（圆梦高考数学）专题4.1 导数的概念及几何意义（含答案及解析）

专题4.1导数的运算及几何意义题型一平均变化率和瞬时变化率题型二导数的定义运算题型三导数的四则运算和复合函数求导题型四求曲线切线的斜率（倾斜角）题型五曲线上一点处的切线问题题型六过一点的切点问题题型七已知切线（斜率）求参数题型八两切线的平行、垂直问题题型九公切线问题题型一 平均变化率和瞬时变化率例1．（北京市第十四中学2022-2023学年高二下学期期中测试数学试题）下图是函数的图象，函数在区间，上的平均变化率分别为，，则，的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定例2．（福建省2022-2023学年高三下学期质优生“筑梦”联考数学试题）某铁球在时，半径为.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（

）A．0 B． C． D．练习1．（2023春·江西·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（

）A． B． C． D．练习2．（2023春·贵州·高三校联考期中）函数在区间上的平均变化率为（

）A．2 B．6 C．12 D．48练习3．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似满足函数关系式：，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位：）．(1)求，并解释其实际意义；(2)蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻是多少（精确到）？练习4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图，从上端口往一高为H的水缸匀速注入水，水注满所用时间为T.若当水深为h时，水注入所用时间为t，则函数的图像大致是（

）A． B．C． D．练习5．（2023春·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）若小球自由落体的运动方程为（g为常数），该小球在到的平均速度为，在的瞬时速度为，则和的大小关系为________（填“”，“”或“”）题型二 导数的定义运算例3．（江西省部分学校2022-2023学年高三下学期4月期中联考数学试题）已知，则（

）A．1 B．3 C．6 D．9例4．若在处可导，则可以等于（

）．A． B．C． D．练习6．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）设函数，则（

）A．3 B． C． D．0练习7．（2023春·四川达州·高三校考期中）已知函数，则________．练习8．（2023·高三课时练习）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（

）A． B． C． D．练习9．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数在处可导，且，则（

）A． B． C． D．练习10．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）计算：（

）A．0 B． C． D．题型三 导数的四则运算和复合函数求导例5．（四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三下学期期中联考理科数学试题）函数的导函数为（

）A． B．C． D．例6．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）求下列已知函数的导函数(1)(2)(3)(4)练习11．（2023春·江西·高三校联考期中）求下列函数的导数：(1)；(2).练习12．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）下列导数运算正确的是（

）A． B．C． D．练习13．（2023春·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知函数，则________.练习14．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）（多选）下列求导运算错误的是（

）A． B．C． D．练习15．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）函数的导函数的定义域为__________.题型四 求曲线切线的斜率（倾斜角）例7．（山东省菏泽市2022-2023学年高三下学期期中数学试题）正弦曲线在点处的切线斜率是（

）A． B． C． D．例8．（江苏省无锡市四校2022-2023学年高三下学期期中联考数学试题）已知函数与的部分图象如图所示，则（

）A． B．C． D．练习16．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．练习17．（2023春·山东淄博·高三沂源县第一中学校考期中）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．练习18．（2023春·江西·高三校联考期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．练习19．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（

）A． B． C． D．练习20．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．题型五 曲线上一点处的切线问题例9．（辽宁省锦州市辽西育明高级中学2022-2023学年高三下学期期中数学试题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．例10．（四川省成都市蓉城高中联盟2022-2023学年高三下期期中考试理科数学试题）已知，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．练习21．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．练习22．（2023春·江苏无锡·高三江阴市华士高级中学校联考期中）已知函数，则在处的切线方程为_______．练习23．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（

）A． B．2 C．±2 D．练习24．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数在点处的切线方程为______________．练习25．（2023·浙江·校联考模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为__________．题型六 过一点的切点问题例11．（天津市南开大学附属中学2022-2023学年高三下学期阶段检测数学试题）曲线过点的切线方程为______________________.例12．已知经过点的两条直线，均与曲线相切，若直线的方程为，则m的值为______，直线的方程为______．练习26．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.练习27．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程________．练习28．（2023·海南海口·校联考模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．练习29．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）过点且与曲线相切的直线的方程为（

）A． B． C． D．练习30．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则切线的条数为_______________．题型七 已知切线（斜率）求参数例13．（2023·广西·统考模拟预测）已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为________.例14．（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（

）A．0 B． C． D．练习31．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知曲线在点P处的切线与直线垂直，则P点的横坐标为___________.练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（

）A．， B．，C．， D．，练习33．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知直线是曲线的切线，则（

