人教版九年级数学上册重难考点专题06实际问题与二次函数(知识串讲+5大考点)特训(原卷版+解析)

专题06实际问题与二次函数考点类型知识串讲（一）实际问题类型（1）几何面积型（2）拱桥型（3）抛掷型（4）销售利润型（5）动点型考点训练考点1：几何面积型典例1：（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，用总长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为25(1)如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边BC长为am，求鸡棚与墙垂直的一边AB的长（用含a(2)设鸡棚与墙垂直的一边AB的长为xm，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围(3)试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于250m2，若可以，求出此时【变式1】（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）把一块长100m，宽60m的矩形空地建成停车场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为停车位，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于28m，不大于52m．设绿化区较长边为x(1)直接写出：①用含x的式子表示出口的宽度为；②y与x的函数关系式及x的取值范围．(2)求停车场的面积y的最大值；(3)预计停车场造价为100元/m2，绿化区造价为50元/m2．如果停车场投资不得超过540000元建造，直接写出【变式2】（2023·广东·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．【变式3】（2022秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，用60m长的护栏全部建造一个靠墙（墙的长度不限）的矩形养牛场，已知此矩形养牛场的面积为ym2(1)此矩形与墙平行的边长为m（用x来表示）；(2)求y与x之间的函数表达式，并求出此矩形面积的最大值；(3)如图2，若建造矩形养牛场时，在平行于墙的一边上留了aa>0m的距离便于出入（不占用护栏材料），当15≤x≤20时，该矩形的最大面积为512m考点2：拱桥型典例2：（2023·河南南阳·统考一模）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5(1)求出大孔抛物线的解析式；(2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方2m处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3m，顶部宽(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF．【变式1】（2023秋·福建福州·九年级统考期末）如图是抛物线形的拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．(1)建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)当水面下降3米时，求水面宽增加了多少米？【变式2】（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度．【变式3】（2023·陕西西安·统考一模）图（1）是一座拱桥，图（2）是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系下，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度OB=20m，拱顶A到水面的距离为5(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)为迎接新年，管理部门在桥下以1.6m为水平距离对称的悬挂了11个长为40cm的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在A处，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于1m考点3：抛掷型典例3：（2022秋·九年级单元测试）某运动员在一次投篮中，命中距地面距离为3.05米的篮圈中心，球的运动路线是抛物线y=−15x2+3.5的一部分（如图），球运行的最高点与运动员的水平距离是2.5【变式1】（2023·北京延庆·统考一模）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，建立平面直角坐标系xOy，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a（小明训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m012345竖直高度y/m1.82.432.883.153.243.15根据上述数据，解决下列问题：(1)直接写出实心球竖直高度的最大值是______；(2)求出满足的函数关系y=a（(3)求实心球从出手到落地点的水平距离．【变式2】（2023秋·河南开封·九年级统考期末）双手正面掷实心球是开封市中招体育考试的选考项目，如图①是一名男生双手正面掷实心球，实心球的行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点高度为2m，当水平距离为5m时，实心球行进至最高点4m处．(1)求抛物线的表达式；(2)根据开封市中招体育考试评分标准（男生10.3m），即投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10.30m，此项考试得分为满分10分．该男生在此项考试中是否得满分，请说明理由．（2≈1.4【变式3】（2023·河南三门峡·统考一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；(2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m考点4：销售利润型典例4：（2023·四川成都·统考二模）直播作为一种新的营销方式，已经被越来越多的人所接受．近年以来，许多特色农产品随着直播漫步“云端”，被销售到全国各地．某农户在直播间销售一种成本为10元/kg的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（kg）与销售单价x（元）x≥10满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为W（元）．(1)求W与x之间的函数关系式；(2)若销售单价不低于15元/kg，且每天至少销售140kg时，求W【变式1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？【变式2】（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）商场准备采购一批特色商品，经调查，用8000元采购A型商品的件数是用3000元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多1元．(1)求一件A型，B型商品的进价分别为多少元？(2)市场调查发现：将2件A型商品和1件B型商品捆绑成1件C型商品销售情况较好．当每件C型商品的售价是20元时，每天可以销售500件；当售价每涨价1元，每天少销售10件．设每件C型商品的售价是x元（x≥20且x为整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式；(3)在（2）条件下，由于物价局限定，每件C型商品的售价不得超过30元，求商场每天销售C型商品的最大利润．