（圆梦高考数学）专题3.1 函数的概念及其表示（含答案及解析）

专题3.1函数的概念及其表示题型一已知函数解析式求定义域题型二识别函数及相同函数题型三抽象函数的定义域题型四待定系数法求解析式题型五换元法求解析式题型六赋值思想求解析式题型七单调性法求函数的值域与最值题型八基本不等式法求函数的值域与最值题型九分离变量法求函数的值域与最值题型十分段函数求自变量或函数值题型十一分段函数及图象的应用题型一 已知函数解析式求定义域例1．（2023·河北·统考模拟预测）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．例2．（2023春·江西·高一校联考期中）函数的定义域为______.练习1．（2022秋·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）函数的定义域为（

）A． B．C． D．练习2．（2023·北京朝阳·二模）函数的定义域为________.练习3．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）求函数的定义域为__________________.练习4．（2023春·广东河源·高三龙川县第一中学校考期中）求函数的定义域为_________．练习5．（2022秋·高三单元测试）函数的定义域为________．题型二 识别函数及相同函数例3．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）下列各图中，不可能是函数图象的是（

）A．B． C． D．例4．（2022秋·山东东营·高三利津县高级中学校考阶段练习）下列四组函数中与是同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，练习6．（2022秋·浙江舟山·高三舟山中学校考阶段练习）设集合，，则下列图象能表示集合到集合且集合Q为值域的函数关系的有（

）A． B．C． D．练习7．（2023春·福建莆田·高三校考期中）下列选项中，表示的不是同一个函数的是（

）A．与B．与C．与D．与练习8．（2022秋·黑龙江鸡西·高一校考阶段练习）对于函数若，则下列说法正确的个数为（

）①②有且只有一个

③若，则④若，则A．4 B．3 C．2 D．1练习9．（2021秋·广西崇左·高三崇左高中校考期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（

）A． B． C． D．练习10．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第六中学校考阶段练习）（多选）下列对应法则满足函数定义的有（

）A． B．C． D．题型三 抽象函数的定义域例5．（2022秋·高三单元测试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．例6．已知函数的定义域为，求函数的定义域.练习11．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（

）A．， B．，C．， D．，练习12．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（

）A． B． C． D．练习14．（2022秋·四川·高三四川省平昌中学校考阶段练习）函数的定义域为，则的定义域为________.练习15．（2022秋·高三课时练习）已知的定义域为，求的定义域.题型四 待定系数法求解析式例7．（2022秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）二次函数满足，且.(1)求的解析式；(2)求在上的最小值.例8．（2022秋·高三课时练习）已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝3x+2，则f（x）的解析式为_________练习16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，练习17．（2021秋·高三课时练习）某企业生产某种产品时的能耗y与所生产的产品件数x之间的关系式为，其中，当时，；当时，，且此产品生产件数不超过20．则y关于x的解析式为______________．练习18．（2020秋·云南昆明·高三校考期中）已知为一次函数，且，则的值为_______．练习19．（2022秋·四川·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知函数为一次函数，若，(1)求的解析式；(2)若为定义在R上的增函数，且，.求的最值.练习20．已知函数，且.(1)求的解析式；(2)求在区间上的取值范围.题型五 换元法求解析式例9．（2023·全国·模拟预测）已知，则______．例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数_______，=_______．练习21．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则（

）A．3 B． C． D．练习22．（2022·全国·高三专题练习）已知，则__．练习23．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知函数，若，则a＝__________．练习24．（2022秋·江西上饶·高三校考期中）已知函数，则__________练习25．（2023秋·四川成都·高三校考期末）已知，则______．题型六 赋值思想求解析式例11．（2023春·云南文山·高三校联考期中）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（

）A． B． C． D．例12．（2022秋·高三课时练习）已知函数为奇函数，为偶函数，，则________；______.练习26．（2023·重庆·二模）已知对任意的实数a均有成立，则函数的解析式为________．练习27．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）函数满足，则_________.练习28．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，则___________.练习29．（2022秋·浙江温州·高一温州中学校考期中）已知奇函数和偶函数满足.(1)求和的解析式；(2)若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围.练习30．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，则___________.题型七 单调性法求函数的值域与最值例13．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知集合，，则等于（

