七年级数学下册专项复习训练：不等式与不等式组

专题10《不等式与不等式组》解答题重点题型分类

专题简介：本份资料专攻《不等式与不等式组》中“求一元一次不等式组中待定字母的值的

情况”、“利用一元一次不等式（组）解决实际问题”、“方程组与不等式组相结合解决实

际问题”、“利用不等式计算获利问题”、“运用一元一次不等式组进行方案设计”解答题

重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1:求一元一次不等式组中待定字母的值的情况

方法点拨：

小等式组（a>b）解集在数轴上的情况不等式组的解集口诀

x>a

①4-4—x>a同大取大

-x<a

—*——>x<b同小取小

钳.x<bba

x<a

③4---*--------Ab<%<a大小交叉中间找

-x>bb------a

-x>a

④V——*------1------>无解（空集）大小分离无处找

、x〈bba

\2x—m>\

1.已知关于X的不等式组°,1

[3x-2"?<-1

（1）如果不等式组的解集为6<x<7,求加的值;

（2）如果不等式组无解，求加的取值范围；

【答案】（1）11；（2）m<5

m+17777—1

【分析】（1）解两个不等式得出X>亍且,根据不等式组的解集为6<X<7得

加+1,

----=6

2

解之可得答案;

2m-1

3

（2）根据不等式组无解，利用“大大小小找不到“可得，解之可得答案•

【详解】解：（1）由2X-W>1,得：,

解不等式3x-2加<-1,得：x<-^—,

••・不等式组的解集为6<x<7,

m+\

----二o

2

•**].I9

2mr

--------=7

[3

解得m=11；

(2)・.・不等式组无解，

.m+12m—1

"23，

解得见，5.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找;

大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

2.对于任意实数a,b,定义一种新运算：a#b=a-3b+l,等式右边是通常的加减运算.例

如：3#5=3-3x5+7.

(1)求5#x>0解集；

(2)若3加<2#x<7有解,求x的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求加的取值范围.

2

【答案】(1)x<4；(2)-<x<3-m;(3)-l<w<0

【分析】(1)根据新定义得出关于x的不等式，解之即可；

(2)根据新定义列出关于x的不等式组，再分别求解即可得出其解集；

(3)由不等式组整数解的个数得出关于根的不等式组，再进一步求解即可.

【详解】解：(1)由题意得5-3x+7>0,

解得x<4；

⑵由社思，侍：[2-3x+7>3加②'

解不等式①，得：X>§，

解不等式②，得：x<3-m,

则不等式组的解集为;

(3)•.•该不等式组有3个整数解，

•■-3<3-m<4,

解得-心机<0.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同

大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

3.已知不等式;(x-加)>.

⑴若其解集为x>3,求加的值；

(2)若满足x>3的每一个数都能使已知不等式成立，求加的取值范围.

【答案】(1)"?=1.5；(2)m>\.5

【分析】(1)根据已知等式求出加的范围即可；

(2)根据题意确定出7〃的范围即可.

【详解】解：(1)不等式整理得:x-加>6-3加，

解得:x>6-2m,

由不等式的解集为x>3,

得到6-2加=3,

解得:加=1.5;

(2)由满足x>3的每一个数都能使已知不等式成立,

得到6-2加＜3,

解得:加21.5

【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键.

fx+a>0

4.若不等式组।.有3个整数解，则。的取值范围是多少.

[1—2x>x—2

【答案】2<a<3

【分析】先求出不等式组解集，然后再根据已知不等式组有3个整数解，列出不等式组确定

。的取值范围即可.

fx+a>0①

【详解】解：

[1—2x>x—2^2)

解不等式①得：x与a,

解不等式②x<l,

・•.不等式组的解集为

•••不等式组恰有3个整数解，

*'•-3V-ag-2,

解得：2<a<3.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式(组)，不等式组的整数解等知识点，能根据不

等式组的解集得出关于。的不等式组是解答本题的关键.

