（圆梦高考数学）题型05 4类比较函数值大小关系解题技巧（构造函数、两类经典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放缩合集）（含答案及解析）

题型054类比较函数值大小关系解题技巧（构造函数、两类经典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放缩合集）技法01技法01构造函数比较函数值大小关系解题技巧技法02两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧技法03泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧技法04不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧技法01构造函数比较函数值大小关系解题技巧本题型本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用分析法找打构造函数的本体是解决此类问题的突破口，需重点掌握.例1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（

）A． B． C． D．【法一】分析法假设待证法比较大小→构造函数假设成立，即令，则等价证明：，即证：（原式得证，略）假设成立，即令，则等价证明：，，证明略所以函数在单调递增，所以，即：，所以假设不成立，即，综上所述：，故选：C【法二】构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.1．（2023·河北·统考模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·福建福州·模拟预测），则（

）A． B．C． D．3．（2023·福建·二模）设，则（

）A． B．C． D．技法02两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧本题型本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用两类超越不等式是解决此类问题的突破口，需重点掌握.知识迁移，，，例2．已知,则的大小关系为()A.B.C.D.【答案】C1．（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）已知，，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B．C． D．3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．技法03泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧本题型本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用泰勒公式展开是解决此类问题的突破口，需重点掌握.知识迁移常见函数的泰勒展开式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．3．常见函数的泰勒展开式：结论1．结论2．结论3（）．结论4．结论5；；．结论6；结论7结论8．结论9．例3．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）设，，则（

）A． B． C． D．泰勒公式法：因为，所以，所以因为所以综上所述：故选：C1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖北·高三统考期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．技法04不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧本题型本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用不等式来放缩是解决此类问题的突破口，需重点掌握.知识迁移，，，，，，放缩程度综合，例4-1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（

）A． B． C． D．放缩法因为，所以，即因为，所以，即综上所述：，故选：C例4-2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【法一】：不等式放缩一因为当，取得：，故，其中，且当时，，及此时，故，故所以，所以，故选A【法二】不等式放缩二因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A．1．（2023·全国·校联考模拟预测）设，，，则下列正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023·云南大理·统考一模）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．3．（2023·福建·校联考模拟预测）设，，，则下列正确的是（

）A． B． C． D．

题型054类比较函数值大小关系解题技巧（构造函数、两类经典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放缩合集）技法01技法01构造函数比较函数值大小关系解题技巧技法02两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧技法03泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧技法04不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧技法01构造函数比较函数值大小关系解题技巧本题型本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用分析法找打构造函数的本体是解决此类问题的突破口，需重点掌握.例1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（

