（圆梦高考数学）专题2.2 基本不等式（含答案及解析）

专题2.2基本不等式题型一直接法求最值题型二配凑法求最值题型三“1”的代换求最值题型四消参法求最值题型五商式求最值题型六对勾函数求最值题型七利用基本不等式证明不等式题型八利用基本不等式解决实际问题题型九基本不等式与其余知识的综合应用题型一 直接法求最值例1．（2022秋·海南海口·高三校考阶段练习）已知实数x，y满足，那么的最大值为（

）A． B． C．1 D．2例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，当取最大值时，则的值为（

）A． B．2 C．3 D．4练习1．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（

）A． B． C． D．练习2．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件练习3．（2021春·广西南宁·高二校考阶段练习）函数的最小值为（

）A． B．2 C．2 D．4练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（

）A． B．4 C．8 D．练习5．（2022秋·高三课时练习）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．8 B．12 C． D．题型二 配凑法求最值例3．（2023·上海·高三专题练习）函数在区间上的最小值为_____________．例4．（2022秋·新疆克拉玛依·高三克拉玛依市高级中学校考期中）（1）已知，求函数的最小值；（2）已知，求函数的最大值.练习6．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）设实数x满足，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．6练习7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在下列函数中，最小值是的函数有（

）A． B．C． D．练习8．（2022秋·吉林·高三吉林毓文中学校考阶段练习）已知，函数的最大值是__．练习9．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知，则的最小值为______．练习10．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．题型三 “1”的代换求最值例5．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（

）A．12 B．25 C．27 D．36例6．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______．练习11．（2023·北京·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．12练习12．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知实数满足，则的最小值是（

）A．5 B．9 C．13 D．18练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（

）A．20 B．32 C． D．练习14．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知，则的最小值是______．练习15．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数，且，则的最小值为___________.题型四 消参法求最值例7．（2023·辽宁大连·统考三模）已知，且，则的最小值为__________.例8．（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若，且，则的最大值为___________.练习16．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则（

）A．有最小值为 B．有最小值为C．有最大值为 D．有最大值为练习17．（2022秋·江苏常州·高三江苏省奔牛高级中学校考阶段练习）实数a，b，c满足，，，则的最小值为（）A． B．1 C． D．练习18．（2022秋·陕西西安·高三西安市第三中学校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．练习19．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）正数a，b满足，则的最小值为______；的最大值为______．练习20．（2023·浙江·二模）若，则的取值范围是______.题型五 商式求最值例9．（2023·全国·高三专题练习）设,则的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．4例10．（2022·江苏·高一专题练习）求下列函数的最小值（1）；（2）；（3）.练习21．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16练习22．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第五中学校考阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．练习23．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的最小值是______．练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则最大值为______．练习25．（2021秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）若存在，使成立，则的取值范围是___________.题型六 对勾函数求最值例11．（2023·高三课时练习）设，则的取值范围是______．例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知关于的的解集是，则（

）A．B．C．关于的不等式的解集是D．的最小值是练习26．（2022秋·高三课时练习）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．练习27．（2022秋·吉林长春·高三东北师大附中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的值域为（

）A． B． C． D．练习28．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．－4 B．4 C．5 D．8练习29．（2023秋·江苏常州·高三统考期末）（多选）下列函数中，以3为最小值的函数有（

）．A． B．C． D．练习30．（2022秋·高三校考期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若，则有最小值 B．若，则有最小值C．若，则有最大值 D．若，则有最大值题型七 利用基本不等式证明不等式例13．（2023·贵州黔西·校考一模）设，，均为正数，且，证明：(1)；(2)．例14．（2021秋·广西钦州·高二校考期中）证明：(1)；(2)．练习31．已知，，，证明：(1)；(2)．练习32．已知，，且．(1)求的最小值；(2)证明：．练习33．（2022秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考阶段练习）（1）求函数的最大值；（2）已知，求证：．练习34．已知，且，求证：(1)；(2).练习35．（2021·全国·高一专题练习）证明：.题型八 利用基本不等式解决实际问题例15．目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发展，国内汽车市场正由传统燃油车向新能源、智能网联汽车升级转型.某汽车企业决定生产一种智能网联新型汽车，生产这种新型汽车的月成本为400（万元），每生产x台这种汽车，另需投入成本（万元），当月产量不足40台时，（万元）；当月产量不小于40台时，（万元）．若每台汽车售价为20（万元），且该车型供不应求．(1)求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润?并求出最大月利润．例16．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．受地域影响，AD的长度最多能达到，其余边长没有限制．(1)设总价为（单位：元），AD长为（单位：），试建立关于的函数关系式；(2)当为何值时，最小？并求出这个最小值．练习36．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24m，如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？练习37．（2023春·内蒙古呼和浩特·高二统考阶段练习）已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为（万元/万件），其广告宣传总费用为万元，若将其销售价格定为万元/万件．(1)将该批产品的利润（万元）表示为的函数；(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?练习38.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足45台时，万元，当年产量不少于45台时，万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；(2)年产量为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？练习39．（2022·高三课时练习）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是______．练习40．（2022秋·安徽马鞍山·高三安徽工业大学附属中学校考期中）如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为______元.题型九 基本不等式与其余知识的综合应用例17．（2023·浙江·二模）记为正数列的前项和，已知是等差数列.(1)求；(2)求最小的正整数，使得存在数列，.18．（河北省名校2023届高三5月模拟数学试题）已知平面向量满足且，当向量与向量的夹角最大时，向量的模为______．练习41．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考期末）某港口的水深y（米）随着时间t（时）呈现周期性变化，经研究可用来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，求的取值范围.练习42．（2021·北京·高三强基计划）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且，则的周长为（