2x+15x—3

------------------<1

5.不等式组36的解集是关于x的一元一次不等式办>-1解集的一部分，求。

|21归5

的取值范围.

【答案】--<a<\

2x+l5x-31

------------------<I

【分析】先求出不等式组36的解集为-l<xW3,然后分别讨论当。>0时,

『归5

2x+l5x-31

------------------<I

当。<0时，当。=0时，不等式办>-1的解集，然后根据不等式组36的解集

|2x-l|<5

是关于x的一元一次不等式办>-1解集的一部分进行求解即可.

2x+l5x-3

------------------<1①

【详解】解：36

|2x-l归5②

解不等式①得：x>-l,

解不等式②得：-2WxW3,

・•.不等式的解集为-1<XW3,

ax>-l,

二当4〉0时，X>

a

2x+l5x-31

------------------<I

•••不等式组36的解集是关于x的一元一次不等式办>-1解集的一部分,

『归5

0<«<1；

同理当。<0时，x<--,

a

2x+l5x-31

------------------<I

•••不等式组36的解集是关于x的一元一次不等式办>-1解集的一部分,

『I。

a

—<a<0；

3

当。=0时，0>-1恒成立，即关于X的一元一次不等式的解集为一切实数，

2x+l5x-31

------------------<I

此时也满足不等式组36的解集是关于x的一元一次不等式解集的一

|2x-l|<5

部分，

二综上所述，——<a<\.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟

练掌握解不等式的方法.

6.已知关于x的不等式4(x+2)-2>5+3。的解都能使不等式>"Q；+3)成立,

求a的取值范围.

【答案】

【分析】先求出不等式4(x+2)-2>5+3a的解集，再根据不等式>"(2；+3)用。

表示出x的取值范围，最后解不等式组即可求出a的取值范围.

【详解】解：解不等式4(x+2)-2>5+3a得：也

(3〃+l)xa(2x+3)

解得：X.

3a-l9a

一4T

解得:%，

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，正确理解不等式的解集是解此题的关键.

4(2x-l)+2>lx,

7.已知关于x的不等式组6x-a,

x<--------+1.

I7

(1)若该不等式组有且只有三个整数解，求。的取值范围；

(2)若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在5的范围内，求。的取值范

围.

【答案】(1)1<6/<2；(2)2<a<5

【分析】(1)先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，

得出关于a的不等式组，从而求解；

(2)结合不等式组有解及它的解集中的任何一个值均不在无》5的范围内，得出关于。的不

等式组，从而求解.

【详解】解：⑴解不等式4(2x-l)+2>7x,得x>2.

解不等式无<如』1,%x<l-a,

7

•••该不等式组有且只有三个整数解，

••.这三个整数解为3,4,5.

5<7-a<6.

•1•1<a<2.

（2）•.•该不等式组有解，由（1）知7-a>2.

•••该不等式组的解集为2<x<7-a.

又它的解集中的任何一个值均不在x25的范围内，

■"-7-a<5.

[7-a>2

解不等式组/〈得符合题意的。的取值范围为2Wa<5.

[7-aV5

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和不等式的整数解，根据题意列出不等式，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

8.若一个不等式（组）/有解且解集为a<x<b（a<b）,则称个为《的解集中点值，若/

的解集中点值是不等式（组）8的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）5对于

不等式（组）A中点包含.

[2x-3>5

（1）已知关于x的不等式组44,以及不等式&-l<x<5,请判断不等式3

[6—x>0n

对于不等式组/是否中点包含，并写出判断过程；

（2）已知关于X的不等式组C：<1AQ]和不等式。：I17.,若。对于不

[3x-16<9m-l[3x-13<5m

等式组。中点包含，求冽的取值范围.

[x>2n[x-n<5

（3）关于X的不等式组E：c（〃<加）和不等式组产：C0，若不等式组产

[x<2m[2x-m>3n

对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数加之和为9,求"的取值范围.