【变式3】（2022·辽宁·统考中考真题）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：每千克售价x（元）……202224……日销售量y（千克）……666054……(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？考点5：动点型典例5：（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．（1）①当运动停止时，t的值为；②设P、C之间的距离为y，则y与t满足关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；（2）设△PCQ的面积为S．①求S的表达式（用含t的式子表示）；②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？【变式1】（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AC与Q，当点P不与A、B重合时，以线段PQ为边向右作长方形PQMN，使PN=2PQ．设长方形PQMN与△ABC的重叠面积为S，点P的运动时间为t(1)用含t的代数式表示线段BP的长度．(2)连接CP，当CP平分△ABC的面积时，求出t的值．(3)当点N落在BC边上时，求t的值．(4)用含t的代数式表示S．【变式2】（2022春·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考阶段练习）已知抛物线y=−x2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C，图象的对称轴为直线x=−1.连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点D（1）求AB的长度；（2）连接AE、CE，当ΔACE的面积最大时，求点D的坐标；（3）当m为何值时，ΔADF与ΔCDE相似．【变式3】（2023秋·天津河西·九年级校考期末）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．P、Q分别从A、B(1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm(2)求出SΔBPQ关于t的函数解析式，计算P、Q出发几秒时，同步过关一、单选题1．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考阶段练习）在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=−112xA．6米 B．10米 C．12米 D．15米2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒12A． B． C． D．3．（2023春·九年级课时练习）如图，抛物线y=xA．1.5 B．2 C．2.5 D．34．（2022秋·九年级单元测试）长为20cm，宽为10cm的矩形，四个角上剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与xA．y=(10−x)(20−x)(0<x<5) B．y=10×20−4C．y=(10−2x)(20−2x)(0<x<5) D．y=200+45．（2022春·全国·九年级专题练习）用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（

）A．16 B．12 C．8 D．46．（2022秋·安徽滁州·九年级统考期末）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出30−x件，要使利润最大，每件的售价应为（

）A．24元 B．25元 C．28元 D．30元7．（2022秋·河南郑州·九年级郑州中学校考期末）如图，DE是边长为4的等边△ABC的中位线，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿折线AD−DE向点E运动；同时动点Q以相同的速度，从点B出发，沿BC向点C运动，当点P到达终点时，点Q同时停止运动．设运动时间为ts,B,D,P,Q四点围成图形的面积S与时间t之间的函数图象是（A．B．C． D．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是3m，那么这条抛物线的解析式是（

）A．y=－x2+83x+1 B．y=－x2+83C．y=－x2－83x+1 D．y=－x2－83二、填空题9．（2022春·九年级课时练习）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100−x)件，当出售价格是__________元时，才能使利润最大．10．（2023秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）若用16m长的篱笆围成长方形的生物园来饲养动物，则生物园的最大面积为_______．11．（2022春·九年级课时练习）某工厂有一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系应表示为_____．12．（2022春·九年级课时练习）随着新冠疫情逐渐好转，某口罩厂将减少口罩的出厂量，6月份的出厂量为20000只，若口罩出厂量每月下降百分率为x，8月份的出厂量为y只，则y关于x的函数解析式为___．13．（2023秋·宁夏银川·九年级校考期末）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降3米时，水面的宽度为_______米？14．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=−0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离15．（2023秋·九年级课时练习）数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100110120130…月销量（件）200180160140…已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x（x≥100）元，则月销量是___________件，销售该运动服的月利润为___________元（用含x的式子表示）.16．（2023秋·广东·九年级华中师范大学海丰附属学校校考期中）如图在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则对角线BD的最小值为_____．三、解答题17．（2022秋·山东泰安·九年级统考期中）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？18．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）已知，如图，抛物线y=−x2+bx+c经过直线y=−x+3与坐标轴的两个交点A,B．此抛物线与x轴的另一个交点为C1求此抛物线的解析式；2若点M为抛物线上一动点，是否存在点M．使ΔACM与ΔABC的面积相等?若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知A（-2,0），B（0，m）两点，且线段AB=25，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．（1）求点B的坐标（2）在x轴上是否存在点Q，使△QAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果在坐标平面内有一点P（a，3），使得△ABP的面积与正方形ABCD的面积相等，求a的值．20．（2023秋·全国·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平移抛物线y=x2﹣2x+3，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，求平移后的抛物线的解析式．21．