人教版九年级数学上册重难考点专题04点、直线与圆的位置关系(知识串讲+8大考点)特训(原卷版+解析)

专题04点、直线与圆的位置关系考点类型知识串讲（一）点与圆的位置关系位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部QUOTE𝑑>𝑟?d>r?点QUOTE𝑃P在QUOTE⊙𝑂⊙O的外部.点在圆上点在圆周上QUOTE𝑑=𝑟?d=r?点QUOTE𝑃P在QUOTE⊙𝑂⊙O的圆周上.点在圆内点在圆的内部QUOTE𝑑<𝑟?d<r?点QUOTE𝑃P在QUOTE⊙𝑂⊙O的内部.（二）确定圆的条件若QUOTE𝐴、𝐵、𝐶A、B、C三点不共线时，圆心是线段QUOTE𝑨𝑩AB与QUOTE𝑩𝑪BC的中垂线的交点，而这个交点QUOTE𝑂O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．三点定圆的画法：1）连接线段AB,BC。2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．（三）三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点（四）直线与圆的位置关系位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交考点训练考点1：点与圆的位置关系典例1：（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，OB是斜边AC上的中线，以O为圆心，OB为半径画圆，则下列各点中，在⊙O内的是（

A．点A B．点B C．点C D．点O【变式1】（2022春·九年级单元测试）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为3，4，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，B关于原点

A．3 B．4 C．6 D．8【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）矩形ABCD中，AB=8，BC=35，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（

A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内【变式3】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在

A．3 B．4 C．5 D．6考点2：确定圆的条件典例2：（2023·上海松江·统考二模）下列命题正确的是（

）A．三点确定一个圆 B．圆的任意一条直径都是它的对称轴C．等弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于这条弦【变式1】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，点A(0,3),B(2,1)，C在平面直角坐标系中，则△ABC的外心在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上【变式2】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【变式3】（2023·广东汕尾·统考一模）如图，在5×5的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（

）个A．0 B．1 C．2 D．3考点3：三角形的外接圆与外心典例3：（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分别为D,E,F，连接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21，则EF的长为（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3【变式1】（2023春·九年级课时练习）如图，△ABC，A(−1,3)，B(−2,−2)，C(4,−2)，则△ABC外心的坐标为（

）A．(0,0) B．(1,1) C．(1,0) D．(1,−2)【变式2】（2023·北京昌平·统考二模）船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C,D,P,M,N是网格线交点，当船航行到点P的位置时，此时与两个灯塔M,N间的角度（∠MPN的大小）一定无触礁危险.那么，对于A,B,C,D四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（）

A．位置A B．位置B C．位置C D．位置D【变式3】（2022秋·河北石家庄·九年级校考期中）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（

）A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心 D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心考点4：特殊三角形的外接圆——求半径典例4：（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，RtΔABC中，AB⊥BC,AB=4,BC=3,P是ΔABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．1 B．1.6 C．13−2 【变式1】（2022秋·江苏徐州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式2】（2022秋·湖北武汉·九年级校考期末）如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A−1,3、B−2,−2、C4,−2，则△ABCA．32 B．23 C．10 【变式3】（2023·浙江·九年级假期作业）已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．5考点5：反证法典例5：（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（

）步骤如下：①假设在△ABC中，∠B≥90°．②因此假设不成立，∴∠B<90°．③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾．A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①【变式1】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知ΔABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B<90°③假设在ΔABC中，∠B≥90°④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【变式2】（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（

）A．AC>BC B．AC<BC C．∠A=∠B 【变式3】（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，首先应该假设这个三角形中（）A．每一个内角都大于等于45° B．每一个内角都小于45°C．有一个内角大于等于45° D．有一个内角小于45°考点6：直线与圆的位置关系典例6：（2023·河北沧州·校考三模）题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，以点B为圆心的⊙B的半径为r，若对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答案，甲答：r=4．乙答：3<r<4．丙答：r=125

A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整【变式1】（2022·上海·九年级专题练习）如果x的取值范围是a＜x＜b，我们就将b与a的差叫做x的变化区间长度．如图，在菱形ABCD中，对角线AC交BD于点O，且AC＝16，BD＝12．如果以O为圆心，r为半径的⊙O与菱形ABCD的各边有8个公共点，那么r的变化区间长度是（）A．165 B．125 C．85【变式2】（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）已知圆O的半径为3，点O到某条直线的距离为23，则这条直线可以是（