【答案】（1）不等式8对于不等式组工是中点包含，见解析；（2）-3<加<16；（3）

l<n<2

【分析】（1）先解不等式组再按照要求求中点，再判断中点是否在3不等式中即可.

（2）先解不等式组C、D,再根据C组的中点在。不等式组中建立不等式，再解出m取值

范围.

（3）先解不等式组£、F,再根据E组的中点在尸不等式组中建立不等式，再解出机取值

范围，再根据符合要求的整数加之和为9,缩小机取值范围从而确定n取值范围.

（2x-3>5

【详解】（1）解不等式组/：<得4<x<6,

[6-x>0n

二中点值为x=5

又rx=5在不等式8：T<x45范围内，

不等式8对于不等式组/是中点包含

（2）解不等式C得：加-3<x<3加+5

m-3+3m+5

二不等式组c中点为:---------=2m+l

2

解不等式。得：加一4<了<独言

v2m-1位于机-4和5"+13之间

3

，时4<2加-1〈迦江

3

解得：-3<m<16

（3）解不等式组E得：2n<x<2mf则中点值为什加

解不等式组尸得：加产令<5+〃

3n+m

-----<n+m<5+n

2

m<5

n<m

•・•所有符合要求的整数m之和为9

・・・加可取43,2

1<H<2

【点睛】本题考查新定义概念的运用与求解，实际还是在考查不等式组的解法和不等式的性

质，掌握好不等式组的解法和不等式性质是本题解题关键.

考点2：利用一元一次不等式（组）解决实际问题

方法点拨：列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：（1）审:

认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小

于”、“不大于”、“不小于”等含义；（2）设：设出适当的未知数；（3）

列：根据题中的不等关系，列出不等式；（4）解：解出所列的不等式的解集；

（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。

1.在平面直角坐标系中，己知点加-4,；川+：）在第二象限，求加的取值范围.

【答案】-3〈加<2

【分析】根据第二象限点的符号特征（-,+）,可列出关于m的不等式组，求解即可.

2m-4<0①

【详解】解：根据题意，列不等式组1齐。②

—m+

12

解不等式①，得乙<2,

解不等式②，得〃?>-3,

.•.别的取值范围是-3<wt<2.

【点睛】本题考查了象限点及一元一次不等式组，由象限点的符号列出不等式组是解题的关

键.

2.众志成城抗疫情，全国人民在行动.某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物

资到/地和8地，支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资,

这20辆货车恰好装完这批物资.已知这两种货车的运费如下表：

目的地车型4地（元/辆）8地（元/辆）

大货车9001000

小货车500700

现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往/地，其余前往3地，设前往/地的大货

车有x辆，这20辆货车的总运费为y元.

（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？

（2）求〉与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；

⑶若运往N地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值.

【答案】（1）大货车、小货车各有12与8辆

（2）y=100x+15600（2<x<10,x为整数）

（3»的最小值16400元

【分析】（1）设大货车、小货车各有机与〃辆，根据题意列二元一次方程组，解方程组求

解即可；

（2）根据题意列出一次函数解析式，根据题意写出不等式组的解集，即可求得x的取值范

围；

（3）根据一次函数的性质求得最小值即可

（1）设大货车、小货车各有机与“辆,

15加+10〃=260

由题意可知:

m+n=20

m=12

解得:

〃=8

答：大货车、小货车各有12与8辆

（2）设到/地的大货车有x辆，

则到/地的小货车有（10-x）辆，

到8地的大货车有（12-x）辆，

到8地的小货车有（x-2）辆，

.,少=900x+500(10-x)+1000(12-x)+700(x-2)

100x+15600,

10-x>0

依题意,

x—220

2<x<10

其中2WxW10,x为整数.