（2023·河南南阳·二模）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED并延长交CG于点F，连接AF．设A、E两点间的距离为xcm，E、F两点间的距离为ycm．小亮根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x变化而变化的规律进行了探究．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）列表：如表的已知数据是根据A、E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：x/cm0123456y/cm9.497.625.833.163.164.24请你通过计算补全表格；（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出剩余的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；（3）根据函数图象，当E、F两点间的距离y最小时，A、E两点间的距离约为cm；（4）解决问题：当EF﹣AE＝2时，BE的长度大约是cm．（结果保留1位小数）22．（2023·全国·九年级专题练习）用一块边长为60㎝的正方形薄钢片制作一个长方体盒子：如果要做成一个没有盖的长方体盒子,可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，如图(1),然后把四边折合起来，如图(2)（1）求做成的盒子底面积y(㎝2)与截去小正方形边长x(㎝)之间的函数关系式；（2）当做成的盒子的底面积为900㎝2时,试求该盒子的容积.23．（2022春·江苏·九年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出2件．若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？你若是商场经理，为获得最大利润，每件衬衫应降价多少元，此时最大利润是多少？24．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边利用墙，如图所示，墙长为9m．（1）若生物园的面积是30m2，求生物园一边AB的长；（2）若要使围成的长方形生物园面积最大，问如何设计该生物园的长和宽？25．（2022春·江苏·九年级专题练习）某件产品的成本是每件10元，试销售阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表所示．x/元15203035y/件2520105(1)观察以上数据，根据我们所学到的一次函数、二次函数，回答：y是x的什么函数？并求出解析式．(2)要使得每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少？此时每日的销售利润是多少？26．（2023春·河南南阳·九年级统考学业考试）某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图1所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4.8(1)在图②所建立的平面直角坐标系xOy中，求这条抛物线对应的函数表达式；(2)现有一辆运货卡车高2.6m，宽2.427．（2022秋·吉林·九年级期末）某水果批发商销售每箱进价为30元的苹果梨．经市场调研发现：平均每天销售量y（箱）与每箱销售价x（元）之间的关系为y=−2x+160．（1）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与x之间的函数解析式．（2）该批发商每天要想获得1200元的利润，每箱销售价x应该定为多少元？（3）每箱销售价x定为_____元时，平均每天的销售利润最大，最大利润是_____元．28．（2023·湖北随州·统考中考真题）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y=−16x2+bx+c图2（1）直接写出b，c的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为372429．（2022春·浙江·九年级专题练习）我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如表数据：（1）上表中x、y的各组对应值满足一次函数关系，请求出y与x的函数关系式；（2）物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件：①销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？②该工艺厂积极投入到慈善事业，它将该工艺品每件销售利润中抽取2元捐赠给我市的公共卫生事业，并且捐款后每天的利润不低于7600元，则工艺厂每天从这件工艺品的利润中最多可捐出多少元？30．（2022·辽宁锦州·中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？

专题06实际问题与二次函数考点类型知识串讲（一）实际问题类型（1）几何面积型（2）拱桥型（3）抛掷型（4）销售利润型（5）动点型考点训练考点1：几何面积型典例1：（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，用总长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为25(1)如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边BC长为am，求鸡棚与墙垂直的一边AB的长（用含a(2)设鸡棚与墙垂直的一边AB的长为xm，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围(3)试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于250m2，若可以，求出此时【答案】(1)AB=(2)S=−2x2(3)这个矩形鸡棚的面积S不能等于250【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由题意可知BC=40−2x（3）由（2）及根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】（1）解：由题意得：AB=40−a（2）解：由题意得：S=x40−2x∵0<40−2x≤25，∴7.5≤x<20；（3）解：由（2）可知：−2x化简得x2∵Δ=∴该方程无实数解，即这个矩形鸡棚的面积S不能等于250m【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用及二次函数的应用是解题的关键．【变式1】（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）把一块长100m，宽60m的矩形空地建成停车场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为停车位，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于28m，不大于52m．设绿化区较长边为x(1)直接写出：①用含x的式子表示出口的宽度为；②y与x的函数关系式及x的取值范围．(2)求停车场的面积y的最大值；(3)预计停车场造价为100元/m2，绿化区造价为50元/m2．如果停车场投资不得超过540000元建造，直接写出【答案】(1)①100−2x；②y=−4(2)当x=24时，y有最大值为5616(3)30≤x≤36【分析】（1）①根据矩形空地的长等于两块绿化区的长加上出口宽度，列代数式即可；②先利用矩形空地的宽等于出口宽度加上两块绿化区的宽，求出绿化区的宽，再利用矩形空地的面积减去四块绿化区的面积即可得解；（2）利用二次函数的性质，求最值即可；（3）根据题意，列出不等式，进行求解即可．