江苏省南京市玄武区九年级（上）期末数学试卷押题卷解析版

2019-2020学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个

选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答

题卷相应位置上）

题卡相应位置上）

1.（2分）下列函数中，二次函数的是(

A.y=2x2+lB.y=2x+l

C.D.y=x2-(x-1)2

x

2.（2分）下列说法中，正确的是()

A.任意两个矩形都相似

B.任意两个菱形都相似

C.相似图形一定是位似图形

D.位似图形一定是相似图形

3.(2分)在Z^ABC中,ZC=90°,AC=1,BC=2,则cosA的值是（）

2疾

A-2B.VsD.

4.（2分）已知圆锥的底面半径为2,母线长为4,则其侧面积为（）

A.6nB.8nC.16nD.32n

5.（2分）某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛.在

选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示:

甲乙丙T

平均数/环9.79.59.59.7

方差/环25.14.74.54.5

请你根据表中数据选一人参加比赛,最合适的人选是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

6.（2分）若二次函数y=x?+（m+1）x-m的图象与坐标轴只有两个交点，则满

足条件的m的值有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请

把答案直接填写在答题卷相应位置上）

（2分）已知三=3,贝IJ也=

y5y-x

8.（2分）已知方程x2+mx-3=0的一个根是1,则它的另一个根是.

9.（2分）晨光中学规定学生的体育成绩满分为100分，其中早操及体育课外活

动占20%,期中考试成绩占30%,期末考试成绩占50%,小惠的三项成绩依

次是95分，90分，85分，小惠这学期的体育成绩为分.

10.（2分）据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时人体感到最舒

适.因此夏天使用空调时，如果人的体温按36.5度算，那么室内温度约调

到°C最适合.（结果保留到个位数字）

11.（2分）如图，AB是。。的直径，C、D是。。上的两点，若NABD=62。，则

ZBCD=.

12.（2分）2014年的圣诞节初三年级的一名同学用一张半径为24cm的扇形纸

做一个如图所示的圆锥形的圣诞帽侧面（接缝处忽略不计），如果做成的圆锥

形圣诞帽的底面半径为10cm,那么这张扇形纸的面积是

13.（2分）抛物线的部分图象如图所示，则当y<0时，x的取值范围是

14.（2分）如表是二次函数y=ax?+bx+c（aWO）的自变量x与函数值y的对应关

系，一元二次方程ax?+bx+c=2（aWO）的一个解x的取值范围是.

10

x6.16.26.36.4

y=ax2+bx+c-0.3-0.10.20.4

15.（2分）如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m,

当水面下降3m时，水面的宽为m.

16.（2分）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE_LEF,EF_LFC,并

且AE=3,EF=4,FC=5,则正方形ABCD的外接圆的半径是

0

三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（8分）解下列方程：

（1）x2-4x-1=0

（2）x（2x-3）=3-2x

18.（6分）中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、

南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国

家兴亡，匹夫有责"，某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选

5名同学参加"国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：

平均数中位数众数方差

甲班8.58.5——

乙班8.5—101.6

（2）根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的

成绩较好.

19.（8分）不透明布袋内装有形状、大小、质地完全相同的4个小球，分别标

有数字1,2,3,4.

（I）从布袋中随机地取出一个小球，求小球上所标的数字不为2的概率；

（H）从布袋中随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为X,不将取出的

小球放回布袋，再随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为y,这样就

确定点E的一个坐标为（x,y）,求点E落在直线y=x+l上的概率.

20.（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格

点间连线为边的三角形称为“格点三角形"，图中的^ABC就是格点三角形，建

立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0,-1）.

（1）在如图的方格纸中把^ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比

为1：2,画出△AiBiCi（△ABC与△AiBiCi在位似中心。点的两侧，A,B,C

的对应点分别是Ai,Bi,Ci）.

（2）利用方格纸标出△AiBiCi外接圆的圆心P,P点坐标是,©P的半

径=.（保留根号）

21.(6分)已知二次函数y二ax2+bx-3的图象经过点A(2,-3),B(-1,0).