(3)运往/地的物资共有［15x+10(10-x)］吨,

15x+10(10-x)>140,

解得：解8,

•­-8<x<10,x为整数，

•.•左=100>0,，当x=8时，y有最小值，此时>=100x8+15600=16400元，

答：总运费最小值为16400兀.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用是解

题的关键.

3.已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将

他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？

【答案】147

【分析】由12和8的最小公倍数为24,可设该校六年级学生有(24x+3)人，根据“该校六

年级学生超过130人，而不足150人”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得

出x的取值范围，结合x为正整数即可确定x的值，再将其代入(24x+3)中即可得出结

论.

【详解】解：「IZ和8的最小公倍数为24,

・••设该校六年级学生有(24x+3)人.

24x+3>130

依题意，得:

24x+3<150

71

解得：5—<x<6—.

24o

又•.*为正整数，

■•■x=6,

.••24x+3=147(人).

答：该校六年级学生有147人.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组.解题的关键在于通过确定两数的最小公倍数得到数

量关系，正确的列不等式组.

4.如图，要设计一幅宽20cm,长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽

19

度比为2:1.如果要使彩条所占面积是图案面积的二，应如何设计彩条的宽度？

【答案】竖彩条的宽度为1c加，横彩条的宽度为2c加.

【分析】可设竖彩条的宽是沅如则横彩条的宽是根据彩条所占面积是图案面积的

三19可列方程求解，同时要考虑x的取值范围.

【详解】解：设竖彩条的宽为XC加，则横彩条的宽为2xc加，则有：

j30-2x>0

[20-4x>0'

解得：0<x<5,,

且（30一2x）（20一4x）=30x20x]l一④，

整理得：x2-20x+19=0,

解得：肛=1,X2=19（不合题意，舍去），

2x=2.

答：竖彩条的宽度为1cm,横彩条的宽度为2cm.

【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用：面积类问题及不等式组的应用，掌握实际问题

中的等量关系是解决此题的关键.

5.某地为促进淡水养殖业的发展，决定对淡水鱼的养殖提供政府补贴，以使淡水鱼的价格

控制在6〜12元/kg之间.据市场调查，如果淡水鱼的市场价格为。元/kg,政府补贴为1元

/kg,那么要使每日市场的淡水鱼供应量与需求量正好相等，/与。应满足关系式

100（a+/8）=270-3a.为使市场价格不高于10元/kg,政府补贴至少应为多少？

【答案】政府补贴至少应为0.4元

t

【分析】先将f与。应满足关系式100Ca+t-8）=270-30化为a=l°7：03叫然后根据

市场价格64罟浮£w10,列出不等式求出最小值.

1

【详解】提示：由题设，解得a=l°7：030a

1HK1070-100/„

根rt据[rt题意，得zn6AW———<110.

解：*与a应满足关系式100Ca+t-8）=270-3a,

1070-100/

r.a=--------------

103

.,1070-100/.

则n有64———<110,

解得：0.4<f<4.52.

答：政府补贴至少应为0.4元/饭.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，列出不等式组,

求解不等式.

6.某长方体形状的容器长5cm.宽3cm,高10cm.容器内原有水的高度为3cm,现准备向

它继续注水.用厂（单位：cmD表示新注入水的体积，写出「的取值范围.

【答案】0<K<105.

【分析】水的总体积不能超过容器的总体积，列出不等式组求解.

【详解】解：根据题意列出不等式组：

（V>0

[5x3x3+r<5x3xl0

解得：0<r<105.

【点睛】本题考查的是不等式组的应用，读懂题意，找到符合题意的不等关系式组是解决本

题的关键.

7.某校计划安排七年级全体师生参观红旗渠风景区，现有36座和48座两种客车（不包括

驾驶员座位）供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，

则能比租36座的客车少租1辆，且有1辆车没有坐满，但超过了30人，该校七年级共有师

生多少人？

【答案】该校七年级共有师生180人.