【详解】（1）解：①由图可知：矩形空地的长等于，两块绿化区的长加上出口宽度，∴出口宽度为：100−2x；故答案为：100−2x；②由题意得：绿化区的宽为：60−100−2x∴y=100×60−4×xx−20∵x−20>0，∴x>20；又∵28≤100−2x≤52，∴24≤x≤36，∴y=−4x（2）解：y=−4x2∵a=−4，开口向下，对称轴为直线x=10，当24≤x≤36，y随x的增大而减小，∴当x=24时，y有最大值为5616．（3）解：由题意得：100×−4整理得：x2∴x−30x+10∴x≥30或x≤−10（舍），∵24≤x≤36，∴30≤x≤36．【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意结合图形，正确的求出函数解析式，是解题的关键．【变式2】（2023·广东·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．【答案】(1)抛物线的解析式为y=−(2)y=−x+8(3)△BCP的面积最大值为32【分析】（1）把点A(−2,0)，C(0,8)代入抛物线，利用待定系数法即可求解；（2）根据抛物线的解析式，令y=0，可求出抛物线与x轴的交点，根据待定系数法即可求解；（3）如图所示，过点P作PG∥y轴交BC于G，设Pt,−12t2+3t+8，则【详解】（1）解：将A(−2,0)，C(0,8)代入y=ax∴4a−6+c=0c=8，解得a=−∴抛物线的解析式为y=−1（2）解：令y=0，则−12x2+3x+8=0∴B(8,0)，且C(0,8)，设直线BC的解析式为y=kx+b，∴b=88k+b=0，解得k=−1∴直线BC的解析式为y=−x+8．（3）解：如图所示，过点P作PG∥y轴交BC于G，设Pt,−12∴PG=−1∴S△CBP∴当t=4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32，∴△BCP的面积最大值为32．【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，函数图像的性质特点及面积的计算方法是解题的关键．【变式3】（2022秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，用60m长的护栏全部建造一个靠墙（墙的长度不限）的矩形养牛场，已知此矩形养牛场的面积为ym2(1)此矩形与墙平行的边长为m（用x来表示）；(2)求y与x之间的函数表达式，并求出此矩形面积的最大值；(3)如图2，若建造矩形养牛场时，在平行于墙的一边上留了aa>0m的距离便于出入（不占用护栏材料），当15≤x≤20时，该矩形的最大面积为512m【答案】(1)60−2x(2)450(3)4【分析】（1）将60m长的护栏减去2x（2）根据矩形的面积定义长乘以宽，即可求出y与x之间的函数表达式，由二次函数的顶点坐标即可求出矩形面积的最大值；（3）先求出y与x之间的函数表达式，再求出0≤a≤20，由矩形的最大面积为512m2，得0−60+a【详解】（1）解：由题意得：此矩形与墙平行的边长为60−2xm故答案为：60−2x（2）y=x60−2x∴y与x之间的函数表达式是y=−2x−15（3）y=x60−2x+a二次函数的对称轴x=−60+a∵15≤x≤20，∴15≤60+a∴0≤a≤20，∵矩形的最大面积为512m∴0−解得：a=4或a=−124（舍去），∴a=4．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键．考点2：拱桥型典例2：（2023·河南南阳·统考一模）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5(1)求出大孔抛物线的解析式；(2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方2m处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3m，顶部宽(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF．【答案】(1)y=−(2)能安全通过大孔，理由见解析(3)10【分析】（1）用待定系数法即可得大孔抛物线的解析式；（2）求出x=2时y的值，与2+3作比较即可；（3）求出点E、F坐标，即可得到答案．【详解】（1）解：设大孔抛物线的解析式为y=ax把点A−10,0代入解析式得：解得：a=−3∴大孔抛物线的解析式为y=−3（2）∵大孔抛物线的解析式为y=−3当x=2时，y=−3∴该巡逻船能安全通过大孔；（3）∵NC=4.5，∴点F的纵坐标为4.5，∴当y=4.5时，得−3解得：x1=5，∴由抛物线对称性可知点为E−5,4.5，点F为5,4.5∴EF=5−−5答：大孔的水面宽度EF为10m【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是建立函数模型，准确找出模型类型，然后利用待定系数法求出模型（即函数）的表达式，最后根据函数的性质得出结论．掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式1】（2023秋·福建福州·九年级统考期末）如图是抛物线形的拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．(1)建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)当水面下降3米时，求水面宽增加了多少米？【答案】(1)y=−(2)2【分析】（1）首先建立直角坐标系，设抛物线为y=ax2，把点（2）将y=−5代入（1）中解析式，解方程即可求解．【详解】（1）解：如图，以拱顶为原点建立直角坐标系，可设这条抛物线为y=ax结合题意，将点(2,−2)代入，得−2=2解得a=−1∴y=−1（2）若水面下降3米，即当y=−5时，可有−5=−12x此时水面宽度为10−(−∴水面下降3米，水面宽度增加(210【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键是正确建立坐标系，熟练运用二次函数解决实际问题．【变式2】（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度．【答案】200米【分析】以CD的中垂线为y轴，CD所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出A、B、C、D坐标，设出抛物线的解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令x=0，求出y的值即可．【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系．此时，抛物线与x轴的交点为C(-100,0),

D(100,0)．设这条抛物线的解析式为y=a(x−100)(x+100)∵抛物线经过点B(50,150)，)可得150=a(50−100)(50+100)解得a=−150∴y=−1顶点坐标是（0，200）∴拱门的最大高度为200米．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，解题关键是正确建立坐标轴和熟练掌握待定系数法求解析式．【变式3】（2023·陕西西安·统考一模）图（1）是一座拱桥，图（2）是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系下，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度OB=20m，拱顶A到水面的距离为5(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)为迎接新年，管理部门在桥下以1.6m为水平距离对称的悬挂了11个长为40cm的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在A处，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于1m【答案】(1)y=−(2)现在的悬挂方式是安全的，理由见解析【分析】（1）根据题意得：顶点A的坐标为10,5，可设抛物线的表达式为：y=ax−102+5（2）根据题意可得最右侧灯笼悬挂点到点A的水平距离，从而得到它的横坐标为10−8=2，再代入（1）中解析式，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：顶点A的坐标为10,5，∴令抛物线的表达式为：y=ax−10将点0,0代入得：0=100a+5，解得：a=−1∴y=−（2）解：由题意得：最右侧灯笼悬挂点到点A的水平距离为：1.6×5=8m所以它的横坐标为10−8=2，当x=2时，y=−1因为1.8−0.4−0.3=1.1>1，所以现在的悬挂方式是安全的．