(1)求二次函数的解析式；

(2)填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上

平移个单位.

22.(8分)如图,在等边4ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且NAPD=60。，

BP=1,CD=Z.

3

(1)求证：△ABPS^PCD；

(2)求△ABC的边长.

23.(6分)某学习小组在研究函数y=Lx3-2x的图象与性质时，己列表、描点

6

并画出了图象的一部分.

x-4-3-2-1o1233.54

3.

5

_33_8110-_3378

232483

711

486

（1）请补全函数图象；

（2）方程［x3-2x=-2实数根的个数为

6

（3）观察图象，写出该函数的两条性质.

>4

24.（8分）如图，身高1.6米的小明站在距路灯底部。点10米的点A处，他的

身高（线段AB）在路灯下的影子为线段AM,已知路灯灯杆OQ垂直于路面.

（1）在OQ上画出表示路灯灯泡位置的点P;

（2）小明沿AO方向前进到点C,请画出此时表示小明影子的线段CN；

（3）若AM=2.5米，求路灯灯泡P到地面的距离.

•Q

\D4

O~C/二-

25.（10分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，

市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下

关系：y=-2x+80（20WxW40）,设这种健身球每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多

少元？

（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健

身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？

26.（10分）如图，AB为。。的直径，PD切。。于点C,与BA的延长线交于点

D,DE，PO交PO延长线于点E,连接PB,ZEDB=ZEPB.

(1)求证：PB是。。的切线.

(2)若PB=3,DB=4,求DE的长.

27.(12分)如图，已知抛物线y=-之x2+bx+c与坐标轴交于A,B,C三点，点

4

A的横坐标为-1,过点C(0,3)的直线y=-旦x+3与x轴交于点Q,点P

4t

是线段BC上的一个动点，PHLOB于点H.若PB=5t,且OVtVl.

(1)确定b,c的值；

(2)写出点B,Q,P的坐标(其中Q,P用含t的式子表示)；

(3)依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出

所有t的值；若不存在，说明理由.

2019-2020学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个

选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答

题卷相应位置上）

1.（2分）下列函数中，二次函数的是（）

A.y=2x2+lB.y=2x+l

C.y=—D.y=x2-（x-1）2

x

【分析】根据二次函数的定义即可判断；

【解答】解：A、y=2x2+l是二次函数；

B、y=2x+l是一次函数；

C、y=2是反比例函数；

x

D、y=x2-（x-1）2,即y=2x-1是一次函数，

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的定义，解题的关键是为了掌握基本知识，属于中考

基础题.

2.（2分）下列说法中，正确的是（）

A.任意两个矩形都相似

B.任意两个菱形都相似

C.相似图形一定是位似图形

D.位似图形一定是相似图形

【分析】根据相似图形的定义，矩形、菱形、位似图形的性质即可判断；

【解答】解：A、错误.四个角相等，但是边不一定成比例；

B、错误.四条边成比例，但是角不一定相等；

C、错误.相似图形不一定是位似图形；

D、正确.位似图形，一定相似；

故选：D.

【点评】本题考查相似图形的定义，矩形、菱形、位似图形的性质等知识，解题

的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

3.（2分）在^ABC中，NC=90。，AC=1,BC=2,则cosA的值是（）

A.1.B.A/5C.逅D.2疾

255

【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可.

【解答】解：在RtaACB中,ZC=90°,AC=1,BC=2,

AB=VAC2+BC2=Vl2+22=巡’

cosA=&=_^=,

AB遍5

故选：C.

【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是

在直角三角形中，此外还有熟记三角函数是定义.

4.（2分）已知圆锥的底面半径为2,母线长为4,则其侧面积为（）

A.6nB.8nC.16RD.32R

【分析】圆锥的侧面积=底面周长x母线长+2,把相应数值代入即可求解.

【解答】解：圆锥的侧面积=2TIX2X4+2=8TI,

故选：B.

【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，解题的关键是熟记圆锥的侧面积的计算

公式.

5.（2分）某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛.在

选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示：

甲乙丙T

平均数/环9.79.59.59.7

方差/环25.14.74.54.5

请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,

方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越

小，数据越稳定.