A．l1 B．l2 C．l3【变式3】（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）已知⊙A的半径为3，△ABC是边长为4的等边三角形，则直线BC与⊙A的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定考点7：直线与圆的位置关系——求半径典例7：（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC=12．分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切，那么⊙D的半径长r的取值范围是（

）

A．12<r<4 B．52<r<6 C．【变式1】（2022春·九年级课时练习）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（

）A．0<x≤2 B．−2≤x≤2 C．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知RtΔABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（A．0≤r≤125 B．125≤r≤3【变式3】（2022春·九年级课时练习）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点．若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（

）A．43 B．32 C．8考点8：直线与圆的位置关系——求距离典例8：（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2,a)(a>2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是（

A．23 B．2+22 C．2+2【变式1】（2022春·九年级课时练习）如图，点A的坐标为（－3，－2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（）A．（0，－2） B．（0，－3） C．（－3，0）或（0，－2） D．（－3，0）【变式2】（2022春·九年级课时练习）如图，半径r=22的⊙M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线y=x+2相切时，圆心M的坐标为（

A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）【变式3】（2022春·九年级单元测试）如图，⊙C的圆心C的坐标为1,1，半径为1，直线l的表达式为y=−2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．355−1 B．655−1同步过关一、单选题1．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为3cm，则点A（

）A．在⊙O内 B．在⊙O上C．在⊙O外 D．与⊙O的位置关系无法确定2．（2022秋·河南漯河·九年级统考期末）⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（

）A．在⊙O内或⊙O上 B．在⊙O外C．在⊙O上 D．在⊙O外或⊙O上3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与⊙O有交点，则下列结论正确的是（）A．d＝r B．d≤r C．d≥r D．d＜r4．（2022·浙江·九年级专题练习）已知⊙O的半径为2cm，若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．与⊙O的位置关系无法确定5．（2023春·九年级单元测试）已知⊙O的半径为3cm，⊙O所在平面上有一点P.若PO＝3.5cm，则点P在()A．⊙O内 B．⊙O上C．⊙O外 D．以上都有可能6．（2022秋·广西南宁·九年级南宁十四中校联考期中）已知⊙O的半径为4，OA=5，则点A和⊙O的位置关系是（

）A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．圆不经过点A7．（2023·山东潍坊·统考二模）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t（s），以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED．当直线DE与⊙O相切时，t的取值是（）A．169 B．32 C．438．（2022秋·全国·九年级专题练习）当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形9．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）下列命题中，假命题是（

）A．在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半B．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合C．有一个角是60°的三角形是等边三角形D．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心10．（2022秋·九年级课时练习）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定二、填空题11．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）在同一平面内，⊙O的直径为2cm，点P到圆心O的距离是3cm，则点P与⊙O的位置关系是．12．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）已知⊙O的半径为4cm，OP=2cm，则点P在⊙O13．（2022秋·九年级课时练习）经过一点P可以作个圆；经过两点P、Q可以作个圆，圆心在上；经过不在同一直线上的三个点可以作个圆，圆心是的交点．14．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市第九中学校考期中）若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是．15．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学阶段练习）已知⊙O的半径为6cm，点A在⊙O外，OA=d，则d的长度范围是．16．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）在Rt△ABC中，斜边AB=10，直角边AC=8，以C为圆心,r为半径，若要使⊙C与边AB只有一个公共点，则r的取值范围是.三、解答题17．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．18．（2023·浙江·九年级假期作业）在直角坐标平面内，⊙O的半径是5，圆心O的坐标为−1，−4，试判断点P319．（2023春·九年级课时练习）如图所示，在四边形ABCD，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．20．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）圆圆在解答问题“在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，以A为圆心作⊙A，使得B，C，D三点中至少有一点在⊙A内，有一点在⊙A外，求⊙A的半径r21．（2022秋·浙江杭州·九年级桐庐县三合初级中学校考期中）如图，有一块破碎的圆形残片，请你用直尺和圆规找出它的圆心O．（保留作图痕迹）．22．（2023·山东临沂·中考真题）如图，的平分线交的外接圆于点，的平分线交于点.（1）求证：；（2）若，，求外接圆的半径.23．（2022秋·九年级单元测试）如图，∠AOB=30°，OP=8，当⊙P的半径r为何值时，⊙P与直线OA相离？相切？相交？