）A． B．C． D．例14．（2023秋·广东湛江·高三雷州市第一中学校考期末）若定义运算，则函数的值域是___________.练习31．（2023·河北·高二统考学业考试）已知函数，则的最小值是（

）A． B．0 C．1 D．2练习32．（2023春·湖北咸宁·高三校考开学考试）当时，函数的值域是（）A． B． C． D．练习33．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高三校考期末）函数（）在上的最大值是（

）．A．0 B．1 C．3 D．a练习34．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________练习35．（2022秋·新疆·高三乌鲁木齐市第70中校考期中）若函数的值域是，则实数的取值范围是__．题型八 基本不等式法求函数的值域与最值例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．例16．（2023·全国·高三专题练习）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.练习36．（2022秋·湖南怀化·高三校联考期末）若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．练习37．（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）已知为奇函数.求的值及的最大值；练习38．已知是奇函数．(1)求的值；(2)求的值域．练习39．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考阶段练习）已知函数．(1)求关于的不等式的解集；(2)若，求函数在上的最小值．练习40．（2023秋·广东河源·高三龙川县第一中学统考期末）求函数的值域．题型九 分离变量法求函数的值域与最值例17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期中）函数的值域为（

）A． B．C． D．例18．（2021·高三课时练习）函数的值域为__．练习41．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________练习42．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）（多选）已知函数，则（

）．A．的值域是 B．的定义域为C． D．练习43．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的定义域为 B．函数的值域为C．函数是奇函数 D．函数在上为减函数练习44．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十八中学校考阶段练习）（多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（

）A． B． C． D．0练习45．（2023·高三课时练习）函数的定义域是______，值域是______．题型十 分段函数求自变量或函数值例19．（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）已知函数，若，则实数的值是（

）A．或5 B．3或 C．5 D．3或或5例20．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数，则___________．练习46．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数若，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．3练习47．（2022秋·贵州毕节·高三统考期末）已知函数，则函数的所有零点之和为___________．练习48．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知函数，则________．练习49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则______练习50．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数，则______.题型十一 分段函数及图象的应用例21．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是______.例22．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知函数在是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．练习51．（2023·北京东城·统考二模）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．练习52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．练习53．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）设函数若存在最小值，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．练习54．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）设函数存在最小值，则的取值范围是________.练习55．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）设函数．①若，则函数的值域为________；②若在R上是增函数，则的值可以是________．（写出符合条件的一个值）

专题3.1函数的概念及其表示题型一已知函数解析式求定义域题型二识别函数及相同函数题型三抽象函数的定义域题型四待定系数法求解析式题型五换元法求解析式题型六赋值思想求解析式题型七单调性法求函数的值域与最值题型八基本不等式法求函数的值域与最值题型九分离变量法求函数的值域与最值题型十分段函数求自变量或函数值题型十一分段函数及图象的应用题型一 已知函数解析式求定义域例1．（2023·河北·统考模拟预测）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由定义域得到，从而求出补集.【详解】由题意得，，解得，因为，所以，故．故选：A．例2．（2023春·江西·高一校联考期中）函数的定义域为______.【答案】【分析】根据代数式有意义，可得，进而结合正切函数的图象及性质和一元二次不等式求解即可.【详解】由，解得，所以，即函数的定义域为.故答案为：.练习1．（2022秋·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的具体形式，直接列式求函数的定义域.【详解】根据函数形式可知，函数的定义需满足，解得：且，所以函数的定义域为.故选：B练习2．（2023·北京朝阳·二模）函数的定义域为________.【答案】【分析】解不等式即可得函数的定义域.【详解】令，可得，解得.故函数的定义域为.故答案为:.练习3．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）求函数的定义域为__________________.【答案】【分析】根据对数以及根式的性质，转化成三角函数的不等式，由三角函数的性质即可求解.【详解】的定义域需要满足，即，所以，其中，即，故答案为：.练习4．（2023春·广东河源·高三龙川县第一中学校考期中）求函数的定义域为_________．【答案】【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.【详解】函数有意义，则，即，解，得，解，得，于是，所以所求定义域为.故答案为：练习5．（2022秋·高三单元测试）函数的定义域为________．【答案】【分析】根据根式的性质有，利用指数函数的单调性解不等式求定义域即可.【详解】由题设，即，所以，可得，故函数定义域为.故答案为：题型二 识别函数及相同函数例3．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）下列各图中，不可能是函数图象的是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义，可得答案.【详解】对于C，当时，任意对应两个，显然C错误.故选：C.例4．（2022秋·山东东营·高三利津县高级中学校考阶段练习）下列四组函数中与是同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据函数的定义域、对应关系等知识确定正确答案.【详解】A选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数.B选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数.C选项，，两个函数定义域、值域、对应关系完全相同，是同一函数.D选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数.故选：C练习6．（2022秋·浙江舟山·高三舟山中学校考阶段练习）设集合，，则下列图象能表示集合到集合且集合Q为值域的函数关系的有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知结合函数的定义分别检验各选项即可判断.【详解】对于,由函数的定义知的定义域不是，不符合题意；对于,的值域不是，不符合题意；对于,中集合中有的元素在集合中对应两个函数值,不符合函数定义;对于,能表示集合到集合的函数关系.故选:.练习7．（2023春·福建莆田·高三校考期中）下列选项中，表示的不是同一个函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】D【分析】分别判断函数的定义域和对应关系，判断两个函数是否是同一函数.【详解】对于A选项，的定义域是，解得：，所以的定义域是，的定义域是，解得：，所以的定义域是，并且，所以两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以是同一函数；对于B选项，，，两个函数的定义域相同，都是，对应法则也相同，所以是同一函数；对于C选项，两个函数的定义域相同，当与时，，故两个函数对应法则也相同，所以是同一函数；对于D选项，的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：D练习8．（2022秋·黑龙江鸡西·高一校考阶段练习）对于函数若，则下列说法正确的个数为（

