（圆梦高考数学）题型02 函数的4大基本性质解题技巧（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（含答案及解析）

题型02函数的4大基本性质解题技巧（单调性、奇偶性、周期性、对称性）技法01技法01函数单调性的应用及解题技巧技法02函数奇偶性的应用及解题技巧技法03函数周期性的应用及解题技巧技法04函数对称性的应用及解题技巧技法05函数4大性质的综合应用及解题技巧技法01函数单调性的应用及解题技巧在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合函数单调性的相关计算也是高考重点在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合函数单调性的相关计算也是高考重点，常以小题形式考查.知识迁移同一定义域内①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③为↗，则为↘，为↘④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）复合函数的单调性例1．（2020·全国·统考高考真题）设函数,则（

）A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减在定义域内是增函数，在定义域内是减函数，所以在单调递增【答案】A1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数，则（

）A．是偶函数且是增函数 B．是偶函数且是减函数C．是奇函数且是增函数 D．是奇函数且是减函数2．（2021·内蒙古包头·统考一模）设函数，则（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减3．（2023·全国·模拟预测）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．技法02函数奇偶性的应用及解题技巧纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则可提升解题速度，纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.知识迁移①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：奇函数：，图象关于原点对称，偶函数：，图象关于轴对称③奇偶性的运算例2．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则．由题知为偶函数，定义域为，【法一】奇偶性的运算只需即可【法二】寻找必要条件（特值法）所以，即，则，故1．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．12．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．23．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．4．（2020·山东·统考高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则，．技法03函数周期性的应用及解题技巧纵观历年考题，函数周期性是函数及高考的重要考点，要熟悉周期性的定义，若能熟悉周期性的运算，则可提升解题速度，纵观历年考题，函数周期性是函数及高考的重要考点，要熟悉周期性的定义，若能熟悉周期性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.知识迁移①若，则的周期为：②若，则的周期为：③若，则的周期为：（周期扩倍问题）④若，则的周期为：（周期扩倍问题）例3．（全国·高考真题）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则A． B． C． D．因为是定义域为的奇函数，所以，即，所以周期为4【答案】C1．（2023上·海南省·高三校联考）已知函数是定义在上的奇函数，且，，则（

）A． B．0 C．3 D．62．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．13．（2023·全国·模拟预测）若函数的定义域为，且，，则．技法04函数对称性的应用及解题技巧纵观历年考题，函数对称性是函数及高考的重要考点，要熟悉对称性的定义，若能熟悉对称性的运算，则可提升解题速度，纵观历年考题，函数对称性是函数及高考的重要考点，要熟悉对称性的定义，若能熟悉对称性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.知识迁移轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为例4-1．（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是A． B． C． D．【法一】函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．故选项B正确【法二】关于x=1对称即，即【答案】B例4-2．（2016·全国·高考真题）已知函数满足，若函数与图像的交点为则A．0 B． C． D．【详解】[方法一]：直接法.由得关于对称，而也关于对称，∴对于每一组对称点，∴，故选B．[方法二]：特值法.由得不妨设因为，与函数的交点为∴当时，，故选B．[方法三]：构造法.设，则，故为奇函数.设，则，故为奇函数.∴对于每一组对称点.将，代入，即得∴，故选B．[方法四]：由题意得,函数和的图象都关于对称,所以两函数的交点也关于对称,对于每一组对称点和，都有.从而.故选B.【答案】B例4-3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.【答案】D1．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知曲线与曲线交于点，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足对任意实数有，若的图象关于直线对称，，则（

）A．2 B．1 C． D．3．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）（多选）已知函数，则（

）A．的图象关于直线轴对称B．的图象关于点中心对称C．的所有零点为D．是以为周期的函数4．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数，则下列判断正确的是（

）A．函数的图象关于原点对称 B．是函数的一个周期C．函数的图象关于直线对称 D．当时，的最小值为1技法05函数4大性质的综合应用及解题技巧纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则可提升解题速度，纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.知识迁移周期性对称性综合问题①若，，其中，则的周期为：②若，，其中，则的周期为：③若，，其中，则的周期为：奇偶性对称性综合问题①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：例5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.【答案】B1．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，为偶函数．若，则（

）A． B．0 C．2 D．20243．（2023·全国·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则．4．（2023·浙江·统考一模）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则.