24．（2023春·九年级课时练习）如图，以点O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点P（﹣1，1），点Q（1，0），点R（2，2）和⊙O′的位置关系．25．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）（1）画出△ABC的外接圆⊙P，写出点P的坐标并指出点D、点E与⊙P的位置关系；（2）若在x轴上有一点F，且∠AFB=∠ACB，则点F的坐标为．

专题04点、直线与圆的位置关系考点类型知识串讲（一）点与圆的位置关系位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部QUOTE𝑑>𝑟?d>r?点QUOTE𝑃P在QUOTE⊙𝑂⊙O的外部.点在圆上点在圆周上QUOTE𝑑=𝑟?d=r?点QUOTE𝑃P在QUOTE⊙𝑂⊙O的圆周上.点在圆内点在圆的内部QUOTE𝑑<𝑟?d<r?点QUOTE𝑃P在QUOTE⊙𝑂⊙O的内部.（二）确定圆的条件若QUOTE𝐴、𝐵、𝐶A、B、C三点不共线时，圆心是线段QUOTE𝑨𝑩AB与QUOTE𝑩𝑪BC的中垂线的交点，而这个交点QUOTE𝑂O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．三点定圆的画法：1）连接线段AB,BC。2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．（三）三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点（四）直线与圆的位置关系位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交考点训练考点1：点与圆的位置关系典例1：（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，OB是斜边AC上的中线，以O为圆心，OB为半径画圆，则下列各点中，在⊙O内的是（

A．点A B．点B C．点C D．点O【答案】D【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解．【详解】解：因为三角形ABC是直角三角形又OB是斜边AC上的中线∴OB=故A,B,C三点均在⊙O上，只有点O在⊙O内故选：D【点睛】本题考查直角三角形的“斜中半”定理．掌握定理结论是解题关键．【变式1】（2022春·九年级单元测试）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为3，4，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，B关于原点

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】由Rt△APB中AB=2PO知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，当点P在线段OM上时，OP取得最小值，据此即可求解AB【详解】解：连接PO．∵PA⊥PB，∴∠APB=90°．∵点A，B关于原点O对称，∴AO=BO，∴AB=2PO．若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值．连接OM，当点P在线段OM上时，OP取得最小值．∵M的坐标为3，∴OM=3又∵⊙M的半径为2，∴OP=3，即OP的最小值为3，∴AB的最小值为6．故选：C．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）矩形ABCD中，AB=8，BC=35，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（

A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内【答案】C【分析】由AB=8，BP=3AP得到AP=2，BP=6，再根据勾股定理，在Rt△ADP中计算出PD=7，在Rt△PBC中计算出PC=9，则【详解】解：如图，

∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=35∵AB=8，BP=3AP，∴AP=2，BP=6，在Rt△ADP中，AP=2，AD=3∴PD=A在Rt△PBC中，∵PB=6，BC=3∴PC=P∴PC>PD>PB，∴点B在圆P内，点C在圆P外．故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．【变式3】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴3<r<5，故选：B．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理、明确判断的方法．考点2：确定圆的条件典例2：（2023·上海松江·统考二模）下列命题正确的是（

）A．三点确定一个圆 B．圆的任意一条直径都是它的对称轴C．等弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于这条弦【答案】C【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据圆的轴对称性对B进行判断；根据圆心角定理对C进行判断；根据垂径定理的推论对D进行判断．【详解】A．不共线的三点确定一个圆，故A是假命题；B．对称是直线，而圆的直径是线段，故B是假命题；C．弧相等，则弧所对的圆心角相等，故C是真命题；D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故D是假命题．故选：C．【点睛】本题考查了命题、真命题和假命题的概念，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．【变式1】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，点A(0,3),B(2,1)，C在平面直角坐标系中，则△ABC的外心在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上【答案】B【分析】根据直角坐标系的特点作AB、BC的垂直平分线即可求解．【详解】如图，作AB、BC的垂直平分线，交点在第三象限，故选B．【点睛】此题主要考查三角形的外心的定义，解题的关键是根据题意作出垂直平分线求解．【变式2】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【答案】B【分析】根据三角形的外心的概念作出外心，根据坐标与图形性质解答即可．【详解】解：连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P，则点P为△ABC外接圆的圆心，由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1），故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质，掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键．【变式3】（2023·广东汕尾·统考一模）如图，在5×5的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（