）A．17 B．18 C．19 D．前三个选项都不对练习43．（2023·全国·高三专题练习）若且，则的最小值为（

）A． B． C． D．练习44．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）在中，若向量在上的投影向量为，则的最大值为（

）A． B． C． D．练习45．（2022秋·四川攀枝花·高三统考阶段练习）已知正项等比数列的前n项和为，若S4＝8．则（

）A．有最小值 B．有最大值C．小于 D．大于

专题2.2基本不等式题型一直接法求最值题型二配凑法求最值题型三“1”的代换求最值题型四消参法求最值题型五商式求最值题型六对勾函数求最值题型七利用基本不等式证明不等式题型八利用基本不等式解决实际问题题型九基本不等式与其余知识的综合应用题型一 直接法求最值例1．（2022秋·海南海口·高三校考阶段练习）已知实数x，y满足，那么的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据重要不等式即可求最值，注意等号成立条件.【详解】由，可得，当且仅当或时等号成立.故选：C.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，当取最大值时，则的值为（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先根据已知使用基本不等式，整理求出取最大值时的和值，再得出结果.【详解】由已知可得，则，即，所以，当且仅当时取等号，即，，此时.故选：B．练习1．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式等号成立的条件可求得取最大值时的值.【详解】因为正实数、满足，则，可得，当且仅当时，即当时，等号成立.故选：A.练习2．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用基本不等式由可得，可得充分性不成立；当时可得必要性不成立，即可得出结果.【详解】根据基本不等式可得，即，可得，所以充分性不成立；若，可令满足，此时；即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D练习3．（2021春·广西南宁·高二校考阶段练习）函数的最小值为（

）A． B．2 C．2 D．4【答案】D【分析】利用基本不等式运算求解.【详解】∵，则，∴，当且仅当，即时，等号成立，故函数的最小值为4.故选：D.练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（

）A． B．4 C．8 D．【答案】B【分析】根据的值域求得，结合基本不等式求得的最小值.【详解】由于二次函数（）的值域为，所以，所以，所以，当且仅当即时等号成立.故选：B练习5．（2022秋·高三课时练习）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．8 B．12 C． D．【答案】B【分析】可通过已知条件，先找到与的等量关系，然后把等量关系带入要求的式子，消掉，从而得到关于的两项乘积为定值的和的关系，然后再使用基本不等式完成求解.【详解】由已知，，均为正数，，故，即，所以，当且仅当时等号成立.故选：B.题型二 配凑法求最值例3．（2023·上海·高三专题练习）函数在区间上的最小值为_____________．【答案】．【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.【详解】，因为，所以，故，故，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：例4．（2022秋·新疆克拉玛依·高三克拉玛依市高级中学校考期中）（1）已知，求函数的最小值；（2）已知，求函数的最大值.【答案】（1）4；（2）.【分析】（1）先构造出乘积的定值，再用基本不等式求和的最小值；（2）先构造出和的定值，再用基本不等式求积的最大值.【详解】（1）时，，根据基本不等式，可得：当，即时取得等号，故时，取得最小值是4；（2），故，根据基本不等式可得：，当，即时取得等号，故时，的最大值是.练习6．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）设实数x满足，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．6【答案】A【分析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.【详解】由题意，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为.故选：A练习7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在下列函数中，最小值是的函数有（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，，所以A选项不符合.B选项，，当且仅当时等号成立，所以B选项不符合.C选项，对于函数，当时，，当且仅当时等号成立.当时，，当且仅当时等号成立，综上所述，的最小值是，符合题意.D选项，，，当且仅当时等号成立，所以D选项符合.故选：CD练习8．（2022秋·吉林·高三吉林毓文中学校考阶段练习）已知，函数的最大值是__．【答案】/0.125【分析】由基本不等式，得，由此即可求出函数的最大值．【详解】，∴,当且仅当时，即时等号成立，因此，函数的最大值为.故答案为:.练习9．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知，则的最小值为______．【答案】【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合均值不等式求解作答.【详解】，，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故答案为：练习10．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．【答案】【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得，再利用基本不等式，即可求解.【详解】当时，不等式对不恒成立，不符合题意（舍去）；当时，要使得对恒成立，则满足，解得，所以实数的取值范围为.因为，可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．故答案为：；.题型三 “1”的代换求最值例5．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（