）A． B．1 C． D．2练习34．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）（多选）已知点不在函数的图象上，且过点能作两条直线与的图象相切，则的取值可以是（

）A． B． C．0 D．练习35．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________.题型八 两切线的平行、垂直问题例15．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知曲线，过曲线上A，B两点分别作曲线的切线交于点P，AP⊥BP．记A，B两点的横坐标分别为，则（

）A． B．1 C． D．2例16．（2022秋·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，曲线上存在分别以和为切点的两条互相平行的切线，求的最大值.练习36．（2022秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习）已知曲线y＝存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数：_______.练习37．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则（

）A．有两个零点 B．过坐标原点可作曲线的切线C．有唯一极值点 D．曲线上存在三条互相平行的切线练习38．（2023春·安徽·高三安徽省太和中学校联考阶段练习）（多选）若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则实数的值可以是（

）A． B．1 C．2 D．3练习39．（2022春·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）已知函数，若f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则a的值可以是（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1练习40．（2023·高三校考课时练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．时， B．在定义域内单调递增时，C．时，有极值 D．时，的图象存在两条相互垂直的切线题型九 公切线问题例17．（2023春·四川绵阳·高三校考期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（

）A．2 B．3 C．1 D．1.5例18．（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）若存在斜率为3a（a>0）的直线l与曲线与都相切，则实数b的取值范围为（

）A． B． C． D．练习41．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）已知两曲线和都经过点，且在点处有公切线，试求、、的值．练习42．（2023春·江苏南京·高三江苏省溧水高级中学校考期中）已知直线是曲线与的公切线，则________.练习43．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）写出曲线与曲线的公切线的一个方向向量______.练习44．（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为__________.练习45．（2023·湖北·统考模拟预测）（多选）若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（

）A．0 B． C． D．

专题4.1导数的运算及几何意义题型一平均变化率和瞬时变化率题型二导数的定义运算题型三导数的四则运算和复合函数求导题型四求曲线切线的斜率（倾斜角）题型五曲线上一点处的切线问题题型六过一点的切点问题题型七已知切线（斜率）求参数题型八两切线的平行、垂直问题题型九公切线问题题型一 平均变化率和瞬时变化率例1．（北京市第十四中学2022-2023学年高二下学期期中测试数学试题）下图是函数的图象，函数在区间，上的平均变化率分别为，，则，的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】根据平均变化率定义直接计算即可.【详解】由题可知，，，所以.故选：B例2．（福建省2022-2023学年高三下学期质优生“筑梦”联考数学试题）某铁球在时，半径为.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由球的体积公式可得，求导即可得到结果.【详解】由题意可得，当温度为时，铁球的半径为，其体积，求导可得，当时，，所以在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为.故选:D练习1．（2023春·江西·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平均速度的定义和两点求斜率公式，可得平均速度为经过两点所对应直线的斜率，结合图形即可求解.【详解】由题意知，汽车在时间的平均速度大小分别为，设路程y与时间t的函数关系为，则，即为经过点的直线的斜率，同理为经过点的直线的斜率，为经过点的直线的斜率，为经过点的直线的斜率，如图，由图可知，最小，即最小.故选：C.练习2．（2023春·贵州·高三校联考期中）函数在区间上的平均变化率为（

）A．2 B．6 C．12 D．48【答案】C【分析】根据平均变化率的计算公式，结合函数的解析式，准确计算，即可求解.【详解】根据平均变化率的计算公式，可得函数在区间的平均变化率为：.故选：C.练习3．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似满足函数关系式：，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位：）．(1)求，并解释其实际意义；(2)蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻是多少（精确到）？【答案】(1)，实际意义见解析；(2).【分析】（1）求出的导数，代入可求，根据导数的几何意义解释其实际意义；（2）求解即可.【详解】（1），则，表示太阳落山后，蜥蜴的体温下降的速度为.（2）令，解得,故蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻是.练习4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图，从上端口往一高为H的水缸匀速注入水，水注满所用时间为T.若当水深为h时，水注入所用时间为t，则函数的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将容器看做一个球体，根据的实际意义求解.【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的时间，高度的变化较大，即较大，即函数的导数值较大，到水注入球体的一半时，由于球体的截面积较大，的变化率较小，接近于球体的顶端时，的变化率又较大；故选：D.练习5．（2023春·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）若小球自由落体的运动方程为（g为常数），该小球在到的平均速度为，在的瞬时速度为，则和的大小关系为________（填“”，“”或“”）【答案】【分析】根据给定条件，利用平均速度和瞬时速度的意义，求出和即可作答.【详解】小球自由落体的运动方程为，求导得，则小球在到的平均速度，在的瞬时速度，所以.故答案为：题型二 导数的定义运算例3．（江西省部分学校2022-2023学年高三下学期4月期中联考数学试题）已知，则（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】利用导数的定义式以及极限的性质可求答案.【详解】.故选：D.例4．若在处可导，则可以等于（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断得出结果.【详解】由导数定义，对于A，，A满足；对于B，，，B不满足；对于C，，，C不满足；对于D，，，D不满足.故选：A.练习6．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）设函数，则（

