺设小路的面积为花圃面积的三分之二，求小路的宽度．【答案】2米【分析】设小路的宽为xm，得出花园的长为（16+2x）m，花园的宽为（12+2x）m，再根据铺设小路的面积为花圃面积的三分之二，根据长方形的面积公式，即可列出方程，从而求出符合条件的解．【详解】解：设小路的宽度是xm，根据题意得出：（16+2x）（12+2x）﹣16×12＝23×16×12整理得：x2+14x﹣32＝0，解得x1＝2，x2＝﹣16（不合题意，舍去）．答：小路的宽度是2m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据题意列出方程是解本题的关键．21．（2021·江苏盐城·九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范围．(2)若该方程的两个实数根分别为x1,x2，且【答案】(1)m≤0(2)－1【分析】（1）利用根的判别式得到△=(2m)（2）利用根与系数的关系得到m2+m−2m−2=0，接着解关于m的方程，然后利用m的范围确定满足条件的（1）解：∵关于x的一元二次方程x2∴△=(2m)解得m≤0．（2）解：由根与系数的关系得：x1+x∵x∴m∴m=2或m=−1，又∵m≤0，∴m=−1．【点睛】本题考查了根与系数的关系，也考查了根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．22．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，点A、B、C在⊙O上，OB平分∠ABC．（1）求证：BA＝BC．（2）连接AC，若AC＝6，AB＝5，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）25【分析】（1）连接OA，OC，根据三角形的内角和定理得到∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-2∠OBA，同理，∠COB=180°-2∠OBC，根据角平分线的定义得到∠OBC=∠OBA，求得∠AOB=∠COB，进而得到AB=BC；（2）延长BO与AC交于D，与⊙O交于E，根据等腰三角形的性质得到BE⊥AC，求得AD=DC=12AC【详解】（1）证明：连接OA，OC，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-2∠OBA，同理，∠COB=180°-2∠OBC，∵OB平分∠ABC，∴∠OBC=∠OBA，∴∠AOB=∠COB，∴AB=BC；（2）解：延长BO与AC交于D，与⊙O交于E，∵AB=BC，OB平分∠ABC，∴BE⊥AC，∵BE是⊙O的直径，∴AD=DC=12AC∵∠ADB=90°，∴AD2+BD2=AB2，∴32+BD2=52，

∴BD=4，设AO=BO=x，则DO=BD-BO=4-x，∵OD⊥AD，∴AD2+OD2=AO2，∴32+（4-x）2=x2，解得：x=258∴⊙O的半径为258【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，点A在直线l上，点P在直线l外，作⊙O经过P，A两点且与l相切．【答案】见解析【分析】过点A作EA⊥直线l，作线段AP的垂直平分线MN，直线MN交EA于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．【详解】解：如图，⊙O即为所求．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）直接写出OF与CD的数量关系，并证明你的结论．（2）若AB=2，CD=1．求⊙O的半径．【答案】（1）OF=12CD，证明见解析；（2）⊙【分析】（1）连接AO并延长交⊙O于点G，连接CB、BG，根据点OF分别是AGAB中点，得到OF是△ABG的中位线，则有OF=12BG，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠AGB=∠ECB，直径所对的圆周角是直角可得∠ABG=90°，则有∠BAG+∠AGB=90°，根据AC⊥BD，∠ECB+∠EBC=90°，从而可得∠BAG=∠EBC，BG=CD（2）在Rt△AOF中，根据勾股定理可求得⊙O的半径．【详解】解：（1）OF=1连接AO并延长交⊙O于点G，连接CB、BG，∵OF⊥AB，∴AF=BF，∵AO=GO，∴OF是△ABG的中位线，∴OF=1∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG=90°，∴∠BAG+∠AGB=90°，∵AC⊥BD，∴∠CEB=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∵∠AGB=∠ECB，∴∠BAG=∠EBC，即∠BAG=∠EBC，∴BG=CD，∴OF=1（2）由（1）得：OF=12CD=在Rt△AOF中，OA=A∴⊙O的半径为52【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦之间的关系，解题的关键是能够作辅助线构造以OF为中位线的三角形．25．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．（1）求证AE＝AH；（2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接DE、BH，根据菱形的性质，证明△ADE≌△ABH即可；（2）连接DE，DF，根据圆的性质，证明△ADE≌△CDF和△AEH≌△CFG，后运用有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明．【详解】（1）证明：连接DE、BH，