题型02函数的4大基本性质解题技巧（单调性、奇偶性、周期性、对称性）技法01技法01函数单调性的应用及解题技巧技法02函数奇偶性的应用及解题技巧技法03函数周期性的应用及解题技巧技法04函数对称性的应用及解题技巧技法05函数4大性质的综合应用及解题技巧技法01函数单调性的应用及解题技巧在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合函数单调性的相关计算也是高考重点在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合函数单调性的相关计算也是高考重点，常以小题形式考查.知识迁移同一定义域内①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③为↗，则为↘，为↘④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）复合函数的单调性例1．（2020·全国·统考高考真题）设函数,则（

）A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减在定义域内是增函数，在定义域内是减函数，所以在单调递增【答案】A1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数，则（

）A．是偶函数且是增函数 B．是偶函数且是减函数C．是奇函数且是增函数 D．是奇函数且是减函数【答案】C【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答.【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，AB错误，因为函数在R上递增，则函数在R上递减，所以函数是增函数，D错误，C正确.故选：C2．（2021·内蒙古包头·统考一模）设函数，则（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】C【分析】首先确定定义域关于原点对称，又有，可知为偶函数；利用复合函数单调性的判定方法可确定时，单调递减，由对称性可知时，单调递增，由此得到结果.【详解】由得：，定义域为；又，为定义域内的偶函数，可排除BD；当时，，在上单调递减，单调递增，在上单调递减，可排除A；为偶函数且在上单调递减，在上单调递增，C正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题对于函数单调性的判断的关键是能够根据的范围得到的解析式，利用复合函数单调性的判断，即“同增异减”的方法确定函数在区间内的单调性.3．（2023·全国·模拟预测）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据真数大于零，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间.【详解】由得，所以函数的定义域为令，则是单调递减函数又，在上单调递增，在上单调递减由复合函数的单调性可得函数的单调递减区间为.故选：A.【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的性质，属于中档题.技法02函数奇偶性的应用及解题技巧纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则可提升解题速度，纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.知识迁移①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：奇函数：，图象关于原点对称，偶函数：，图象关于轴对称③奇偶性的运算例2．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则．由题知为偶函数，定义域为，【法一】奇偶性的运算只需即可【法二】寻找必要条件（特值法）所以，即，则，故1．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.【详解】因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.2．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.3．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.4．（2020·山东·统考高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.5．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则，．【答案】；．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，，故答案为：；．[方法二]：函数的奇偶性求参函数为奇函数[方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．技法03函数周期性的应用及解题技巧纵观历年考题，函数周期性是函数及高考的重要考点，要熟悉周期性的定义，若能熟悉周期性的运算，则可提升解题速度，纵观历年考题，函数周期性是函数及高考的重要考点，要熟悉周期性的定义，若能熟悉周期性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.知识迁移①若，则的周期为：②若，则的周期为：③若，则的周期为：（周期扩倍问题）④若，则的周期为：（周期扩倍问题）例3．（全国·高考真题）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则A． B． C． D．因为是定义域为的奇函数，所以，即，所以周期为4【答案】C1．（2023上·海南省·高三校联考）已知函数是定义在上的奇函数，且，，则（