）A．3 B． C． D．0【答案】A【分析】根据导数的定义以及导数运算公式求解.【详解】因为，因为，所以，所以，故选:A.练习7．（2023春·四川达州·高三校考期中）已知函数，则________．【答案】/0.5【分析】根据导函数的定义及求导公式求出答案.【详解】由题意知，.故答案为：练习8．（2023·高三课时练习）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可.【详解】依题意可知切点，函数的图象在点处的切线方程是，，即又即故选：D.练习9．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数在处可导，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据导数的定义可得，再根据极限的性质计算可得.【详解】因为函数在处可导，且，所以，所以.故选：C练习10．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）计算：（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】变换得到，计算得到答案.【详解】设则.故选：D.题型三 导数的四则运算和复合函数求导例5．（四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三下学期期中联考理科数学试题）函数的导函数为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.【详解】函数，求导得.故选：D例6．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）求下列已知函数的导函数(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可逐一求解.【详解】（1）（2）（3）（4）练习11．（2023春·江西·高三校联考期中）求下列函数的导数：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用商的求导法则可得答案；（2）利用积的求导法则以及复合函数求导法则可得答案.【详解】（1）；（2）.练习12．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）下列导数运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导数公式判断各项正误即可.【详解】由，，，，所以A、B、D错，C对.故选：C练习13．（2023春·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知函数，则________.【答案】1【分析】求解导函数，即可得，于是可得函数解析式，从而可求解的值.【详解】已知函数，则，所以则，故.故答案为：.练习14．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）（多选）下列求导运算错误的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，，故C错误，对于D，，故D错误，故选：ACD练习15．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）函数的导函数的定义域为__________.【答案】【分析】确定函数定义域，再求导确定导函数定义域得到答案.【详解】，函数定义域为，，导函数需满足，综上所述：导函数定义域为.故答案为：.题型四 求曲线切线的斜率（倾斜角）例7．（山东省菏泽市2022-2023学年高三下学期期中数学试题）正弦曲线在点处的切线斜率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数的几何意义可求得切线的斜率.【详解】对函数求导得，所以，正弦曲线在点处的切线斜率是.故选：B.例8．（江苏省无锡市四校2022-2023学年高三下学期期中联考数学试题）已知函数与的部分图象如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数的几何意义直接判断.【详解】由图可知，与在区间上单调递增，所以，.在区间上，的图象比的图象更陡峭，所以，.故选：B.练习16．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由图象的变化趋势，结合导数的几何意义有，即可得结果.【详解】由图知：，即.故选：A.练习17．（2023春·山东淄博·高三沂源县第一中学校考期中）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.【详解】，由导数的几何意义可知，.故选：A练习18．（2023春·江西·高三校联考期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件作出切线，利用导数的几何意义及斜率的定义即可求解.【详解】依次作出函数在处的切线，如图所示根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，．故选：B.练习19．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的导数，利用均值不等式求出切线斜率的取值范围即可计算作答.【详解】函数的定义域是R，求导得：函数，而，则曲线在点处的切线的斜率，当且仅当，即，时取“=”，而，于是得，又，因此，，所以的取值范围是.故选：A练习20．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数的几何意义求出，然后利用二倍角公式及弦切互化计算即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：D题型五 曲线上一点处的切线问题例9．（辽宁省锦州市辽西育明高级中学2022-2023学年高三下学期期中数学试题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后由点斜式求出切线方程即可.【详解】，，，曲线在点处的切线方程为，即.故选：B.例10．（四川省成都市蓉城高中联盟2022-2023学年高三下期期中考试理科数学试题）已知，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求导，得到即切线的斜率，然后根据点斜式写出直线方程.【详解】，，即切线的斜率为，又，切线方程为，即.故选：A练习21．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据导数的几何含义求出切线的斜率及切点，写出切线方程.【详解】已知，∵，∴，又，∴切线过，∴所求切线为，即，故选：A.练习22．（2023春·江苏无锡·高三江阴市华士高级中学校联考期中）已知函数，则在处的切线方程为_______．【答案】【分析】直接求导得，代入则可解出，则得到函数方程，则求出切点坐标，即可得到直线方程.【详解】，令，，解得，则，则，则在处的切线方程为，即.故答案为：.练习23．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（