【分析】设需租用36座客车x辆，则该校七年级共有师生36x人，根据“若只租用48座客

车，则能比租36座的客车少租1辆，且有一辆车没有坐满，但超过了30人”，即可得出关

于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可确定x的值，将

其代入36x中即可求出该校七年级共有师生人数.

【详解】解：设需租用36座客车x辆，则该校七年级共有师生36x人，

36x>48（x-2）+30

由题意得:

36x<48（x-l）

解得：4<X<y,

又,:X为整数，

•'-x=5,

/.36x=36x5=180,

答：该校七年级共有师生180人.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确

列出一元一次不等式组.

8.如图，是△4BC的高，5E平分乙42c交/C于点E.点下为射线C3上的动点，连接

EF.

(1)若z£8C=30。，Z1：Z2=1：2,乙FEC=6Q°.求证：EF\\AD；

(2)设zFEC=x。，Z2=6O°,当为钝角三角形时，试求出x的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)0<x<60或90cx<150

【分析】(1)求出乙42C、41、42的度数，推出N2="EC,根据“同位角相等，两直线平

行“即可证明EFWAD；

(2)先求出NC的度数，再分N尸EC和乙由C是钝角两种情况，根据不等式即可求出x的取

值范围.

【详解】解：(1)-；BE平分乙4BC,乙EBC=30。,

・•.ZA8C=2NE8C=2X30°=60°,

•­AD是MBC的高，

；.UDB=UDC=90°,

在及4Ao中，

根据三角形内角和等于180。得：

41=180°-90°-60°=30°.

vzl：z2=l：2,

.・・42=60。，

•••乙2=4比。=60。，

：.EF\\AD.

(2)vzs4Z)C=90o,z2=60°,

.-.zC=30°,

・•・要使△斯。是钝角三角形，有两种情况:

①"EC是钝角，

.・zC=30。，

・・・90。〈乙砥CV150。，

即90<x<150.

②乙印。是钝角，

..zC=30。，

・"FC=180。-x0-30。=150。-x°

.•.90°<150o-xo<180°,

角军得：-30<x<60,

又TX>0,

•1•0<x<60.

综上所述x的取值范围为：0<xV60或90cx<150.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质与判定，钝角三角

形的定义，理解以上知识点是解题的关键.

考点3：方程组与不等式组相结合解决实际问题

方法点拨：列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：（1）审:

认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小

于”、“不大于”、“不小于”等含义；（2）设：设出适当的未知数；（3）

列：根据题中的不等关系，列出不等式；（4）解：解出所列的不等式的解集；

（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。

fx+>=2左+3

1.已知：方程组c_2,的解中，X是非负数，了是正数.求整数上的值.

[2x-y=-1

【答案】0,1,2

'—k+2

x=-------

3

【分析】先加减消元法解二元一次方程求出力>根据x是非负数，歹是正数.列不

7k+7

士匚20①

等式组:「解不等式组求出-1〈左W2即可.

X'o②

3

x+y=2左+3①

【详解】解:

2x-y=-3k-l@

①+②得3x=-k+2,

解得X=*^,

,—左+2八、、7k+7

把'=---代入①得：=——

一女+2

x=-----

所以方程组的解为一3/「

•・•％是非负数，歹是正数.

'320①

3

吆〉0②，

I3

解不等式得①人<2,

解不等式的②发>-1,

二-1〈左W2,

•••左为整数，

整数/的值为O1,2.

【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，列不等式组与解不等式组，根据范围确定整数解,

掌握二元一次方程组的解法，加减消元法与代入消元法，列不等式组与解不等式组，根据范

围确定整数解是解题关键.

2.阅读下列材料：

解答“已知无-y=2,且x>l,y<0,试确定x+y的取值范围“有如下解法，

解：Tx-y=2,又•尤>1,；沙+2>1,即>>-1.