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．考点3：抛掷型典例3：（2022秋·九年级单元测试）某运动员在一次投篮中，命中距地面距离为3.05米的篮圈中心，球的运动路线是抛物线y=−15x2+3.5的一部分（如图），球运行的最高点与运动员的水平距离是2.5【答案】4米【分析】在已知解析式中，求出y=3.05时x的值，根据图象，舍去不合题意的值，将求出的x与2.5相加即可．【详解】解：把y=3.05代入y=−15x解得：x1=1.5，∴l=1.5+2.5=4米．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．【变式1】（2023·北京延庆·统考一模）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，建立平面直角坐标系xOy，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a（小明训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m012345竖直高度y/m1.82.432.883.153.243.15根据上述数据，解决下列问题：(1)直接写出实心球竖直高度的最大值是______；(2)求出满足的函数关系y=a（(3)求实心球从出手到落地点的水平距离．【答案】(1)3.24；(2)y=−0.09x−4(3)10米；【分析】（1）利用抛物线的对称性求得对称轴，再根据开口方向即可解答；（2）由表格数据得出顶点坐标，再将(0，（3）在函数关系中令y=0，解一元二次方程方程即可；【详解】（1）解：由表格数据可得当x=3和x=5时，其函数值y相同，∴二次函数的对称轴为x=3+5∵函数y=a（∴函数顶点坐标为(4，∴实心球竖直高度的最大值是3.24；故答案为：3.24（2）解：∵抛物线的顶点坐标为(4，∴设抛物线的表达式为y=ax−4将点(0，1.8)代入，得解得a=−0.09，∴抛物线的表达式为y=−0.09x−4（3）解：令y=0，则−0.09x−4解得：x1=10，答：实心球从出手到落地点的水平距离为10米．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握其顶点式y=a（x−ℎ）【变式2】（2023秋·河南开封·九年级统考期末）双手正面掷实心球是开封市中招体育考试的选考项目，如图①是一名男生双手正面掷实心球，实心球的行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点高度为2m，当水平距离为5m时，实心球行进至最高点4m处．(1)求抛物线的表达式；(2)根据开封市中招体育考试评分标准（男生10.3m），即投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10.30m，此项考试得分为满分10分．该男生在此项考试中是否得满分，请说明理由．（2≈1.4【答案】(1)y=−(2)该男生在此项考试中得满分，理由见解析【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax−52+4（2）令y=0，解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：依题意，设抛物线解析式为y=ax−52+42=25a+4，解得：a=−2∴解析式为：y=−2（2）解：令y=0，即−解得：x1=5−52（舍去），x∴该男生在此项考试中得满分．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．【变式3】（2023·河南三门峡·统考一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；(2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m【答案】(1)y=−(2)小丽的判断是正确的，计算过程见解析(3)张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为3,4，球出手时的坐标为0,2.2，设抛物线的解析式为y=ax−3（2）求得当x=5.5时的函数值，与3.05比较即可说明小丽判断的正确性；（3）将y=3.2代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案．【详解】（1）∵抛物线顶点坐标为3,4，∴设抛物线的解析式为y=ax−3把0,2.2代入，得a=−1∴y=−1（2）把x=5.5代入抛物线解析式y=−得y=11∵11∴此球不能投中，小丽的判断是正确的．（3）当y=3.2时，3.2=−1解之，得x=1或x=5．∵5>3，∴x=1．答：张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．考点4：销售利润型典例4：（2023·四川成都·统考二模）直播作为一种新的营销方式，已经被越来越多的人所接受．近年以来，许多特色农产品随着直播漫步“云端”，被销售到全国各地．某农户在直播间销售一种成本为10元/kg的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（kg）与销售单价x（元）x≥10满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为W（元）．(1)求W与x之间的函数关系式；(2)若销售单价不低于15元/kg，且每天至少销售140kg时，求W【答案】(1)W=(2)2500元【分析】（1）先求出当10≤x≤20时，当x>20时，y与x的函数关系式，再根据销售每件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答；（2）根据（1）W与x之间的函数关系式，结合一次函数的性质，二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：当10≤x≤20时，y=200，此时W=x−10当x>20时，设y与x的函数关系式为y=kx+b，∵点20,200，25,180在该函数图像上，∴20k+b=20025k+b=180，解得k=−4∴y与x的关系式为y=−4x+280，此时W=x−10∴W与x的关系式为W=200x−2000（2）解：由题可知x≥15−4x+280≥140∴15≤x≤35．①当10≤x≤20，W=200x−2000，此时W随x的增大而增大，∴当x=20时，Wmax②当20<x≤35，W=−4x∵a=−4<0，对称轴为直线x=70+10∴当x≤40时，W随x的增大而增大．∴当xmax=35时，∵2500>2000，答：W的最大值是2500元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是解答本题的关键．【变式1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元(2)当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，列出w关于a的函数关系式，求出函数的最值即可．