）个A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由图可知∠ABC=90°，故过A、B、C三点作圆O，直径为AC，圆心O在AC的中点，然后根据网格的特点用勾股定理计算半径和点D、E、F三点到圆心的距离即可判定．【详解】解：如图，∵∠ABC=90°，∴过A、B、C三点作圆O，直径为AC，圆心O在AC的中点，∴OA=OC=1OD=1OE=OF=3>5∴点F在圆O外，点D、E在圆O上，故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上，以及点与圆的位置关系，解题关键是关键网格的特点找到圆心的位置．考点3：三角形的外接圆与外心典例3：（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分别为D,E,F，连接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21，则EF的长为（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是AB、【详解】解：∵⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，∴点D、E、F分别是AB、∴DF=1∵DE+DF=6.5,△ABC的周长为21，∴CB+CA+AB=21即2DF+2DE+2EF=21，∴EF=4，故选：B．【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．【变式1】（2023春·九年级课时练习）如图，△ABC，A(−1,3)，B(−2,−2)，C(4,−2)，则△ABC外心的坐标为（

）A．(0,0) B．(1,1) C．(1,0) D．(1,−2)【答案】C【分析】如图，取格点E，F，G，H，且直线GH是线段BC的垂直平分线，四边形AFCE是正方形，则可得GH，EF的交点为Q为△ABC的外心，再分别求解GH，EF的解析式即可得到答案．【详解】解：如图，取格点E，F，G，H，则直线GH是线段BC的垂直平分线，四边形AFCE是正方形，∴直线EF是线段AC的垂直平分线，记GH，EF的交点为Q，则Q为△ABC的外心，∵A(−1,3)，B(−2,−2)，C(4,−2)，∴直线GH为x=1，E4,3，F设直线EF为y=kx+b，∴4k+b=3−k+b=−2，解得：k=1∴直线EF为y=x−1，当x=1时，y=0，∴Q1,0，即△ABC的外心坐标为：1,0故选C．【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键．【变式2】（2023·北京昌平·统考二模）船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C,D,P,M,N是网格线交点，当船航行到点P的位置时，此时与两个灯塔M,N间的角度（∠MPN的大小）一定无触礁危险.那么，对于A,B,C,D四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（）

A．位置A B．位置B C．位置C D．位置D【答案】B【分析】先利用格点找出△MNP的外接圆的圆心，再判断哪个点在△MNP的外接圆上即可．【详解】解：如图，

由网格可知，点O是MN和MP垂直平分线的交点，即点O是△MNP的外接圆的圆心，∵OM=OB=1∴点M在△MNP的外接圆上，∴∠MPN=∠MBN，∴船处于位置B时，也一定无触礁危险，故选B．【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外心，勾股定理与网格问题等，解题的关键有两个，一是找出△MNP的外接圆的圆心，二是掌握同弧所对的圆周角相等．【变式3】（2022秋·河北石家庄·九年级校考期中）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（

）A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心 D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心【答案】C【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OA，根据正方形的性质得出OA=OC<OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可．【详解】解：连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA=OC=OA，∵四边形OCDE为正方形，∴OA=OC<OD，∴OA=OB=OC=OE≠OD，即O不是△AED的外心，OA=OE=OB，即O是△AEB的外心，OA=OC=OE，即O是△ACE的外心，OB=OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．考点4：特殊三角形的外接圆——求半径典例4：（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，RtΔABC中，AB⊥BC,AB=4,BC=3,P是ΔABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．1 B．1.6 C．13−2 【答案】C【分析】先说明点P在以AB为直径的圆O上，连接OC与圆O交于点P，此时CP最小，最后利用勾股定理求出OC即可解答．【详解】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的圆O上，连接OC交圆O于点P，此时PC最小在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=3，OB=12∴OC=O∴CP=13−2故选C．【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短距离问题等知识，确定点P位置是解答本题的关键．【变式1】（2022秋·江苏徐州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先利用勾股定理求得AC=3，再根据点与圆的位置关系求解即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=A∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴3<r<5，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，解答的关键是熟知点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当d<r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外．【变式2】（2022秋·湖北武汉·九年级校考期末）如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A−1,3、B−2,−2、C4,−2，则△ABCA．32 B．23 C．10 【答案】D【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设△ABC的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线x=1上，由图可知线段AC的垂直平分线经过点1,0，由此可得M1,0，过点M作MD⊥BC于点D，连接MB，由勾股定理求出MB【详解】解：设△ABC的外心为M，∵B−2,−2、C∴M必在直线x=−2+4由图可知，线段AC的垂直平分线经过点1,0，∴M1,0如图，过点M作MD⊥BC于点D，连接MB，Rt△MBD中，MD=2，BD=3由勾股定理得：MB=M即△ABC外接圆半径的长为13．故选D．【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出△ABC外心的位置是解题的关键．【变式3】（2023·浙江·九年级假期作业）已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．5【答案】C【分析】直角三角形的斜边即外接圆的直径，直接利用勾股定理求解即可．【详解】直角三角形两条直角边为3，4那么此直角三角形的斜边为3即外接圆的直径为5，那么外接圆半径为2.5故选：C【点睛】此题考查勾股定理以及求三角形的外接圆半径，解题关键是判断直角三角形的斜边即外接圆的直径．考点5：反证法典例5：（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（