）A．12 B．25 C．27 D．36【答案】C【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；【详解】解：因为，所以．因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，的最小值为27．故选：C例6．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______．【答案】/【分析】由直线过点，可得，利用基本不等式“1”的代换，求出最小值．【详解】∵直线过点，．，当且仅当，即，时取等号．的最小值为．故答案为：．练习11．（2023·北京·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】条件等式两边取对数后，得，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.【详解】因为，所以，即，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为6.故选：B.练习12．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知实数满足，则的最小值是（

）A．5 B．9 C．13 D．18【答案】B【分析】根据对数的运算法则，求得，且，利用，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，可得，所以，即，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（

）A．20 B．32 C． D．【答案】D【分析】将化为，再用“1”的代换，乘以，展开后用基本不等式即可求得最小值，注意取等条件.【详解】解：因为，所以，则，因为，，所以，当且仅当，即（舍）或时取等，故的最小值为.故选：D练习14．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知，则的最小值是______．【答案】【分析】变形条件等式得，然后展开，利用基本不等式求最小值.【详解】，，，当且仅当，即时等号成立，的最小值是.故答案为：.练习15．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数，且，则的最小值为___________.【答案】/0.5【分析】运用基本式中的“1”的活用，即可得出结果.【详解】，，，当且仅当时，取等号.故答案为：.题型四 消参法求最值例7．（2023·辽宁大连·统考三模）已知，且，则的最小值为__________.【答案】【分析】先对已知式子变形得，然后代入中，整理后利用基本不等式即可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，所以

，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故答案为：.例8．（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若，且，则的最大值为___________.【答案】【分析】由题得，分，两种情况解决即可.【详解】由题知，，且，即所以，当时，，即，此时，所以的最大值为1，当时，，当且仅当时取等号，此时；所以的最大值为.综上，的最大值为.故答案为：练习16．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则（

）A．有最小值为 B．有最小值为C．有最大值为 D．有最大值为【答案】A【分析】对变形得到，利用基本不等式求出最小值.【详解】因为，所以，当且仅当，故，即取等号.故选：A.练习17．（2022秋·江苏常州·高三江苏省奔牛高级中学校考阶段练习）实数a，b，c满足，，，则的最小值为（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用因式分式法，结合分式的运算性质、基本不等式进行求解即可.【详解】，，，，，当且仅当，即时等号成立，的最小值为1，故选：B【点睛】关键点睛：利用因式分法，得到是解题的关键.练习18．（2022秋·陕西西安·高三西安市第三中学校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】用来表示得，代入得，再利用基本不等式即可求出最小值.【详解】,，则有，，当且仅当，即时等号成立，此时，故选：B.练习19．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）正数a，b满足，则的最小值为______；的最大值为______．【答案】/【分析】利用基本不等式，结合换元法、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质进行求解即可.【详解】因为正数a，b满足，所以有，当且仅当时取等号，即时取等号；由，而，因此，令，因为，所以方程在区间内有解，设，或，解得，因此的最大值为，故答案为：；【点睛】关键点睛：利用换元法，结合一元二次根的分布性质求解是解题的关键.练习20．（2023·浙江·二模）若，则的取值范围是______.【答案】【分析】利用基本不等式结合求得，将整理变形为，令，结合二次函数知识即可求得答案.【详解】由可得，而，当且仅当时，等号成立，即，解得，由可知，所以，令，则，函数在单调递增，在单调递减故，即的取值范围是，故答案为：题型五 商式求最值例9．（2023·全国·高三专题练习）设,则的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】首先由等式把转化为，再应用常数分离得到，最后应用基本不等式得到最小值.【详解】由题意，所以，得到，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为．故选：A.例10．（2022·江苏·高一专题练习）求下列函数的最小值（1）；（2）；（3）.【答案】（1）3；（2）；（3）10.【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不等式（1,、2）或利用函数单调性求最值.【详解】（1）∵（当且仅当，即x=1时取“=”）即的最小值为3；（2）令，则在是单增，∴当t=2时，y取最小值；即y的最小值为（3）令，则可化为：当且仅当t=3时取“=”即y的最小值为10练习21．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【分析】利用基本不等式可求解.【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.故选：A练习22．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第五中学校考阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解.【详解】解：因为，又因为，所以，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以，即y的最大值是.故选：D.练习23．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的最小值是______．【答案】【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立.所以函数的最小值是故答案为:.练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则最大值为______．【答案】【分析】由且，可得，可得，再将化为后利用基本不等式求解即可．【详解】解：由且，可得，代入，又，当且仅当，即，又，可得，时，不等式取等，即的最大值为，故答案为：．练习25．（2021秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）若存在，使成立，则的取值范围是___________.【答案】【分析】依题意，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即；故答案为：题型六 对勾函数求最值例11．（2023·高三课时练习）设，则的取值范围是______．【答案】【分析】根据对勾函数的单调性，分别求得和时的取值范围，即可得答案.【详解】设函数，则当时，单调递增，此时；当时，单调递减，此时，故，则的取值范围是，故答案为：例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知关于的的解集是，则（