又y<0,-1<^<0...@

同理，得：1cx<2…②

由①+②，得-1+1<y+x<0+2,；.x+y的取值范围是0<x+y<2.

请按照上述方法，完成下列问题：

f2x+y-l

已知关于x、y的方程组\,的解都为非负数.

[x-y=5—3。

(1)求。的取值范围.

(2)已知2a-6=-1,求a+6的取值范围.

(3)已知若：<加<1,且后1,求。+6的取值范围(用含机的代数式表

示).

311

【答案】(1)小42；(2)—<a+b<7；(3)3-m<a-\-b<4-m

22

【分析】（1）先把4当作已知求出小天的值，再根据X、V的取值范围得到关于4的一元

一次不等式组，求出。的取值范围即可；

（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得db的取值范围，然后再来求a+b的取值

范围；

（3）根据（1）的解题过程求得4、6取值范围，结合限制性条件得出结论即可.

f2x+y=1fx-2-a

【详解】解：（1）解方程组[,得。，，

[x-y=5-3a[y=2a-5

・.•方程组的解都为非负数，

J2-a>0

,[2a-3>0'

3

解得2；

（2）v2tz-b=-1,

b-\

解得4劭35,

11,

3

(3)'-'a-b=m,—<a<2,

2

33

即巳-m<b<2-m,

2

••-3-m<a-\-b<4-m.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式的性质应用，准确分析计算是解题

的关键.

3.（1）阅读下面问题的解答过程并补充完整.

问题：实数%,歹满足%—歹=2,x+y=af且%>1,歹<0,求。的取值范围.

a+2

[x-y=2X~2

解：列关于工,歹的方程组，解得又因为x>l,歹<0,所以

\x+y=aa-2

y=----

2

a+2

------>1

(2)已知、一歹=4,且x>3,y<i,求X+》的取值范围；

(3)若。，6满足3/+5同=7,S=2a2-3\b\,求S的取值范围.

2114

【答案】(1)0<a<2；(2)2<x+y<6-(3)S„—

【分析】(1)先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；

(2)根据(1)阅读中的方法解题即可求解；

(3)先根据3/+5⑸=7求出⑸的值，再代入S=2/-3⑸中即可得到关于。的二次函数,

根据Y的取值范围，求出S的取值范围.

【详解】解：⑴、

*<2②

I2

解不等式①得：o>0,

解不等式②得：a<2,

不等式组的解集为0<a<2,

故答案为：0<a<2；

(2)①设x+y=a,则匕"

Q+4

X=------

解得：工，

x>3,y<1,

a+4c

------>3

.’2

|<2-4'

-------<1

[2

解得：2<a<6,

即2<x+y<6；

(3)由3a2+5|b|=7得

则解得

.'.0„a2,,

将1切=，^，代入S=202-3⑸中,

:0„a2,,—,

71

.•.当/=0时，s取最小值为5=-二；

、[,27iCTfrt曰_L./士ALC1972114

当。一=1r时t，S取取大值为S=MX]-《=可，

.•.S的取值范围为：J21，，s，14

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组

的解集.

4.某地区为筹备一项庆典，计划搭配a2两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已

知搭配一个/种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉30盆；搭配一个2种造型需甲种花卉40

盆，乙种花卉60盆，且搭配一个/种造型的花卉成本是270元，搭配一个3种造型的花卉

成本是360元.

（1）试求甲、乙两种花卉每盆各多少元？

（2）若利用现有的2295盆甲种花卉和2190盆乙种花卉进行搭配，则有哪几种搭配方案？

【答案】（1）甲种花卉每盆3元，乙种花卉每盆4元；（2）共3种方案：第一种方案：A

种造型27个，B种造型23个；第二种方案：A种造型28个，B种造型22个；第三种方案:

4种造型29个，3种造型21个

【分析】（1）设甲种花卉每盆x元，乙种花卉每盆y元，由题意列出关于xy的二元一次方

程组并解方程组可以得到解答；

（2）设需要搭配。个/种造型，则需要搭配8种造型（50-a）个，由题意得到关于。的

不等式组，求出不等式组的整数解即可得到问题解答.