）①②有且只有一个

③若，则④若，则A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据函数的基本概念判断即可.【详解】解：对于函数，若，，则根据函数的定义可得，且唯一；故有若，有，故①②④正确；若，则不一定，如，则，但，故③错误；故说法正确的个数为3.故选：B.练习9．（2021秋·广西崇左·高三崇左高中校考期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出函数的定义域，进而将函数的解析式化简，最后得到答案.【详解】由题意，，则函数的定义域为，所以，所以与是同一函数的是.故选：A.练习10．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第六中学校考阶段练习）（多选）下列对应法则满足函数定义的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用换元法结合函数的定义逐项分析判断.【详解】对A：令，则或，∴对于自变量对应两个函数值、，A错误；对B：令，则，，∴对于自变量对应唯一的函数值，B正确；对C：令，则或，∴对于自变量对应两个函数值、，C错误；对D：令，即，则，即，∴对于自变量对应唯一的函数值，D正确；故选：BD.题型三 抽象函数的定义域例5．（2022秋·高三单元测试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】定义域为的取值范围，结合同一对应法则下括号内范围相同，求出答案.【详解】由题意得，故，故函数的定义域为.故选：D例6．已知函数的定义域为，求函数的定义域.【答案】【分析】根据抽象函数的定义域求法即可解决【详解】∵函数的定义域为∴，解之得：故函数的定义域为：练习11．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据复合函数的定义域和值域求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以，所以，所以函数的定义域.将函数的图象向左平移2个单位，可得的图象，故其值域不变．故选：D.练习12．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.【详解】函数的定义域为，则，因此在中，，函数有意义，必有，解得，所以函数的定义域为.故选：C练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，对于函数，则有，解得或.因此，函数的定义域为.故选：A.练习14．（2022秋·四川·高三四川省平昌中学校考阶段练习）函数的定义域为，则的定义域为________.【答案】【分析】根据抽象函数的定义域求的定义域即可.【详解】由于函数的定义域为，则，所以函数的定义域为，则函数中，所以，即的定义域为.故答案为：.练习15．（2022秋·高三课时练习）已知的定义域为，求的定义域.【答案】【分析】令，，根据二次函数的性质求出的范围，即可得的定义域.【详解】解：令，，由二次函数的性质可得，所以的定义域为.题型四 待定系数法求解析式例7．（2022秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）二次函数满足，且.(1)求的解析式；(2)求在上的最小值.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）设，由得，由，得，解方程组求出，的值，从而求出函数的解析式；（2）对讨论，注意对称轴和区间的关系，由单调性即可得到最小值．【详解】（1）解：设，因为，所以，即，根据，即，解得，，所以；（2）解：函数，其对称轴为，当即时，区间为减区间，最小值为；当，即时，取得最小值1；当，即时，区间为增区间，取得最小值．综上可得时，最小值为；时，最小值为1；时，最小值为．例8．（2022秋·高三课时练习）已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝3x+2，则f（x）的解析式为_________【答案】或【分析】设出一次函数解析式，化简，结合函数相等可得答案.【详解】设，则于是有解得或所以或.故答案为：或.练习16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由函数在定义域上单调递增，可得，排除A，C；代入,得，从而得答案.【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，所以，排除A，C；又因为函数过点,所以，解得．故选：D练习17．（2021秋·高三课时练习）某企业生产某种产品时的能耗y与所生产的产品件数x之间的关系式为，其中，当时，；当时，，且此产品生产件数不超过20．则y关于x的解析式为______________．【答案】（，且）【分析】根据已知条件将两组值代入得到二元一次方程组，求解a，b的值，得到函数解析式，并根据应用条件写出定义域的范围即可.【详解】由题意知，即，解得，所以所求函数的解析式为（，且）．练习18．（2020秋·云南昆明·高三校考期中）已知为一次函数，且，则的值为_______．【答案】【分析】设，代入已知关系式可构造方程组求得解析式，代入即可得到结果.【详解】为一次函数，可设，，，解得：或，或，.故答案为：.练习19．（2022秋·四川·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知函数为一次函数，若，(1)求的解析式；(2)若为定义在R上的增函数，且，.求的最值.【答案】(1)或(2)最小值，无最大值【分析】（1）设(a)，可得，进而可得解；（2）由条件得，利用，结合基本不等式即可得解.【详解】（1）设(a)，∴，即，∴且，解得：或∴或（2）∵为R上的增函数，∴∴∴当且仅当，即时取“=”