）步骤如下：①假设在△ABC中，∠B≥90°．②因此假设不成立，∴∠B<90°．③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾．A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①【答案】A【分析】根据反证法的解题方法与步骤可得答案．【详解】解：反证法的基本步骤：先假设结论的反面成立，再证明结论的反面与已知或公理，定理等互相矛盾，再否定假设，从而得到结论；∴以上步骤排序为：①③②，故选A．【点睛】本题考查的是反证法的步骤，熟记反证法的基本步骤是解本题的关键．【变式1】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知ΔABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B<90°③假设在ΔABC中，∠B≥90°④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【答案】D【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤1、假设在ΔABC中，∠B≥90°2、由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°3、∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾4、因此假设不成立．∴∠B<90°综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②故选：D【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．【变式2】（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（

）A．AC>BC B．AC<BC C．∠A=∠B 【答案】D【分析】假设结论不成立，即AC=BC【详解】∵命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”，∴假设为：AC=BC，故选：D【点睛】本题考查了用反证法证明命题，掌握反证法的假设为结论不成立是解决问题的关键【变式3】（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，首先应该假设这个三角形中（）A．每一个内角都大于等于45° B．每一个内角都小于45°C．有一个内角大于等于45° D．有一个内角小于45°【答案】A【分析】反证法的步骤是假设结论不成立即可．【详解】用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，应先假设钝角三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于等于45°，故选：A．【点睛】此题考查了反证法，解题的关键是懂得反证法的意义及步骤．考点6：直线与圆的位置关系典例6：（2023·河北沧州·校考三模）题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，以点B为圆心的⊙B的半径为r，若对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答案，甲答：r=4．乙答：3<r<4．丙答：r=125

A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整【答案】D【分析】由勾股定理求出BC=4，再根据等面积法求出斜边AC上的高为125，再根据半径r【详解】解：∵AB=3，AC=5，∴BC=A∴斜边AC上的高为：3×45当r=4时，画出图如图所示：

，此时△ABC在圆内部，⊙B与AC只有一个交点，当3<r<4时，画出图如图所示，

，此时⊙B与AC只有一个交点，当r=12

，此时⊙B与AC只有一个交点，∴三人的答案合在一起才完整，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理，直线与圆的位置关系，等面积法，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．【变式1】（2022·上海·九年级专题练习）如果x的取值范围是a＜x＜b，我们就将b与a的差叫做x的变化区间长度．如图，在菱形ABCD中，对角线AC交BD于点O，且AC＝16，BD＝12．如果以O为圆心，r为半径的⊙O与菱形ABCD的各边有8个公共点，那么r的变化区间长度是（）A．165 B．125 C．85【答案】D【分析】根据题意求出r变化的临界值，根据变化区间长度的定义即可求解．【详解】解：四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝12AC＝8，OB＝12∴AB＝OA过点O作OH⊥AB于点H，如图，∵SΔOAB=12OA·OB＝∴OA·OB＝AB·OH，∴OH＝245∵菱形的中心O到各边的距离都相等，∴以点O为圆心，245为半径画圆，该圆与菱形的各边都相切，此时⊙O与菱形ABCD当以点O为圆心，6为半径画圆，该圆过点B、D，与菱形ABCD的各边有6个公共点，∴如果以O为圆心，r为半径的⊙O与菱形ABCD的各边有8个公共点，则245＜r∴r的变化区间长度是6﹣245故选：D．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点和圆的位置关系，勾股定理，菱形的性质等知识，求得r变化的临界值是解题的关键．【变式2】（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）已知圆O的半径为3，点O到某条直线的距离为23，则这条直线可以是（