【详解】解：（1）设甲种花卉每盆x元，乙种花卉每盆y元，

50x+307=270

依题意得:

40x+60y=360

x=3

y=4

答：甲种花卉每盆3元，乙种花卉每盆4元;

（2）设需要搭配。个/种造型，则需要搭配3种造型（50-a）个,

50a+40(50-a)<2295

依题意得:

30a+60(50-a)<2190

解得27<a<29.5,

■-a为正整数，

；。=27或28或29.

第一方案：/种造型27个，2种造型23个；

第二种方案：/种造型28个，5种造型22个；

第三种方案：A种造型29个，B种造型21个

【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的综合应用，熟练掌握二元一次方程

组的解法和求一元一次不等式组整数解的方法是解题关键.

5.为更好地推进我市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种

型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，

购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元.

（1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？

（2）该小区物业计划用不多于2100元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，则该

小区最多可以购买B型垃圾箱多少个.

【答案】（1）100元；120元（2）5个

【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，B型垃圾箱y元，列出二元一次方程组进行计算即

可；

（2）设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱（20-m）个，列出不等式计算即可；

【详解】解：（1）设每个A型垃圾箱x元，B型垃圾箱y元，依题意有

]3x+2y=540

[3y-2x=160,

解侍[（x八=1020-

故每个A型垃圾箱100元，B型垃圾箱120元；

（2）设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱（20-m）个，依题意有

120m+100（20-m）＜2100,

解得m＜5

故该小区最多可以购买B型垃圾箱5个.

【点睛】本题主要考查了不等式与方程组的结合，准确计算是解题的关键.

6.请阅读求绝对值不等式国＜3和国＞3的解集过程.

对于绝对值不等式国＜3,从图1的数轴上看：大于-3而小于3的绝对值是是小于3的，所

以国＜3的解集为一3Vx＜3；

对于绝对值不等式同＞3,从图2的数轴上看：小于-3而大于3的绝对值是是大于3的，所

以国＞3的解集为》＜-3或x＞3.

-3<x<3x<-3x>3

—............................

"5"4-3"2_1012o45-5-4-3-2-1012345

图1图2

2x—"V=477/—5

已知关于X、p的二元一次方程组rc的解满足k+y|W3,其中〃7是负整数，

求加的值.

【答案】-4或-3或-2或-1.

【分析】根据题意由|x+“V3得出-3Wx+yg3,解二元一次方程组，得出x+y=m-1,得到不

等式组-3&m-lW3,求出m值，结合m为负整数即可得出结果.

【详解】解：•小+443,

/.-3<x+y<3,

12x-y=4加-5①

[x+4j=-7m+2(2)'

①+②得：3x+3y=-3m-3,

.•-x+y=-m-l,

则-3£m-lW3,

解得：-4WmW2,

又m是负整数，

.•.m的值为-4或-3或-2或-1.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和绝对值的意义，能正确去掉绝对值符号是解此题

的关键.

7.阅读下列材料：

解答“已知了-了=2,且x>l,y<0,试确定无+V的取值范围”有如下解法：

解：-.■x-y=2,.-.x=y+2.

又TX〉：!，.♦.y+2>l.

又I<"0.…①

同理，可得：l<x<2.…②

(T)+(2),得—1+1<X+JV<0+2.即0<》+><2,

c+y的取值范围是o<x+y<2.

请按照上述方法，完成下列问题：

(1)已知x-y=4,且x>3,了<1,求x+V的取值范围；

(2)已知0-6=机，且关于X、了的方程组『二’=：。中尤<0,y>0.①求。的取值范

[x+2>=5。-8

围；②求。+6的取值范围（结果用含羽的式子表示）.

