2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3第3课时余弦定理正弦定理应用举例练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE第六章6.46.4.3第3课时A级——基础过关练1．某视察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在视察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在视察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为()A．500米 B．600米C．700米 D．800米【答案】C【解析】由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°.利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos120°，所以AB＝700米．故选C．2．(2024年衡水期中)在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，若满意条件c＝4，∠B＝60°的三角形的解有两个，则b的长度范围是()A．(0,2) B．(2,4)C．(2eq\r(3)，4) D．(4，＋∞)【答案】C【解析】因为满意条件c＝4，∠B＝60°的三角形的解有两个，所以csinB＜b＜c，即2eq\r(3)<b<4，即b的取值范围为(2eq\r(3)，4)．故选C．3．(多选)在△ABC中，已知(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，给出下列结论，其中正确结论是()A．由已知条件，这个三角形被唯一确定B．△ABC肯定是钝三角形C．sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3D．若b＋c＝8，则△ABC的面积是eq\f(15\r(3),2)【答案】BC【解析】∵(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，∴设a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k(k＞0)，得a＝eq\f(7,2)k，b＝eq\f(5,2)k，c＝eq\f(3,2)k，则a∶b∶c＝7∶5∶3，则sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3，故C正确．由于三角形ABC的边长不确定，则三角形不确定，故A错误．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(25,4)k2＋\f(9,4)k2－\f(49,4)k2,2×\f(5,2)×\f(3,2)k2)＝－eq\f(1,2)＜0，则A是钝角，即△ABC是钝角三角形，故B正确．若b＋c＝8，则eq\f(5,2)k＋eq\f(3,2)k＝4k＝8，则k＝2，即b＝5，c＝3，A＝120°，∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4)，故D错误．故选BC．4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为()A．20m B．30mC．40m D．60m【答案】C【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，在△ABD中，易知∠A＝30°，∠ADB＝60°－30°＝30°，∴△ABD为等腰三角形，即AB＝BD＝40(m)．5．(2024年让胡路区校级月考)在△ABC中，D为BC边上的一点，满意BD＝33，sinB＝eq\f(5,13)，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，则AD的长为()A．30 B．35C．20 D．25【答案】D【解析】由cos∠ADC＝eq\f(3,5)＞0，则∠ADC＜eq\f(π,2)，又由已知D为BC边上的一点，得B＜∠ADC，得B＜eq\f(π,2)，由sinB＝eq\f(5,13)，得cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(12,13).同理由cos∠ADC＝eq\f(3,5)，得sin∠ADC＝eq\f(4,5).则sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(4,5)×eq\f(12,13)－eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(33,65).由正弦定理eq\f(AD,sinB)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，得AD＝eq\f(BD,sin∠BAD)×sinB＝eq\f(33×\f(5,13),\f(33,65))＝25.故选D．6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．【答案】eq\r(2)【解析】如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)(千米)．7．如图所示，在高速马路建设中须要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km.【答案】eq\r(3)【解析】在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得AB＝eq\f(BCsinC,sinA)＝2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)(km)．8．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过eq\r(3)h，该船实际航程为________km.【答案】6【解析】如图所示，在△ACD中，AC＝2eq\r(3)，CD＝4eq\r(3)，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2eq\r(3)×4eq\r(3)×eq\f(1,2)＝36.∴AD＝6.即该船实际航程为6km.9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosB＝eq\f(4,5)，b＝2.(1)当A＝eq\f(π,6)时，求a的值；(2)若△ABC的面积为3，求a＋c的值．解：(1)因为cosB＝eq\f(4,5)>0，所以B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).所以sinB＝eq\f(3,5).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(a,sin\f(π,6))＝eq\f(10,3)，解得a＝eq\f(5,3).(2)由△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB，得eq\f(1,2)ac×eq\f(3,5)＝3，得ac＝10.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得4＝a2＋c2－eq\f(8,5)ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20，所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40.所以a＋c＝2eq\r(10).10．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．解：如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30m，∴BC＝30m.在Rt△ABD中，BD＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m)．在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30(m)，即两船相距30m.B级——实力提升练11．如图所示，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60m，则河流的宽度BC是()A．240(eq\r(3)－1)mB．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)mD．30(eq\r(3)＋1)m【答案】C【解析】由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq\r(3)－1)(m)．