A．l1 B．l2 C．l3【答案】D【分析】根据若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d>【详解】解：∵圆O的半径为3，点O到某条直线的距离为23而3<23∴d>∴直线与圆相离，∴这条直线与圆没有公共点，∴这条直线可以是l4故选：D．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心距与半径关系得出位置关系是解决问题的关键．【变式3】（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）已知⊙A的半径为3，△ABC是边长为4的等边三角形，则直线BC与⊙A的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】C【分析】在△ABC中过点A作AD⊥BC于点D，则BD=12BC=2,再根据勾股定理可得AD【详解】过点A作AD⊥BC于点D∵△ABC是边长为4的等边三角形∴BD=在Rt△ABDAD=∵2∴直线BC与⊙A的位置关系是相离，故选：C【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定．考点7：直线与圆的位置关系——求半径典例7：（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC=12．分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切，那么⊙D的半径长r的取值范围是（

）

A．12<r<4 B．52<r<6 C．【答案】C【分析】过点O作OE⊥AD，勾股定理求得BD=13，进而根据平行线分线段成比例得出OE=1【详解】解：如图所示，当圆O与AD相切时，过点O作OE⊥AD，∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC=12．∴AD⊥CD，CD=AB=5，AD=BC=12，BD=A∴OE∴OE=1则r=OD+5

当圆O与CD相切时，过点O作OF⊥CD于点F，如图所示，

则OF=则r=∴⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切时，9<r<25故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．【变式1】（2022春·九年级课时练习）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（

）A．0<x≤2 B．−2≤x≤2 C．【答案】A【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交．相切时，设切点为C，连接OC．根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是2．所以x的取值范围是0＜x≤2．【详解】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC=1，OC⊥PC，∵∠AOB=45°，OA//∴∠OPC=45°，∴PC=OC=1，∴OP=2同理，原点左侧的距离也是2，且线段是正数．所以x的取值范围是0<x≤2【点睛】此题注意求出相切的时候的x值，即可分析出X的取值范围．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知RtΔABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（A．0≤r≤125 B．125≤r≤3【答案】C【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB=13，再利用面积法计算出CD=125然后根据直线与圆的位置关系得到当【详解】解：作CD⊥AB于D，如图，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB∵∴CD∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为12故选：C【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．【变式3】（2022春·九年级课时练习）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点．若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（

）A．43 B．32 C．8【答案】B【分析】由题意得，△PBO是直角三角形，设OA=x，则OB=x，在Rt△PBO中，PO=x+1，根据勾股定理得，x2+2【详解】解：由题意得，PA=1，PB=2，∠PBO=90°，∴△PBO是直角三角形，设OA=x，则OB=x，在Rt△PBO中，PO=x+1，根据勾股定理得，xx解得x=3则半径OA的长为32故选B．【点睛】本题考查了圆，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．考点8：直线与圆的位置关系——求距离典例8：（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2,a)(a>2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是（

A．23 B．2+22 C．2+2【答案】C【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．【详解】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵PE⊥AB，AB=23∴AE=12AB=根据勾股定理得：PE=2∵点A在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴ΔOCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=2∵⊙P的圆心是(2,a)，∴a=PD+DC=2+2故选：C．【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．【变式1】（2022春·九年级课时练习）如图，点A的坐标为（－3，－2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（）A．（0，－2） B．（0，－3） C．（－3，0）或（0，－2） D．（－3，0）【答案】D【分析】连结AQ、AP，由切线的性质可知AQ⊥QP，由勾股定理可知QP=AP【详解】连接AQ，AP.根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；要使PQ最小，只需AP最小，根据垂线段最短，可知当AP⊥x轴时，AP最短，∴P点的坐标是(−3,0).故选D.【点睛】此题主要考查垂线段的性质，解题的关键是熟知圆的位置关系.【变式2】（2022春·九年级课时练习）如图，半径r=22的⊙M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线y=x+2相切时，圆心M的坐标为（