）A． B．0 C．3 D．6【答案】A【分析】由函数为奇函数可得，，再根据求出函数的周期，再根据函数的周期即可得解.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，因为，所以，则，所以，所以是以为周期的一个周期函数，所以.故选：A．2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.3．（2023·全国·模拟预测）若函数的定义域为，且，，则．【答案】【分析】利用赋值法依次求得，再利用赋值法推得的周期为12，从而利用函数的周期性即可得解.【详解】因为，令，有，则或．若，则令，，有，得，与已知矛盾，所以．令，有，则，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，有，得，令，有，即，所以，故，所以的周期为12．又因为，所以．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用赋值法推得的周期性，从而得解.技法04函数对称性的应用及解题技巧纵观历年考题，函数对称性是函数及高考的重要考点，要熟悉对称性的定义，若能熟悉对称性的运算，则可提升解题速度，纵观历年考题，函数对称性是函数及高考的重要考点，要熟悉对称性的定义，若能熟悉对称性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.知识迁移轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为例4-1．（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是A． B． C． D．【法一】函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．故选项B正确【法二】关于x=1对称即，即【答案】B例4-2．（2016·全国·高考真题）已知函数满足，若函数与图像的交点为则A．0 B． C． D．【详解】[方法一]：直接法.由得关于对称，而也关于对称，∴对于每一组对称点，∴，故选B．[方法二]：特值法.由得不妨设因为，与函数的交点为∴当时，，故选B．[方法三]：构造法.设，则，故为奇函数.设，则，故为奇函数.∴对于每一组对称点.将，代入，即得∴，故选B．[方法四]：由题意得,函数和的图象都关于对称,所以两函数的交点也关于对称,对于每一组对称点和，都有.从而.故选B.【答案】B例4-3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.【答案】D1．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知曲线与曲线交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，由和可确定两曲线均关于中心对称；利用导数可求得单调性和极值，结合的单调性可确定两曲线在上的图象，由此可确定交点个数，结合对称性可求得结果.【详解】令，则，，，关于中心对称；，关于中心对称；，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，极小值为，极大值为；当时，单调递减，且，当时，；作出与在时的图象如下图所示，由图象可知：与在上有且仅有两个不同的交点，由对称性可知：与在上有且仅有两个不同的交点，.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据函数的解析式，确定两函数关于同一对称中心对称，结合两函数图象确定交点个数后，即可根据对称性求得交点横纵坐标之和.2．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足对任意实数有，若的图象关于直线对称，，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】由题意，从而是周期函数，又的图象关于直线对称，从而函数的图象关于直线对称，由，从而即可求解.【详解】因为，所以，从而可得，所以，所以函数的一个周期为6．因为的图象关于直线对称，所以，即函数的图象关于直线对称．又，，所以，所以，所以．由于23除以6余5，所以．故选：C．【点睛】易错点点睛：对于“系数不为1”的复合型函数，一般情况下，内函数多为一次函数型，涉及奇偶性（图象的对称性）时处理方法有：①利用奇偶性（图象的对称性）直接替换题中对应的变量；②类比三角函数；③引入新函数，如令，则．本题中，的图象关于直线对称，令，则，从而，即，函数的图象关于直线对称，不能误认为函数的图象关于直线对称．3．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）（多选）已知函数，则（

）A．的图象关于直线轴对称B．的图象关于点中心对称C．的所有零点为D．是以为周期的函数【答案】AC【分析】对于A：根据对称轴的定义分析证明；对于B：举例说明即可；对于C：根据零点的定义结合倍角公式运算求解；对于D：举例说明即可.【详解】对于A：因为，所以的图象关于直线轴对称，故A正确；对于B：因为，，所以的图象不关于点中心对称，B错误.对于C：因为，注意到，令，得，即，故的所有零点为，故C正确；对于D：因为，所以不是的周期，故D错误；故选：AC.4．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数，则下列判断正确的是（

）A．函数的图象关于原点对称 B．是函数的一个周期C．函数的图象关于直线对称 D．当时，的最小值为1【答案】ABD【分析】由函数奇偶性的定义即可判断A项，运用周期定义即可判断B项，结合A项、B项即可判断C项，运用完全平方公式、二倍角公式化简函数，结合换元法即可求得函数的最小值进而可判断D项.【详解】对于A项，因为，所以函数的定义域为，又，所以是奇函数，其图象关于原点对称，故A项正确；对于B项，，所以是函数的一个周期，故B项正确；对于C项，由B项知，由A项知，所以，所以的图象关于点对称，故C项错误；对于D项，，令，又，则，所以，即，所以，（），又在上单调递减，所以当时，取得最小值为，故D项正确.故选：ABD.技法05函数4大性质的综合应用及解题技巧纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则可提升解题速度，纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.知识迁移周期性对称性综合问题①若，，其中，则的周期为：②若，，其中，则的周期为：③若，，其中，则的周期为：奇偶性对称性综合问题①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：例5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.【答案】B1．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【