3

【答案】（1）2<x+y<6■,（2）@—<a<2,@3-m<a+b<4-m

【分析】（1）仿照阅读材料求出x+y的取值范围；

（2）解出一元一次不等式组，仿照阅读材料求出a和a+b的取值范围.

【详解】解：（1）■.-x-y=4,

：.x—y+4,

又x>3,

,-.y+4>3,

y>-1,

又"1,

….①

同理，可得3c尤<5….②

（T）+（2）,得-1+3<X+J/<1+5,

即2<x+y<6,

■■-x+y的取值范围是2<x+y<6,

故答案为：2<x+y<6；

（x=a-2

（2）解方程组得，、

[y=2。­3

x<0,y>0,

二a—2<0,2。—3>0,

3

解得，!<«<2,

a-b=m,

■■b=a-m,

贝！]3—a<2a—a<4—7〃,

.,■3—m<a+b<4—m.

【点睛】本题考查的是一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式的

解法、理解阅读材料是解题的关键.

8.为开展“校园读书活动”，雅礼中学读书会计划采购数学文化和文学名著两类书籍共100

本.经了解，购买20本数学文化和50本文学名著共需1700元，30本数学文化比30本文

学名著贵450元.（注：所采购的同类书籍价格都一样）

（1）求每本数学文化和文学名著的价格；

（2）若校园读书会要求购买数学文化本数不少于文学名著，且总费用不超过2780元，请求

出所有符合条件的购书方案.

【答案】（1）每本数学文化的价格为35元，每本文学名著的价格为20元；（2）见解析.

【分析】（1）设每本数学文化的价格为x元，每本文学名著的价格为y元，根据“购买20

本数学文化和50本文学名著共需1700元，30本数学文化比30本文学名著贵450元”，即

可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买数学文化m本，则购买文学名著（100-m）本，根据购买数学文化本数不少于

文学名著且总费用不超过2780元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出关

于m的取值范围，结合m为整数即可得出结论.

【详解】解：（1）设每本数学文化的价格为x元，每本文学名著的价格为y元，

20x+50y=1700

依题意，得:

30x-30尸450

尤=35

解得:

y=20

答：每本数学文化的价格为35元，每本文学名著的价格为20元.

（2）设购买数学文化m本，则购买文学名著（100-m）本,

m>100-m

依题思，得：|35m+20（100-m）<2780）

解得：50<m<52.

•；m为整数，

二共有三种购书方案，

方案1：购进数学文化50本，文学名著50本；

方案2：购进数学文化51本，文学名著49本；

方案3：购进数学文化52本，文学名著48本.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是:

（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一

元一次不等式组.

考点4：利用不等式计算获利问题

方法点拨：（1）了解售价、进价、利润、利润率的关系：利润=销售额一成本;

销售额=售价X数量；利润=成本X利润率成本；（2）根据题中关键句子及

字眼找不等关系：“大于”“小于”等字眼找不等关系；通过分析解题过程,

思考和总结解题的步骤；（3）掌握利用一元一次不等式解决实际问题的步骤。

1.某商店需要购进甲、乙两种商品共180件其进价和售价如表：（注：获利=售价进价）

（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？

（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪

几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案.

甲乙

进价（元/件）1435

售价（元/件）2043

【答案】（1）甲种商品购进100件，乙种商品购进80件.（2）有三种购货方案，见解析,

其中获利最大的是方案一.

【分析】（1）等量关系为：甲件数+乙件数=180；甲总利润+乙总利润=1240.

（2）设出所需未知数，甲进价x甲数量+乙进价x乙数量＜5040；甲总利润+乙总利润〉

1312.

【详解】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件.

+y=180[x=100

根据题意得：L解得：sn.

[6x+8〉=1240[y=80

答：甲种商品购进100件，乙种商品购进80件；

（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（180-。）件.根据题意得：

J14fl+35（180-a）＜5040

16a+8（180-a）