）A．B．C．关于的不等式的解集是D．的最小值是【答案】AB【分析】由一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系，结合韦达定理可求得，，，由此可确定AB正确；结合一元二次不等式的解法可知C错误；将化为，根据对勾函数单调性可确定，知D错误.【详解】对于A，的解集为，，且和是方程的两根，A正确；对于B，由A得：，，，，B正确；对于C，由得：，即，解得：，即不等式的解集为，C错误；对于D，，，在上单调递增，，D错误.故选：AB.练习26．（2022秋·高三课时练习）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对勾函数的单调性求值域.【详解】令，则，由对勾函数的性质可知：在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为，又当时，，当时，，故的值域为.故选：B练习27．（2022秋·吉林长春·高三东北师大附中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将函数变形为，利用对勾函数的单调性求得的值域，结合不等式的性质即可求解.【详解】，定义域为，且，取，则化简得令，，利用对勾函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；，即，时，又，所以，时，函数的值域为故选：C练习28．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．－4 B．4 C．5 D．8【答案】C【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值.【详解】由的解集为，则，且，是方程的两根，由根与系数的关系知，解得，，当且仅当时等号成立，故，设，函数在上单调递增，所以所以的最小值为5.故选：C练习29．（2023秋·江苏常州·高三统考期末）（多选）下列函数中，以3为最小值的函数有（