）A． B． C． D．【法一】分析法假设待证法比较大小→构造函数假设成立，即令，则等价证明：，即证：（原式得证，略）假设成立，即令，则等价证明：，证明略所以函数在单调递增，所以，即：，所以假设不成立，即，综上所述：，故选：C【法二】构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.1．（2023·河北·统考模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意，，，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断、，再令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断、，即可得解.【详解】因为，，，令，，则，令，则，所以在上单调递增，，所以，所以在上单调递增，所以，则，即，即，令，，则，所以在上单调递减，则，则，即，即，所以，综上可得.故选：D【点睛】关键点睛：本题解答的关键是根据式子的特征构造函数，，，，利用导数说明函数的单调性，结合临界点的函数值，从而判断函数值的正负，达到比较大小的目的.2．（2023·福建福州·模拟预测），则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，利用导数研究函数的单调性可得到，即可判断、的大小关系；构造函数判断与0.1的大小，构造函数判断0.1与大小，从而可判断b、c大小．【详解】令，，则，所以当时，即在上单调递增，所以，即，即，即，令，则，在时，，则为减函数，∴，即；令，，则，故在为减函数，∴，即；∴，令，则，即，∴，所以．故选：D．【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，.3．（2023·福建·二模）设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作差法判断、的大小，构造函数,利用导数的单调性判断、的大小.【详解】，又，所以令，，则，令，则，当时,,，所以，故,故在上是增函数，又∵，∴当时,,故在上是增函数，故,即，故.故选:A.【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就有了函数的形式，如在本题中，将视为变量可以构造函数.技法02两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧本题型本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用两类超越不等式是解决此类问题的突破口，需重点掌握.知识迁移，，，例2．已知,则的大小关系为()A.B.C.D.【答案】1．（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导函数讨论其单调性和最值，可得，从而可得，，即可比较的大小关系，再利用作差法比较大小关系.【详解】令，则，所以函数在单调递减，且，所以，即，令，则有，所以，即，又由，可得，所以，即，又因为，所以，综上可得，故选：D.2．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造，利用导数判断其单调性可比较的大小关系.构造，利用导数判断其单调性可比较的大小关系.【详解】，，，设，所以，所以在上单调递增，所以，即.所以，即.设，则，所以在上单调递减，所以，即.所以，即.所以.故选:C.3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出、的大小，、的大小，利用不等式的基本性质可得出、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.【详解】令，其中，则，所以，函数在上为增函数，故当时，，则，所以，因为，则，当时，证明，令，其中，则，所以函数在上为增函数，故当时，，所以当时，，则，所以，所以，因此.故选：D.技法03泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧本题型本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用泰勒公式展开是解决此类问题的突破口，需重点掌握.知识迁移常见函数的泰勒展开式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．3．常见函数的泰勒展开式：结论1．结论2．结论3（）．结论4．结论5；；．结论6；结论7结论8．结论9．例3．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）设，，则（

）A． B． C． D．泰勒公式法：因为，所以，所以因为所以综上所述：故选：C1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．泰勒展开设，则，，，计算得，故选A.2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（

）A． B． C． D．[方法一]：由泰勒公式,可知将,分别相应代入估算,得.由此可知.[方法二]：，所以；下面比较与的大小关系.记，则，，由于所以当0<x<2时，，即，，所以在上单调递增，所以，即，即；令，则，，由于，在x>0时，，所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c；综上，，故选：B.[方法三]：令，即函数在（1，+∞)上单调递减令，即函数在（1，3)上单调递增综上，，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.3．（2023春·湖北·高三统考期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过构造，，三个函数，将三个数与进行比较，得到，；再通过构造，，通过二次求导的方法比较b和c的大小即可得到答案.【详解】先比较和的大小：构造，则对恒成立，则在单调递增，此时，当且仅当时取等，所以，则；构造，则对恒成立，则在单调递减，此时，当且仅当时取等，所以，则；构造，则对恒成立，则在单调递减，此时，当且仅当时取等，所以，则；则，；下面比较b和c的大小：设，，，设，，，易知在上单调递增，则，所以在上单调递减，，即在上恒成立，则在上单调递减，由，则，即，则.综上，故选：B【点睛】方法点睛：本题考查通过导数的综合运用.比大小问题要熟悉各类常见的放缩，找出结构的相同之处，通过构造函数，运用导数这一工具，对数据进行大小的比较.技法04不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧本题型本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用不等式来放缩是解决此类问题的突破口，需重点掌握.知识迁移，，，，，，放缩程度综合，例4-1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（

）A． B． C． D．放缩法因为，所以，即因为，所以，即综上所述：，故选：C例4-2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【法一】：不等式放缩一因为当，取得：，故，其中，且当时，，及此时，故，故所以，所以，故选A【法二】不等式放缩二因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A．1．（2023·全国·校联考模拟预测）设，，，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用导数证明当时，，再分别利用作商，作差比较法可判断，，大小.【详解】先来证明当时，.令，，则，所以函数在上单调递增，可得，即得；令，，则，所以函数在上单调递增，可得，即得；所以当时，.因为，由，因为，所以，则，所以，又，所以，所以.故选：D.2．（2023·云南大理·统考一模）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（

）A． B． C． D