【整合课件】5.3.1-函数的单调性1

§5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性与导数(一)学习目标1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.问题导学导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性f′(x)>0k____

角__________f′(x)<0k____

角__________知识点一函数的单调性与导函数的关系思考观察图中函数f(x)，填写下表.>0<0锐钝上升下降递增递减梳理一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内

；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内

.单调递增单调递减(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式

，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式

，解集在定义域内的部分为减区间.知识点二利用导数判断函数的单调性的一般步骤f′(x)>0f′(x)<01.函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减.(

)2.函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(

)[思考辨析判断正误]××题型探究类型一函数图象与导数图象的应用例1已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表.f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.x－1045f(x)1221给出下列关于函数f(x)的说法：①函数y＝f(x)是周期函数；

②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点.其中正确说法的个数是A.4 B.3

C.2 D.1√解析

依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此①不正确；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在[0,2]上是减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则结合函数f(x)的可能图象分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；注意到f(2)的值不明确，结合函数f(x)的可能图象分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(1<a<2)个单位长度后相应曲线与x轴的交点个数不确定，因此④不正确.故选D.反思与感悟

(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性.(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大.跟踪训练1已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是√解析

当0<x<1时，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数.故选C.类型二利用导数求函数的单调区间命题角度1不含参数的函数求单调区间例2求下列函数的单调区间.解

函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，反思与感悟求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域.(2)求导数y′＝f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数.(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数.跟踪训练2函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为____________________.解析

由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，即x2＋4x＋2<0，命题角度2含参数的函数求单调区间解

函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.反思与感悟

(1)讨论参数要全面，做到不重不漏.(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解.跟踪训练3设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间.解

f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增.综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增.达标检测1.函数f(x)＝x＋lnxA.在(0,6)上是增函数B.在(0,6)上是减函数12345√123452.若函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为√解析

由f(x)的图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(1,4)，单调递减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x∈(1,4)时，f′(x)>0，当x∈(－∞，1)或x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0，结合选项知选C.3.函数f(x)＝3＋x·lnx的单调递增区间是√解析

f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)>0，123454.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为[－1,2]，则b＝____，c＝_____.12345－6解析

f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知，f′(x)＝0即3x2＋2bx＋c＝0的两根为－1和2.12345解

函数f(x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞)，当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减.5.试求函数f(x)＝kx－lnx的单调区间.12345综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；1.导数的符号反映了函数在某个区