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD．∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABH，∴△ADE≌△ABH．

∵AE＝AH．

（2）连接DE，DF．

∵BD是⊙O的直径，∴∠BED＝∠BFD＝90°．∴∠AED＝∠CFD＝90°．∵AD＝CD，∠A＝∠C，∴△ADE≌△CDF．∴AE＝CF∵用（1）中同样的方法可证CF＝CG∴AH＝CG．∴△AEH≌△CFG．∴EH＝FG．∴∠AHE＝∠AEH＝90°－12∠A，∠ADB＝∠ABD＝90°－12∠∴∠AHE＝∠ADB∴EH∥BD同理可证FG∥BD，∴EH∥FG∴四边形EFGH是平行四边形．∴∠FEH＝∠FGH．又∵四边形EFGH是⊙O的内接四边形，∴∠FEH＋∠FGH＝180°，

∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是矩形．【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练菱形的性质，矩形的判定是解题的关键．26．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．E为射线CB上一动点，以DE为直径的⊙O交AD于点F，过点F作FG⊥AE于点G．（1）若E为BC的中点，求证：FG为⊙O的切线；（2）若CE＝m，请直接写出⊙O与线段AB的交点个数及相应的m的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）当0≤m＜163或m＞6时，⊙O与线段AB没有交点；当m＝163时，⊙O与线段AB只有1个交点；当163＜m≤6时，⊙O【分析】（1）连接EF、OF，根据矩形的性质可证得△CDE≌△BAE，由此可得∠CED＝∠BEA，进而可证得OF∥EA，再结合FG⊥AE即可证得FG为⊙O的切线；（2）先分别求出⊙O与线段AB相切以及⊙O经过点B这两种特殊情况时的m的值，进而分别画出相应图形进行分类讨论即可求得答案．【详解】（1）证明：如图，连接EF、OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝BA，CB∥DA，∵E为BC的中点，∴CE＝BE，∴在△CDE与△BAE中，CD=AB∠C=∠B∴△CDE≌△BAE(SAS)，∴∠CED＝∠BEA，又∵CB∥DA，∴∠CED＝∠EDA，∠BEA＝∠EAD，∴∠EDA＝∠EAD，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∴∠OFD＝∠EAD，∴OF∥EA，又∵FG⊥AE，∴OF⊥FG，∵点F在⊙O上，∴FG是⊙O的切线；（2）解：如图，当⊙O与线段AB相切于点H时，连接HO并延长交CD于点M，∵⊙O与线段AB相切，∴OH⊥AB，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴OM⊥CD，∴DM＝CM＝12CD设OD＝OH＝x，则OM＝6－x，∵在Rt△DOM中，OM∴(6−x)2解得：x=10∴OM＝6－x＝83∵点M、O分别为CD、DE的中点，∴OM是△CDE的中位线，∴OM＝12CE＝8∵CE＝m，∴m＝2×83＝16∴当m＝163时，⊙O与线段AB当0≤m＜163，⊙O与线段AB如图，当点E与点B重合时，CE＝CB＝6，即m＝6，此时⊙O与线段AB有2个交点，∴如图，当163＜CE＜6时，即163＜m＜6，此时⊙O与线段如图，当点E在点B的右侧时，CE＞CB＝6，即m＞6，此时⊙O与线段AB没有交点，综上所述：当0≤m＜163或m＞6时，⊙O与线段AB当m＝163时，⊙O与线段AB当163＜m≤6时，⊙O与线段AB【点睛】本题考查了切线的判定与性质，矩形的性质以及圆与线段的交点个数，能够根据题意画出相应图形进行分类讨论是解决（2）的关键．27．（2021·江苏南京·九年级期中）【数学概念】有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”．【概念理解】（1）关于“对分四边形”，下列说法正确的是．（填