）A． B．2 C．±2 D．【答案】D【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点坐标，再根据面积列式可求出结果.【详解】因为，所以.因为，所以的图象在处的切线方程为.因为切线与坐标轴能围成三角形，所以，令，得，令，得，所以，所以.故选：D练习24．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数在点处的切线方程为______________．【答案】【分析】根据求出切点的坐标，由得出在该点处切线的斜率，根据点斜式即可写出切线方程．【详解】由得，即切点坐标为，，则，所以在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线方程为，即，故答案为：．练习25．（2023·浙江·校联考模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为__________．【答案】【分析】求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.【详解】因为，则，所以，，，所以，函数的图象在点处的切线方程为，即.故答案为：.题型六 过一点的切点问题例11．（天津市南开大学附属中学2022-2023学年高三下学期阶段检测数学试题）曲线过点的切线方程为______________________.【答案】【分析】求出导函数，设切点为，表示出切线方程，由切线过点，代入求出，再代入即可.【详解】因为，所以，设切点为，则，所以切线方程为，又切线过点，所以，解得，所以切线方程为即.故答案为：例12．已知经过点的两条直线，均与曲线相切，若直线的方程为，则m的值为______，直线的方程为______．【答案】2【分析】本题是求过一点的切线方程问题，先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义知函数在切点处的导数值是切线的斜率，从而列出方程，进而可求解.【详解】设直线与曲线相切于点．因为，又由题意得切线的斜率，即．由直线的斜率为0，得的一个解为0，所以m的值为2，故，解得另一个解为，则此时，故直线的方程为，即．故答案为：2；.练习26．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.【答案】或【分析】设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入，即可求得本题答案.【详解】由可得，设切点坐标为，所以切线斜率，又因为，则切线方程为，把代入并整理可得，解得或.故答案为：或练习27．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程________．【答案】【分析】设切点坐标为，求出切线方程，代入点求出，从而可得切线方程.【详解】设切点坐标为，由，得，所以曲线在点处的切线方程为.因为切线过点，所以，解得.所以切线方程为.故答案为:.练习28．（2023·海南海口·校联考模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．【答案】，，，只需写出一个答案即可【分析】设切点为，利用导数求切线方程，代入一点，关于的方程没有实数解，由判别式解不等式求整数的值.【详解】设切点为，因为，所以切线方程为．因为切线经过点，所以，由题意关于的方程没有实数解，则，解得．因为为整数，所以的取值可能是，，.故答案为：，，，只需写出一个答案即可练习29．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）过点且与曲线相切的直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】设过点的切线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出，即可得解.【详解】设过点的切线与曲线相切于点，因为，则曲线在点处的切线斜率为，所以切线方程为，因为切线过点，所以，解得或，故切线方程为或.故选：BC.练习30．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则切线的条数为_______________．【答案】1【分析】分与两种情况，设出切点，写出切线方程，将代入，求出相应答案.【详解】当时，，设切点为，，其中，故过的切线方程为，将代入，可得，解得，满足要求，当时，，设切点为，，其中，故过的切线方程为，将代入，可得，解得，不合要求，舍去；故答案为：1题型七 已知切线（斜率）求参数例13．（2023·广西·统考模拟预测）已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为________.【答案】【分析】根据导数的几何意义求导列式得，即可实数的值.【详解】因为，所以，则，则，解得.故答案为：.例14．（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根据导数的几何意义可得，求解即可.【详解】由且x不为0，得设切点为，则，即，所以，可得.故选：C练习31．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知曲线在点P处的切线与直线垂直，则P点的横坐标为___________.【答案】【分析】由题设知P处的切线斜率为，应用导数几何意义列方程求P点的横坐标.【详解】由题设在P处的切线斜率为，而，所以，则，即.故答案为：练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由可知切线的斜率为，所以切线方程为，又切线方程为，比较系数可得a，b的值．【详解】因为，切点为(0,)，所以切线的斜率为，则切线方程为，即，又切线方程为，即，所以，.故选：D练习33．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知直线是曲线的切线，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答.【详解】函数，求导得，令直线与曲线相切的切点为，于是且，所以.故选：B练习34．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）（多选）已知点不在函数的图象上，且过点能作两条直线与的图象相切，则的取值可以是（