【详解】（1）解：设A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据题意得，100x+150y=7000180x+120y=8100解得x=25y=30故A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）解：设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，根据题意得，w=54−a−30∵−5<0，∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键．【变式2】（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）商场准备采购一批特色商品，经调查，用8000元采购A型商品的件数是用3000元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多1元．(1)求一件A型，B型商品的进价分别为多少元？(2)市场调查发现：将2件A型商品和1件B型商品捆绑成1件C型商品销售情况较好．当每件C型商品的售价是20元时，每天可以销售500件；当售价每涨价1元，每天少销售10件．设每件C型商品的售价是x元（x≥20且x为整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式；(3)在（2）条件下，由于物价局限定，每件C型商品的售价不得超过30元，求商场每天销售C型商品的最大利润．【答案】(1)一件A型商品的进价为4元，则一件B型商品的进价为3元；(2)w=-10x2+810x-7700；(3)7600元【分析】（1）设一件A型商品的进价为x元，则一件B型商品的进价为（x-1）元，根据“用8000元采购A型商品的件数是用3000元采购B型商品的件数的2倍，”列出方程，即可求解；（2）根据题意可得每件C型商品的进价为2×4+3=11元，根据利润等于每件的利润乘以数量，列出关系式，即可求解；（3）把函数关系式化为顶点式，再根据二次函数的性质，即可求解．(1)解：设一件A型商品的进价为x元，则一件B型商品的进价为（x-1）元，根据题意得：8000x解得：x=4，经检验：x=4是原方程的解且符合题意；∴x-1=3，答：一件A型商品的进价为4元，则一件B型商品的进价为3元；(2)解：根据题意得：每件C型商品的进价为2×4+3=11元，∴w=（x-11）[500-10（x-20）]=-10x2+810x-7700；(3)解：∵w=-10x2+810x-7700=−10x−40.5∴当x≤40.5时，w随x增大而增大，∴当x=30时，w最大，最大值为7600．即每天销售C型商品的最大利润为7600元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【变式3】（2022·辽宁·统考中考真题）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：每千克售价x（元）……202224……日销售量y（千克）……666054……(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？【答案】(1)y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126(2)当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，然后根据总利润等于每千克的利润×销售量，然后根据二次函数的性质解答即可．【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由表中数据得：20k+b=6622k+b=60解得：k=−3b=126∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，∴18≤x≤28，∵﹣3＜0，∴当x＜30时，w随x的增大而增大，∴当x＝28时，w最大，最大值为420，∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质．考点5：动点型典例5：（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．（1）①当运动停止时，t的值为；②设P、C之间的距离为y，则y与t满足关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；（2）设△PCQ的面积为S．①求S的表达式（用含t的式子表示）；②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？【答案】（1）①2；②一次函数；（2）①S=−6t2+12t；②【分析】（1）①根据P、Q运动速度，以及AC、BC的长度，即可求解；②求得y与t的关系式，即可求解；（2）①求得线段PC、CQ的长度，即可求得S的表达式；②根据表达式可得S与t为二次函数的关系，根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）①运动停止时，P、Q分别到达终点C点和B点，t=6÷3=2(s)故答案为2②由题意可得：AP=3t，PC=AC−AP=6−3t，即y=6−3t，∴y与t满足一次函数的关系故答案为一次函数（2）①由题意可得：AP=3t，CQ=4tPC=AC−AP=6−3t△PCQ的面积S=故答案为：S=−6②由二次函数的性质可得：a=−6<0，开口向下，对称轴为t=1∴当t=1时，S取得最大值，最大值为6【点睛】此题考查了函数与几何的综合应用，涉及了正比例函数的性质，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质，理解题意，找到题中的等量关系．【变式1】（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AC与Q，当点P不与A、B重合时，以线段PQ为边向右作长方形PQMN，使PN=2PQ．设长方形PQMN与△ABC的重叠面积为S，点P的运动时间为t(1)用含t的代数式表示线段BP的长度．(2)连接CP，当CP平分△ABC的面积时，求出t的值．(3)当点N落在BC边上时，求t的值．(4)用含t的代数式表示S．【答案】(1)5(2)5(3)5(4)S=【分析】（1）利用勾股定理求出AB，利用线段和差定义求出PB即可；（2）当CP平分△ABC面积时，AP=PB，列出关于t的方程，求解即可；（3）根据AQ+QM=AB，构建方程求出t即可；（4）分两种情形：当0<t≤53时，当【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5cm∴AB=A∵AP=2∴PB=AB−AP=(52（2）解：当CP平分△ABC面积时，AP=PB，∵AP=2t（cm），∴2t=5∴t=5（3）解：当点N落在BC边上时，AQ+QM=AB=5（cm），∵∠ACB=90°，AC=BC=5cm，PQ⊥AC，∴∠AQP=90°，∠A=45∵AP=2∴AQ=t，QM=2t，∴t+2t=5，∴t=5（4）解：当0<t≤53时，当53<t<5时，综上所述，S=2【点晴】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．【变式2】（2022春·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考阶段练习）已知抛物线y=−x2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C，图象的对称轴为直线x=−1.连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点D（1）求AB的长度；（2）连接AE、CE，当ΔACE的面积最大时，求点D的坐标；（3）当m为何值时，ΔADF与ΔCDE相似．【答案】（1）AB=4；（2）点D的坐标为−32,−32+3，即−3【分析】（1）根据对称轴求出b，得到抛物线解析式y=−x2−2x+3，令y=0，求出A(−3,0)（2）先求出直线AC关系式为y=x+3，设点D的坐标为(m,m+3)，得到点E的坐标为m,−m2−2m+3（3）连EF，分CE//AF时，ΔADF∽ΔCDE，和当【详解】（1）∵对称轴x=−b∴b=−2，∴y=−当y=0时，−x2−2x+3=0，解得x即A(−3,0)，B(1,0)，∴AB=1−(−3)=4.