12．(2024年德州期中)中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱须要46秒，某校周一实行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最终一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最终一排的距离为10eq\r(2)米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()A．eq\f(3\r(3),23)米/秒B．eq\f(5\r(3),23)米/秒C．eq\f(7\r(3),23)米/秒D．eq\f(8\r(3),23)米/秒【答案】B【解析】如图所示，依题意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理知eq\f(CE,sin∠EAC)＝eq\f(AC,sin∠AEC)，∴AC＝eq\f(10\r(2),sin30°)×sin45°＝20(米)，∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3)(米)．∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为eq\f(10\r(3),46)＝eq\f(5\r(3),23)(米/秒)．故选B．13．(2024年北京期末)已知等边△ABC边长为3，点D在BC边上，且BD＞CD，AD＝eq\r(7).下列结论中错误的是()A．eq\f(BD,CD)＝2 B．eq\f(S△ABD,S△ACD)＝2C．eq\f(cos∠BAD,cos∠CAD)＝2 D．eq\f(sin∠BAD,sin∠CAD)＝2【答案】C【解析】在△ACD中，由余弦定理有AD2＝CD2＋AC2－2CD·AC·cos60°，即7＝CD2＋9－3CD，解得CD＝1或CD＝2.又BD＞CD，故CD＝1，BD＝2，∴eq\f(BD,CD)＝2，即选项A正确.eq\f(S△ABD,S△ACD)＝eq\f(BD,CD)＝2，故选项B正确．在△ABD中，由余弦定理有cos∠BAD＝eq\f(9＋7－4,2×3×\r(7))＝eq\f(2\r(7),7)，在△ACD中，由余弦定理有cos∠CAD＝eq\f(9＋7－1,2×3×\r(7))＝eq\f(5\r(7),14)，∴eq\f(cos∠BAD,cos∠CAD)＝eq\f(\f(2\r(7),7),\f(5\r(7),14))＝eq\f(4,5)，故选项C错误．sin∠BAD＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(7),7)))2)＝eq\f(\r(21),7)，sin∠CAD＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(7),14)))2)＝eq\f(\r(21),14)，∴eq\f(sin∠BAD,sin∠CAD)＝2，故选项D正确．综上，错误的是选项C．故选C．14．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B．灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停岸着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°，与A相距3eq\r(2)海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，此时乙船与灯塔A之间的距离为______海里，两艘轮船之间的距离为______海里．【答案】5eq\r(13)【解析】连接AC，由题意可知AB＝BC＝5，∠ABC＝60°，可得AC＝5，∠BAC＝60°.在△ACD中，∠CAD＝45°，依据余弦定理可得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos∠CAD＝25＋18－2×5×3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝13.故乙船与灯塔A之间的距离为5海里，两艘轮船之间的距离为eq\r(13)海里．15．(2024年广州月考)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30eq\r(2)海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心马上把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为________．【答案】eq\f(\r(17),17)【解析】在△ABC中，AB＝30eq\r(2)，AC＝20，∠BAC＝135°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos135°＝3400，所以BC＝10eq\r(34).由正弦定理得sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(3\r(34),34).由∠BAC＝135°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝eq\f(5\r(34),34).故cosθ＝cos(∠ACB＋45°)＝cos∠ACB·cos45°－sin∠ACBsin45°＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(34),34)－\f(3\r(34),34)))＝eq\f(\r(17),17).16．(2024年南阳期末)如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝c(sinB＋cosB)．(1)求∠ACB的大小；(2)若∠ABC＝∠ACB，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．解：(1)在△ABC中，∵a＝c(sinB＋cosB)，∴sinA＝sinC(sinB＋cosB)．∴sin(π－B－C)＝sinC(sinB＋cosB)．∴sin(B＋C)＝sinC(sinB＋cosB)．∴sinBcosC＋cosBsinC＝sinBsinC＋sinCcosB．∴sinBcosC＝sinBsinC．又∵B∈(0，π)，故sinB≠0，∴cosC＝sinC，即tanC＝1.又∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).(2)在△BCD中，DB＝2，DC＝1，∴BC2＝12＋22－2×1×2×cosD＝5－4cosD．又∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ACB＝eq\f(π,4)，∴△ABC为等腰直角三角形．∴S△ABC＝eq\f(1,2)×BC×eq\f(1,2)×BC＝eq\f(1,4)BC2＝eq\f(5,4)－cosD．又∵S△BDC＝eq\f(1,2)×BD×DC×sinD＝sinD，∴S四边形ABDC＝eq\f(5,4)－cosD＋sinD＝eq\f(5,4)＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(D－\f(π,4))).∴当D＝eq\f(3π,4)时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为eq\f(5,4)＋eq\r(2).17．(2024年上海月考)如图，某市郊外景区内一条笔直的马路a经过三个景点A，B，C，景区管委会又开发了风景美丽的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km.(1)景区管委会打算由景点D向景点B修建一条笔直的马路，不考虑其他因素，求出这条马路的长；(结果精确到0.1km)(2)求景点C与景点D之间的距离．(结果精确到0.1km)参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，eq\r(6)≈2.449.解：(1)如图，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F.在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AF＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×8＝4.∴DF＝eq\r(AD2－AF2)＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3).在Rt△ABF中，BF＝eq\r(AB2－AF2)＝eq\r(52－42)＝3，∴BD＝DF－BF＝4eq\r(3)－3≈3.9