∴有最小值，无最大值.练习20．已知函数，且.(1)求的解析式；(2)求在区间上的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求解作答.（2）利用二次函数的单调性，求出函数在给定区间上的最值作答.【详解】（1）函数，且，则，解得，有，所以的解析式是.（2）由（1）知，，函数在上单调递减，在上单调递增，因此，而，则，所以在区间上的取值范围是.题型五 换元法求解析式例9．（2023·全国·模拟预测）已知，则______．【答案】/2.5【分析】根据函数解析式，令，得，代入函数解析式计算即可求解.【详解】由题意得，，令，由，得，∴．故答案为：.例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数_______，=_______．【答案】11【分析】利用换元法可求出，进一步可得.【详解】令，则，所以，所以，所以.故答案为：；.练习21．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】应用换元法求函数解析式即可.【详解】因为,,则设即则,即所以故选:.练习22．（2022·全国·高三专题练习）已知，则__．【答案】【分析】先令括号里1t，求出的范围，将用表示，求出的解析式，最后在将换成即可．【详解】设（），则，，（），则.故答案为：练习23．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知函数，若，则a＝__________．【答案】【分析】先用换元法求得函数，然后结合对数的计算，即可求解.【详解】解：根据题意，设，则，故．若，则，解得．故答案为：练习24．（2022秋·江西上饶·高三校考期中）已知函数，则__________【答案】【分析】令，可得，代入可得出的表达式，即可得出函数的解析式.【详解】令，可得，由可得，因此，.故答案为：.练习25．（2023秋·四川成都·高三校考期末）已知，则______．【答案】，【分析】用换元法求解函数解析式．【详解】令，其中，则，即故答案为：，．题型六 赋值思想求解析式例11．（2023春·云南文山·高三校联考期中）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用方程组法求解析式即可.【详解】由，可得①，又②，①＋②得：，解得，故选：A．例12．（2022秋·高三课时练习）已知函数为奇函数，为偶函数，，则________；______.【答案】【分析】根据奇偶性定义，结合已知等式可构造方程组求得结果.【详解】为奇函数，为偶函数，，，由得：，.故答案为：；.练习26．（2023·重庆·二模）已知对任意的实数a均有成立，则函数的解析式为________．【答案】【分析】先利用方程组思想结合诱导公式求出或，再利用换元法即可得解，注意函数的定义域.【详解】由，①得，即，②得：，所以，令，则，所以.故答案为：.练习27．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）函数满足，则_________.【答案】【分析】利用构造法，整理函数解析式，代值可得答案.【详解】由题意，建立，消去可得：，整理可得，则.故答案为：.练习28．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，则___________.【答案】【分析】利用方程组法求函数解析式，将换成，两式联立即可求解.【详解】因为定义在上的函数满足，将换成可得：，将其代入上式可得：，所以，故答案为：.练习29．（2022秋·浙江温州·高一温州中学校考期中）已知奇函数和偶函数满足.(1)求和的解析式；(2)若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)，；(2).【分析】(1)根据已知条件再用－x替换x再构造一个关于、的方程，与已知方程联立即可求得答案；(2)设A=，B=，由题可知A，列出不等式组即可求出k的范围．【详解】（1）由题可知，，，，①故，即，②①和②联立解得，，；（2）设A=，令，则化为，易知在上单调递增，故，，故；设B=，令，则化为，易知在单调递增，故，则时，．若对于任意的，存在，使得，则A，则显然k＞0，则B=，则，则，解得．练习30．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，则___________.【答案】【分析】分别令，，可构造方程组求得结果.【详解】令，则；令，则；由得：.故答案为：.题型七 单调性法求函数的值域与最值例13．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知集合，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对数函数的单调性解出集合A，根据指数函数的性质解得集合B，结合交集的概念和运算即可求解.【详解】由，得，解得，即，由，得，即，所以.故选：A.例14．（2023秋·广东湛江·高三雷州市第一中学校考期末）若定义运算，则函数的值域是___________.【答案】【分析】根据给定的定义，求出函数的解析式，再分段求出值域作答.【详解】依题意，由，得，即，解得，由解得，因此，显然函数在上单调递减，取值集合为，在上单调递增，取值集合是，所以函数的值域为.故答案为：练习31．（2023·河北·高二统考学业考试）已知函数，则的最小值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】求时函数的最小值及时函数的最小值，最后两个最小值比较，谁最小即为函数的最小值.【详解】当时，函数在上单调递减，所以当时，函数有最小值为，当时，函数在上单调递增，所以，综上，当时，函数有最小值为1.故选：C练习32．（2023春·湖北咸宁·高三校考开学考试）当时，函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性得出值域.【详解】因为指数函数在区间上是增函数，所以，于是，即所以函数的值域是.故选：C.练习33．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高三校考期末）函数（）在上的最大值是（