A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）【答案】D【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解．【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示：∵y=x+2∴A(0,2)，B(−2,0)，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO=45°∴AB=2∵r=2∴△ABM是等腰直角三角形，∠BAM=90°∴⊙M与直线AB相切于点A∵AO⊥BM∴OB=OM=2∴圆心M的坐标为(2,0)；②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作MC⊥AB于点C，如下图所示：∵⊙M与直线AB相切，MC⊥AB∴MC=r=2根据直线AB的解析式：y=x+2可知∠ABO=∠MBC=45°∴△BCM是等腰直角三角形∴MB=∵B(−2,0)∴圆心M的坐标为(−6,0)，综上所述：圆心M的坐标为(2,0)或(−6,0)，故选：D．【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键．【变式3】（2022春·九年级单元测试）如图，⊙C的圆心C的坐标为1,1，半径为1，直线l的表达式为y=−2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．355−1 B．655−1【答案】A【分析】求出点C1,1到直线y=−2x+6的距离d即可求得PQ【详解】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，连接BC、AC，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，∵y=−2x+6，∴A3,0，B∴OA=3，OB=6，∴AB=3∵四边形OMCN是正方形，∴OM=ON=1，∴AM=3−1=2，BN=6−1=5，设PC=d，PB=m，则AP=35∵BN2+C∴52+1解得：d=3∵⊙C的半径为1，∴PQ=3故选：A．【点睛】此题主要考查与圆相关的动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用、点到直线的距离的性质．同步过关一、单选题1．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为3cm，则点A（

）A．在⊙O内 B．在⊙O上C．在⊙O外 D．与⊙O的位置关系无法确定【答案】A【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点A与⊙O的位置关系．【详解】解：∵OA=3cm＜5cm，∴点A在⊙O内．故选：A．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离比圆的半径小，可以确定点A在圆内．2．（2022秋·河南漯河·九年级统考期末）⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（

）A．在⊙O内或⊙O上 B．在⊙O外C．在⊙O上 D．在⊙O外或⊙O上【答案】D【分析】根据⊙O的半径为R和点P到圆心O的距离为d之间的关系，对点与圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：∵d≥R，∴点P在⊙O上或点P在⊙O外．故选D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r点P在圆内⇔d＜r．解题关键是熟记点和圆的位置关系与圆的半径和点到圆心的距离的关系．3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与⊙O有交点，则下列结论正确的是（）A．d＝r B．d≤r C．d≥r D．d＜r【答案】B【分析】根据直线l与⊙O有交点，则可知直线和圆相切或相交．【详解】解：∵直线l与⊙O有交点，∴直线与圆相交或相切，∴d≤r．故选：B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,熟悉直线与圆的位置关系是解题关键.4．（2022·浙江·九年级专题练习）已知⊙O的半径为2cm，若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．与⊙O的位置关系无法确定【答案】C【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点P与⊙O的位置关系．【详解】解：∵OP=3cm＞2cm，∴点P在⊙O外．故选：C．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离比圆的半径小，可以确定点P在圆外．5．（2023春·九年级单元测试）已知⊙O的半径为3cm，⊙O所在平面上有一点P.若PO＝3.5cm，则点P在()A．⊙O内 B．⊙O上C．⊙O外 D．以上都有可能【答案】C【分析】半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，依此可得答案．【详解】由题意，得d=3，r=2．∵d＞r，∴点P在⊙O外，故选C．【点睛】考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．6．（2022秋·广西南宁·九年级南宁十四中校联考期中）已知⊙O的半径为4，OA=5，则点A和⊙O的位置关系是（

）A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．圆不经过点A【答案】B【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O的半径为4，OA=5，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．7．（2023·山东潍坊·统考二模）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t（s），以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED．当直线DE与⊙O相切时，t的取值是（）A．169 B．32 C．43【答案】A【分析】如图，作AF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质得BF=CF=4,利用切线的判定方法，当BE⊥DE,直线DE与⊙O相切，则∠BED=90°,然后利用cos∠B=BFAB=45,可得cos【详解】由题意可知0＜t≤4，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB=AC，则BF＝CF＝4cm，∴cos∠B＝BFAB当直线DE与⊙O相切时，DE⊥AB，则cos∠B=BEBD即2t8−2t=4故选A.【点睛】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，等腰三角形的性质、三角函数性质，掌握三角函数的性质是解题的关键.8．（2022秋·全国·九年级专题练习）当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】根据内心和外心的概念，三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边的垂直平分线的交点；再根据等边三角形中三线合一性质，所以一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是等边三角形．【详解】解：根据等边三角形的性质可知，一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是等边三角形．故选：D．【点睛】本题考查三角形的内心、外心的相关知识，熟悉相关性质是解题的关键．9．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）下列命题中，假命题是（