）A． B． C．0 D．【答案】AB【分析】由题意切点为，利用导数的几何意义可得求出切线方程，代入点，可得，构造函数，将原问题转化为函数图象的交点个数问题，利用导数求得函数最值，作出函数图象，数形结合，即可求解.【详解】由题意知，过点作直线与的图象相切，设切点为，则切线斜率为，则切线方程为，将点代入，即，即，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，当时；当时；，作出的大致图象如图：由点不在函数的图象上，且过点能作两条直线与的图象相切，可知，且有两个解，即的图象和有2个交点，故，则a的取值可以为.故选：AB.练习35．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】设切点为，利用导数几何意义写出过的切线方程，进而有有三个不同值，即与有三个不同交点，导数研究的极值，即可求参数范围.【详解】由，设切点为，则切线斜率为，所以，过的切线方程为，综上，，即，所以有三个不同值使方程成立，即与有三个不同交点，而，故、上，递减，上，递增；所以极小值为，极大值为，故时两函数有三个交点，综上，的取值范围是.故答案为：题型八 两切线的平行、垂直问题例15．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知曲线，过曲线上A，B两点分别作曲线的切线交于点P，AP⊥BP．记A，B两点的横坐标分别为，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】分段求出函数的导数，利用导数的几何意义结合垂直关系求解作答.【详解】当时，，当时，，依题意，曲线在点A，B处的切线互相垂直，则在1的两侧，不妨令，因此，解得.故选：B例16．（2022秋·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，曲线上存在分别以和为切点的两条互相平行的切线，求的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）由题意知，化简得，则，令，利用导数求出其最小值，从而可求出的最大值.（1）当时，，，因为，所以，即，所以曲线在处的切线方程为，即；（2）由题意知，，即，整理得，因为，所以，所以，令，则，因为，所以，所以在上单调递增，即，所以，即所以的最大值为.练习36．（2022秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习）已知曲线y＝存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数：_______.【答案】（答案不唯一）【分析】直接根据导数的几何意义即可得结果.【详解】两条切线互相平行应先满足在切点处的导数值相等，练习如，，，，此时，，函数在处的切线方程为：；函数在处的切线方程为：；合乎题意，故答案为：（答案不唯一）练习37．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则（

）A．有两个零点 B．过坐标原点可作曲线的切线C．有唯一极值点 D．曲线上存在三条互相平行的切线【答案】ACD【分析】利用导数研究函数的极值，结合零点的定义即可判断A；利用反证法，根据直线的点斜式方程求出切线方程，即可判断B；利用二次求导研究函数的极值，结合零点的定义即可判断C；利用函数的零点个数与方程的根个数、函数图象交点个数的关系，结合选项C即可判断D.【详解】A：，对于函数，令，令或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，则函数在，处分别取极大值和极小值，由，知只有一个零点，所以有两个零点，故A正确；B：假设B成立，设切点坐标为，切线方程为，即，∴，但显然，故B错误；C：，令，令或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，∴函数在处分别取到极大值和极小值，由知只有一个零点，有一个极值点，故C正确；D：若D正确，则存在实数m使得有三个不同的根，即函数与图象有3个交点，由选项C可知，，故D正确.故选：ACD.练习38．（2023春·安徽·高三安徽省太和中学校联考阶段练习）（多选）若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则实数的值可以是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】AB【分析】将切线垂直，转化为斜率乘积为，然后利用导数的几何意义即可求出的范围.【详解】因为函数，所以，当且仅当，即时，等号成立，因为函数的图象上，不存在互相垂直的切线，所以，即，解得.故选：AB练习39．（2022春·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）已知函数，若f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则a的值可以是（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1【答案】AB【分析】由题可得：，利用基本不等式可得：，由条件知，即可得出答案.【详解】∵函数，定义域为（0，＋∞），∴，∴，当且仅当时，取等号，要使f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则，所以的值必有一正一负，当时，，易知符合题意，当时，，易知符合题意，当时，，不符题意，当时，，不符题意，所以a的值可以是－4或－3.故选：AB.练习40．（2023·高三校考课时练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．时， B．在定义域内单调递增时，C．时，有极值 D．时，的图象存在两条相互垂直的切线【答案】ABD【分析】对函数求导得，A代入自变量求参数值即可；B由在上恒成立，求范围即可；C判断时的符号即可；D利用导数研究的单调性及值域，判断定义域内是否存在即可.【详解】由题设，函数定义域为，且，A：，则，正确；B：在定义域上递增，即在上恒成立，只需，而在上的最大值为，故，正确；C：由B分析知：当时恒成立，此时无极值，错误；D：令，则，当时，递减；当时，递增；又，故，趋向于0或正无穷时都趋向于正无穷，所以上各有一个零点，故上，上，