）．A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对A：根据余弦函数的有界性分析运算；对B：换元结合二次函数分析运算；对C：换元结合对勾函数分析运算；对D：利用基本不等式分析运算.【详解】对A：∵，则，故的最小值为3，当且仅当时取到最小值，A正确；对B：令，则，故的最小值为3，当且仅当，即时取到最小值，B正确；对C：令，且在上单调递减，故，故的最小值为，C错误；对D：，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3，D正确.故选：ABD.练习30．（2022秋·高三校考期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若，则有最小值 B．若，则有最小值C．若，则有最大值 D．若，则有最大值【答案】AC【分析】分和两种情况，结合均值不等式即可得出结果.【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；故A正确，B错误；当时，，当且仅当时，等号成立；故C正确，D错误；故选：AC.题型七 利用基本不等式证明不等式例13．（2023·贵州黔西·校考一模）设，，均为正数，且，证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证；（2）由已知得若证，即证，再根据，，，即可得证.【详解】（1）由，得，又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，，当且仅当时，上述不等式等号均成立，所以，即，所以，当且仅当时等号成立；（2）因为，，均为正数，所以若证，即证，又，，，当且仅当时，不等式等号均成立，则，即，当且仅当时等号成立.例14．（2021秋·广西钦州·高二校考期中）证明：(1)；(2)．【答案】(1)见解析；(2)见解析﹒【分析】(1)a－2＞0，将原式构造成即可用基本不等式求解；(2)利用即可证明﹒(1)，，当且仅当时取等号；(2)，∴，当且仅当a＝b时取等号﹒练习31．已知，，，证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据柯西不等式或基本不等式证明不等式.（2）根据基本不等式证明不等式.【详解】（1）解法一：由柯西不等式得：，当时，等号成立．所以原式得证．解法二：当时，等号成立．即．（2）解法一：由及．即．当时，等号成立．所以.解法二：因为，所以：．又，，所以：，当时，等号成立．所以，．练习32．已知，，且．(1)求的最小值；(2)证明：．【答案】(1)2(2)证明见解析【分析】（1）由基本不等式即可求出的最小值．（2）化简已知得，即，利用基本不等式即可得证.【详解】（1）（2）因为，所以，所以．因为，，所以，当且仅当时，等号成立，则，即的最小值是2．（2）证明：因为，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，所以．当且仅当时，等号成立则，即，当且仅当时，等号成立．【点睛】关键点睛：本题第二小问中用配凑法将的证明转化为的证明，其中是解题关键，本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，属于较难题.练习33．（2022秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考阶段练习）（1）求函数的最大值；（2）已知，求证：．【答案】（1）；（2）证明过程见解析.【分析】（1）运用换元法，结合基本不等式进行求解即可；（2）运用基本不等式进行证明即可.【详解】（1）令，由，因为，所以由，当且仅当时取等号，即时，函数有最大值；（2）因为，所以，即，当且仅当时取等号.练习34．已知，且，求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件，利用基本不等式计算，即可得证．（2）根据已知条件，利用基本不等式计算，即可得证．【详解】（1）证明：因为，且，所以，当且仅当时取等号，所以；（2）证明：，，，，当且仅当，即时，等号成立，，即得证．练习35．（2021·全国·高一专题练习）证明：.【答案】证明见解析.【分析】根据，得到，进而开方得到答案.【详解】因为，则，所以，当且仅当a=1时取“=”.题型八 利用基本不等式解决实际问题例15．目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发展，国内汽车市场正由传统燃油车向新能源、智能网联汽车升级转型.某汽车企业决定生产一种智能网联新型汽车，生产这种新型汽车的月成本为400（万元），每生产x台这种汽车，另需投入成本（万元），当月产量不足40台时，（万元）；当月产量不小于40台时，（万元）．若每台汽车售价为20（万元），且该车型供不应求．(1)求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润?并求出最大月利润．【答案】(1)，；(2)月产量为100台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为300万元．【分析】（1）利用利润等于总收入减去总成本，分段表示月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）根据分段函数的解析式，利用一次函数的性质和基本不等式逐段求解最大值即可.【详解】（1）当时，，，当时，，，所以月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式为，；（2）当，时，，时，该函数取最大值为224，当，时，，当且仅当时，等号成立，综上所述，月产量为100台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为300万元．例16．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．受地域影响，AD的长度最多能达到，其余边长没有限制．(1)设总价为（单位：元），AD长为（单位：），试建立关于的函数关系式；(2)当为何值时，最小？并求出这个最小值．【答案】(1)，(2)当时，S最小，最小值为118000元【分析】（1）先设，又，建立等式找出得关系计算即可；（2）利用均值不等式计算即可，注意等号成立的条件.【详解】（1）设，又，，则，∴，∴（2）由（1）得，利用均值不等式得，当时，即时等号成立，所以当时，S最小，最小值为118000元.练习36．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24m，如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？【答案】矩形面积最大为48平方米【分析】根据二次函数的性质即可求解.（或者利用均值不等式求解）【详解】由题意所示，，∵，∴，∴，函数的对称轴为，∴当时，面积取得最大值，为，（或者：由于，所以，当且仅当，即时取等号.）∴矩形面积最大为48平方米．练习37．（2023春·内蒙古呼和浩特·高二统考阶段练习）已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为（万元/万件），其广告宣传总费用为万元，若将其销售价格定为万元/万件．(1)将该批产品的利润（万元）表示为的函数；(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?【答案】(1)，(2)宣传费用为万元时，利润最大为万元．【分析】（1）根据利润与成本及产量的关系直接列式；（2）利用基本不等式求最值.【详解】（1），；（2），，，当即宣传费用为万元时，利润最大为万元．练习38.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足45台时，万元，当年产量不少于45台时，万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；(2)年产量为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？【答案】(1)(2)当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案；（2）根据二次函数的性质以及基本不等式，可求得最值，可得答案.【详解】（1）当，时，；当，时，；综上所述：（2）当，时，，则当时，的最大值为650；当，时，（当且仅当，即时等号成立）；∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万.练习39．（2022·高三课时练习）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是______．【答案】【