）．A．0 B．1 C．3 D．a【答案】C【分析】根据对数的单调性，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】因为，所以该函数是单调递增函数，所以，故选：C练习34．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________【答案】【分析】根据二次函数的单调性直接求解即可.【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，，的值域为.故答案为：.练习35．（2022秋·新疆·高三乌鲁木齐市第70中校考期中）若函数的值域是，则实数的取值范围是__．【答案】【分析】先根据基本不等式求出时的取值范围，然后根据的范围得出在上的单调性，求出值域．根据题意，即可得出答案.【详解】因为函数.当时，有，当且仅当时等号成立.当，即时，有，不满足题意；当，即时，在上单调递减，有，不满足题意；当，即时，在上单调递增，有.要使的值域是，则应有，所以.综上所述，当时，的值域是.故答案为：.题型八 基本不等式法求函数的值域与最值例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为函数为偶函数，则，即，①又因为函数为奇函数，则，即，②联立①②可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为.故选：B.例16．（2023·全国·高三专题练习）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.【答案】【分析】根据奇函数的性质求得，再结合基本不等式求时其的取值范围，再结合奇函数的性质求时函数值的范围，由此可得函数值域.【详解】因为为上的奇函数，所以，所以，又当时，，所以，当且仅当时等号成立，即当时，，因为为上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以时，，所以函数的值域为.故答案为：.练习36．（2022秋·湖南怀化·高三校联考期末）若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令,则，利用基本不等式可以求出结果.【详解】令，由题意可得，，当且仅当，即时等号成立，，所以实数的取值范围为.故选：C.练习37．（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）已知为奇函数.求的值及的最大值；【答案】，【分析】根据奇函数的性质，求出的值，再代入检验，则，利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为定义域为，且为奇函数，所以，所以，当时，所以，符合题意；由，当且仅当，即，等号成立，所以的最大值为.练习38．已知是奇函数．(1)求的值；(2)求的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据奇函数的性质，建立方程，可得答案；（2）利用基本不等式，结合奇函数性质，可得答案.【详解】（1）因为是奇函数，则，所以，可得：，则恒成立，故．（2）由（1）可知，，当时，，当且仅当时，等号成立；又是奇函数，所以的值域为．练习39．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考阶段练习）已知函数．(1)求关于的不等式的解集；(2)若，求函数在上的最小值．【答案】(1)当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为或.(2)【分析】（1）利用一元二次不等式的解法及对参数分类讨论即可求解；（2）根据已知条件及基本不等式即可求解.【详解】（1）由可得，即，当时，不等式，解得，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；综上：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为或.（2）由，得，解得，所以，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，函数在上的最小值为.练习40．（2023秋·广东河源·高三龙川县第一中学统考期末）求函数的值域．【答案】【分析】先转化构造乘积为定值,再分情况应用基本不等式求解即可.【详解】，若，则，∴，当且仅当，即时等号成立．若，则，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的值域为．题型九 分离变量法求函数的值域与最值例17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期中）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据解析式求出定义域,再对函数解析式进行分离常数,最后确定值域即可.【详解】解:由题知,,,,,即值域为.故选:B例18．（2021·高三课时练习）函数的值域为__．【答案】[,2]【分析】先换元令t＝sinx，t∈[-1,1]，再分离常数，然后逐一求式子的范围，即可求函数的值域．【详解】解：令t＝sinx，t∈[-1,1]，所以原式可化为：，∵﹣1≤t≤1，∴2≤t+3≤4，∴，则，∴，函数的值域为．故答案为：．练习41．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________【答案】【分析】采用分离常数的方式可直接求得结果.【详解】，，，，即的值域为.故答案为：.练习42．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）（多选）已知函数，则（