）A．在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半B．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合C．有一个角是60°的三角形是等边三角形D．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心【答案】C【分析】根据30°的直角三角形性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半判断A正确，不符合题意；根据等腰三角形“三线合一”的性质判断B正确，不符合题意；根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断C错误，符合题意；根据三角形外心的定义判断D正确，不符合题意．【详解】解：A．根据30°的直角三角形性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以A选项正确，不符合题意；B．根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，所以B选项正确，不符合题意；C．根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，所以C选项错误，符合题意；D．根据外心定义：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，所以D选项正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．10．（2022秋·九年级课时练习）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】B【详解】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D,∵∠BAC=150,∴∠DAB=30°,∴BD=12即B到直线AC的距离等于⊙B的半径,∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切,故选B.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用,过B作BD⊥AC交CA的延长线于D,求出BD和⊙B的半径比较即可,主要考查学生的推理能力.二、填空题11．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）在同一平面内，⊙O的直径为2cm，点P到圆心O的距离是3cm，则点P与⊙O的位置关系是．【答案】圆外【分析】根据比较点到圆心的距离与半径的大小可得答案．【详解】解：设点P到圆心O的距离的距离为d，半径为r，由题意可得：d=3，r=1，则d>r，∴则点P在⊙O的外部．故答案为：圆外．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，准确地认识圆是解题的关键．12．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）已知⊙O的半径为4cm，OP=2cm，则点P在⊙O【答案】内【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在园内；点到圆心的距离等于圆心的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．【详解】解：∵OP=2<4，∴点P在⊙O内，故答案为：内．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系的判断是关键．13．（2022秋·九年级课时练习）经过一点P可以作个圆；经过两点P、Q可以作个圆，圆心在上；经过不在同一直线上的三个点可以作个圆，圆心是的交点．【答案】无数，无数，线段PQ的垂直平分线，一个，三边中垂线.【详解】试题分析：经过一点P可以作无数个圆；经过两点P、Q可以作无数个圆，圆心在线段PQ的垂直平分线上；经过不在同一直线上的三个点可以作一个个圆，圆心是三边中垂线的交点．14．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市第九中学校考期中）若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是．【答案】点O在⊙P上【分析】由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【详解】解：由勾股定理，得OP＝(−3)2d＝r＝5，故点O在⊙P上．故答案为点O在⊙P上.【点睛】此题考查点与圆的位置关系的判断．解题关键在于要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．15．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学阶段练习）已知⊙O的半径为6cm，点A在⊙O外，OA=d，则d的长度范围是．【答案】d>6【分析】根据点A在圆外⇔d＞r．进行判断．【详解】∵⊙O的半径为6，点A在⊙O外，∴OA＞6，即d＞6．故答案为d＞6．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．16．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）在Rt△ABC中，斜边AB=10，直角边AC=8，以C为圆心,r为半径，若要使⊙C与边AB只有一个公共点，则r的取值范围是.【答案】r=4.8或6＜r≤8【详解】如图，∵斜边AB=10，直角边AC=8，∴BC=102当圆和斜边相切时,则半径即是斜边上的高,r=CD=6×810当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则6<r⩽8.故答案为r=4.8或6<r⩽8.点睛：本题考查的是直线与圆的位置关系，在解答此题时要注意分两种情况讨论，不要漏解.三、解答题17．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．【答案】（1）r<3时，点A在⊙C外；（2）3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外【分析】（1）根据点A在圆外，则点A到圆心C的距离大于半径r，从而可得r的取值；（2）根据点A在圆内，则点A到圆心C的距离小于半径r，根据点B在圆外，则点B到圆心C的距离大于半径r，两者结合起来即可得到r的取值范围．【详解】（1）点A在⊙C外，则AC>r，即r<3即当r<3时，点A在⊙C外；（2）点A在⊙C内，则AC<r，即r>3；点B在⊙C外，则BC>r，即r<4，综合起来，当3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可确定点与圆的位置关系，掌握它是解答本题的关键．18．（2023·浙江·九年级假期作业）在直角坐标平面内，⊙O的半