（2）经过点A(−3,0)和C(0,3)的直线AC关系式为y=x+3，∴点D的坐标为(m,m+3).在抛物线上的点E的坐标为m,−m∴DE=−∴S=1当m=−−922×−∴点D的坐标为−32,−（3）连EF，情况一：如图，当CE//AF时，当y=3时，−x2−2x+3=3，解得x∴点E的横坐标为－2，即点D的横坐标为－2，∴m=−2情况二：∵点A(−3,0)和C(0,3)，∴OA=OC，即∠OAC=45°.如图，当ΔADF∽ΔEDC时，∠OAC=∠CED=45°，∠AFD=∠DCE=90°，即ΔEDC为等腰直角三角形，过点C作CG⊥DE，即点CG为等腰RtΔEDC∴DE=2CG=−2mDF=m+3，∴EF=DE+DF，即−m解得m=1，m=0（舍去）综述所述，当m=−1或－2时，ΔADF与ΔCDE相似．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、三角形的面积公式及相似三角形的判定定理．【变式3】（2023秋·天津河西·九年级校考期末）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．P、Q分别从A、B(1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm(2)求出SΔBPQ关于t的函数解析式，计算P、Q出发几秒时，【答案】(1)当t为2秒时，PQ的长度等于5cm．(2)S△BPQ=−t2+5t；P、Q出发5【分析】（1）由题意得：AP=tcm，BQ=2tcm，根据AB=5cm得PB=AB−AP=(5−t)cm，在Rt△PBQ中，根据勾股定理得，P由（1）知：AP=tcm，BQ=2tcm，（2）根据当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动得0≤t≤50≤2t≤7，即可得0≤t≤72，则S【详解】（1）解：由题意得：AP=tcm，BQ=2tcm，∵AB=5cm，∴PB=AB−AP=(5−t)cm，在Rt△PBQ中，根据勾股定理得，P∴(5−t)225−10t+55解得：t=2或t=0（不合题意，舍去），∴t=2．答：当t为2秒时，PQ的长度等于5cm（2）解：由（1）知：AP=tcm，BQ=2tcm，∵当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动，∴0≤t≤50≤2t≤7∴0≤t≤7∴S△BPQ∴S△BPQ关于t的函数解析式为S∴S∵−1<0，∴当t=52秒时，SΔ即P、Q出发52秒时，SΔBPQ【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次不等式组，二次函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．同步过关一、单选题1．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考阶段练习）在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=−112xA．6米 B．10米 C．12米 D．15米【答案】B【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题理解为当y=0时，求x的值即可；【详解】铅球落地时高度为0，即当y=0时，−1解得x1=10，x2=-2（舍去），所以该生此次实心球训练的成绩为10米，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用中，函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒12A． B． C． D．【答案】B【分析】分0＜x≤4、4＜x≤8、x＞8三个时间段求出函数解析式即可确定其图象.【详解】解：①当0＜x≤4时，y=14x2②当4＜x≤8时，y=12×4×4-2×12×（4-12x）2=−③当x＞8时，y=8，故选：B．【点睛】本题考查了动点问题中有关图形面积的函数图象，灵活的表示出图形的面积与动点运动时间的函数关系是解题的关键.3．（2023春·九年级课时练习）如图，抛物线y=xA．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【分析】先求出点A坐标，利用对称可得点A'横坐标，代入y=【详解】解：令y=0得x2+x=0解得x∴A(−1,0)∵点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上∴A当x=1时，y=2所以点Aʹ的纵坐标为2.故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键.4．（2022秋·九年级单元测试）长为20cm，宽为10cm的矩形，四个角上剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与xA．y=(10−x)(20−x)(0<x<5) B．y=10×20−4C．y=(10−2x)(20−2x)(0<x<5) D．y=200+4【答案】C【分析】利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式．【详解】解：设小正方形边长为xcm，由题意知：现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm，则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），故选：C．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键．5．（2022春·全国·九年级专题练习）用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B【分析】因为x=2时，面积最大，为4，根据图形是矩形，由面积公式易得长为2米，从而得出a的值．【详解】解：由图象可知，当x=2时，y有最大，最大值为4，∴当x=2米，窗框的最大面积是4平方米，根据矩形面积计算公式，矩形的长为4÷2=2（米），∴材料总长a=2×3+2×3=12（米）．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用．从图象中获取相关信息解决问题是学习函数的基本功，体现了数形结合的思想方法．6．（2022秋·安徽滁州·九年级统考期末）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出30−x件，要使利润最大，每件的售价应为（

）A．24元 B．25元 C．28元 D．30元【答案】B【分析】设利润为w根据利润等于利润单价乘以数量列出函数，根据函数性质求解即可得到答案；【详解】解：设利润为w，由题意可得，w=(x−20)(30−x)=−x∵−1<0，20≤x≤30，∴当x=25时w最大，故选B；【点睛】本题考查二次函数解决销售利润问题中最值问题，解题的关键是列出函数根据函数性质求解．7．（2022秋·河南郑州·九年级郑州中学校考期末）如图，DE是边长为4的等边△ABC的中位线，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿折线AD−DE向点E运动；同时动点Q以相同的速度，从点B出发，沿BC向点C运动，当点P到达终点时，点Q同时停止运动．设运动时间为ts,B,D,P,Q四点围成图形的面积S与时间t之间的函数图象是（A． B． C． D．【答案】C【分析】分两种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，点P在AD上，根据三角形的面积公式可知△BPQ的面积，代入数据求出S与t之间的函数解析式；②当2＜t≤4时，点P在DE上，根据图形的面积公式可知梯形BDPQ的面积，代入数据求出S与t之间的函数解析式，从而判断出函数图象而得解．【详解】解：∵DE是边长为4的等边△ABC的中位线，∴AD=DB=DE=2，AB=4，∠B=60°．分两种情况：①当0＜t≤2时，点P在AD上，∵AP=BQ=t，∴BP=AB-AP=4-t，BQ边上的高h=32∴△BPQ的面积S=12BQ•h=12t•32②当2＜t≤4时，点P在DE上，∴DP=t-2，BQ=t，BQ边上的高h=3∴梯形BDPQ的面积=12（DP+BQ）•h=12（t-2+t）×3=3t-纵观各选项，只有C选项图形符合．故选：C．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了等边三角形的性质，解直角三角形，分两段得到由B、D、P、Q四点围成的图形面积并求出相应的函数关系式是解题的关键．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是3m，那么这条抛物线的解析式是（