）．A．的值域是 B．的定义域为C． D．【答案】ACD【分析】由分式性质求定义域，分离常量法确定值域，进而得到的对称中心，即可判断C、D正误.【详解】由，则定义域为，值域为，所以是的对称中心，则，综上，A、C、D正确，B错误.故选：ACD练习43．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的定义域为 B．函数的值域为C．函数是奇函数 D．函数在上为减函数【答案】ABC【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可.【详解】A：因为，所以，所以函数的定义域为，故A正确；B：，由，所以函数的值域为，故B正确；C：因为，所以函数是奇函数，所以C正确；D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，所以函数是增函数，故是增函数，故D不正确，故选：ABC.练习44．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十八中学校考阶段练习）（多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（

）A． B． C． D．0【答案】AD【分析】由点在线上得，则，，由复合函数性质逐步讨论值域即可【详解】点在函数的图象上，∴，∴，∵由得，.故选：AD练习45．（2023·高三课时练习）函数的定义域是______，值域是______．【答案】【分析】由题意可得,易得函数的定义域,变形可得,由的范围结合不等式的性质可得值域.【详解】由可得,函数的定义域为,又,，所以函数的值域为；故答案为：；.题型十 分段函数求自变量或函数值例19．（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）已知函数，若，则实数的值是（

）A．或5 B．3或 C．5 D．3或或5【答案】A【分析】根据函数解析式，分别讨论，两种情况，结合题中条件，即可求出结果.【详解】若，则，∴（舍去），若，则，∴，综上可得，或.故选：A．例20．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数，则___________．【答案】/【分析】求得，结合的解析式可求得的值.【详解】因为，且，则.故答案为：.练习46．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数若，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据的范围，即可确定单调范围，进而代入即可分情况求解.【详解】根据题意，当时，，不符合题意；当时，，解得；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意．故选:B．练习47．（2022秋·贵州毕节·高三统考期末）已知函数，则函数的所有零点之和为___________．【答案】【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解．【详解】设，则，①当时，，得；②当时，，得；综上所述：若，则或.故或，则有：①由，可得或，解得或；②由，可得或，解得或；综上所述：函数的所有零点为，，，4.故所有零点的和为．故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据题意分和两种情况讨论，运算求解,练习48．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知函数，则________．【答案】/【分析】根据指对数运算直接运算求解即可.【详解】解：由题知，.故答案为：练习49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则______【答案】或【分析】分、两种情况讨论，利用指数函数的单调性可得出关于实数的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.【详解】当时，函数在内单调递增，此时函数的最大值为，最小值为，由题意得，解得，则，此时；