）A．y=－x2+83x+1 B．y=－x2+83C．y=－x2－83x+1 D．y=－x2－83【答案】A【分析】根据已知得出B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（3，0），代入解析式即可求出b，c的值，即可得出答案．【详解】解：∵出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是3m，∴B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（3，0），将两点代入解析式得：c=1−9+3b+c=0，解得：b=∴这条抛物线的解析式是：y=-x2+83x故选：A．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出B，A两点的坐标是解决问题的关键．二、填空题9．（2022春·九年级课时练习）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100−x)件，当出售价格是__________元时，才能使利润最大．【答案】65【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值．【详解】解：设最大利润为w元，则w=（x-30）（100-x）=-（x-65）2+1225，∵-1＜0，0＜x＜100，∴当x=65时，二次函数有最大值1225，∴定价是65元时，利润最大．故答案为：65．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．10．（2023秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）若用16m长的篱笆围成长方形的生物园来饲养动物，则生物园的最大面积为_______．【答案】16m2【分析】设该长方形生物园的长为xm，面积为ym2，则该生物园的宽为（8-x）m，则可列出函数关系式y=x（8-x），然后求最大值即可．【详解】解：设该长方形生物园的长为xm，面积为ym2，则该生物园的宽为（8-x）m，则可得：0＜x＜8，根据题意列出函数关系式得：y=x（8-x）=-x2+8x=-（x-4）2+16，∵-1＜0，∴开口向下，y有最大值，故当x=4时，y取最大值16．即围成的最大面积是16m2．故答案为：16m2．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是设出矩形的长，表示出宽，得出面积S关于x的函数表达式，注意配方法求二次函数最值得应用．11．（2022春·九年级课时练习）某工厂有一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系应表示为_____．【答案】y=20(x+1)2【详解】∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍，∴一年后产品是：20（1+x），∴两年后产品y与x的函数关系是：y=20（1+x）2．故答案为y=20（x+1）2.【点睛】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍．12．（2022春·九年级课时练习）随着新冠疫情逐渐好转，某口罩厂将减少口罩的出厂量，6月份的出厂量为20000只，若口罩出厂量每月下降百分率为x，8月份的出厂量为y只，则y关于x的函数解析式为___．【答案】y=20000（1-x）2【分析】根据降低率的特点即可得到8月份的出厂量与6月份的出厂量的关系，故可求解．【详解】若口罩出厂量每月下降百分率为x，则8月份的出厂量y关于x的函数解析式为y=20000（1-x）2，故答案为：y=20000（1-x）2．【点睛】此题主要考查列二次函数，解题的关键是根据题意找到数量关系列函数．13．（2023秋·宁夏银川·九年级校考期末）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降3米时，水面的宽度为_______米？【答案】2【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．【详解】解：以拱桥的拱顶为原点建立如图所示的坐标系：设抛物线解析式为y=ax则水面宽度为4米时，水面两端的坐标为（2，-2），（-2，-2）把2,−2代入得：−2=4a，解得：a=−1∴抛物线解析式为y=−1把y=−5代入得：x=±10则水面的宽度是210米【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键在于对函数表达式得求出.14．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=−0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离【答案】4【分析】将y=3.05代入y=−0.2x2+x+2.25中可求出x，结合图形可知x=4【详解】解：当y=3.05时，−0.2x2+x+2.25=3.05结合图形可知：OH=4m故答案为：4【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．15．（2023秋·九年级课时练习）数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100110120130…月销量（件）200180160140…已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x（x≥100）元，则月销量是___________件，销售该运动服的月利润为___________元（用含x的式子表示）.【答案】2x+400−2【详解】分析：运用待定系数法求出月销量；根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式．详解：设月销量y与x的关系式为y=kx+b，由题意得，100k+b＝200110k+b＝180解得k＝−2b＝400则y=-2x+400；由题意得，y=（x-60）（-2x+400）=-2x2+520x-24000点睛：本题考查的是二次函数的应用，一次函数的运用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．16．（2023秋·广东·九年级华中师范大学海丰附属学校校考期中）如图在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则对角线BD的最小值为_____．【答案】2【分析】先确定二次函数的最小值，依据矩形的对角线相等可得到BD=AC，然后确定出AC的最小值即可，【详解】解：∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（2，2），∵四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC，∵AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为2，∴对角线BD的最小值为2．故答案为2．【点睛】本题主要考查的是矩形性质，配方法求二次函数的最值，解答关键是注意点A运动到抛物线顶点时，AC最小．三、解答题17．（2022秋·山东泰安·九年级统考期中）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5