【解答】解：：S甲2=5.1,s-=4.7,S丙2=4.5,S丁2=4.5,

*,•S甲2>S乙2>S2丁=$2丙，

•••丁的平均数大，

I.最合适的人选是丁.

故选：D.

【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越

大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方

差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，

数据越稳定.

6.（2分）若二次函数y=x?+（m+1）x-m的图象与坐标轴只有两个交点，则满

足条件的m的值有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数的性质进而分析得出答案.

【解答】解：•.•抛物线与y一定有一个交点，

而抛物线与坐标轴只有两个交点，

...抛物线与x轴可能只有一个公共点，

（m+1）2-4（-m）=0,

整理得m2+6m+l=0,

解得：rni=-3+2我，32=-3-2我，

当图象经过原点时，-m=0,此时图象与坐标轴只有两个交点，

故符合题意的m的值有3个.

故选：C.

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确把握相关性质是解题关键.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请

把答案直接填写在答题卷相应位置上）

7.（2分）已知三=3，则也=4.

y5y-x

【分析】根据等式的性质，可用y表示x,根据等式的性质，可得答案.

【解答】解：x=ly.

5

y+x=

y-x3

y-5y

故答案为：4.

【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质是解题关键.

8.（2分）已知方程x2+mx-3=0的一个根是1,则它的另一个根是-3.

【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与

系数的关系进行计算.

【解答】解：设方程的另一根为X1，

根据根与系数的关系可得：xi・l=-3,

解得Xi=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的根与系数的关系：若方

程两根为Xi,X2,MXi+X2=--,X1«X2=—.

aa

9.（2分）晨光中学规定学生的体育成绩满分为100分，其中早操及体育课外活

动占20%,期中考试成绩占30%,期末考试成绩占50%,小惠的三项成绩依

次是95分，90分，85分，小惠这学期的体育成绩为88.5分.

【分析】利用加权平均数的公式直接计算.用95分，90分，85分别乘以它们的

百分比，再求和即可.

【解答】解：小惠这学期的体育成绩=（95X20%+90X30%+85X50%）=88.5（分）.

故答案为88.5.

【点评】本题考查了加权成绩的计算.

10.（2分）据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时人体感到最舒

适.因此夏天使用空调时，如果人的体温按36.5度算，那么室内温度约调到

23℃最适合.（结果保留到个位数字）

【分析】利用黄金分割的定义用36.5-C乘以0.618即可.

【解答】解：36.5℃X0.618=23℃.

所以如果人的体温按36.5度算，那么室内温度约调到23℃最适合.

故答案为23.

【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,

且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC）,叫做把线段AB黄金

分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.其中AC=Y"±AB=0.618AB,并且线

2

段AB的黄金分割点有两个.

11.（2分）如图，AB是。。的直径，C、D是。。上的两点，若NABD=62。，则

ZBCD=28°.

【分析】根据圆周角定理的推论由AB是。0的直径得NADB=90。，再利用互余

计算出NA=90。-NABD=28。，然后再根据圆周角定理求/BCD的度数.

【解答】解：：AB是。。的直径，

AZADB=90°,

VZABD=62°,

AZA=90°-ZABD=28°,

，NBCD=NA=28°.

故答案为280.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相

等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周

角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

12.（2分）2014年的圣诞节初三年级的一名同学用一张半径为24cm的扇形纸

做一个如图所示的圆锥形的圣诞帽侧面（接缝处忽略不计），如果做成的圆锥

形圣诞帽的底面半径为10cm,那么这张扇形纸的面积是240Tl

cm2.

【分析】易得圆锥的底面周长，利用侧面积公式可得扇形纸片的面积.

【解答】解：•.•圆锥的底面周长为20兀，

扇形纸片的面积=1X20nX24=240ncm2.

2

故答案为240n.

【点评】此题考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长=侧面展开图

的弧长；圆锥的侧面积=LLR.

2

13.（2分）抛物线的部分图象如图所示，则当y<0时，x的取值范围是x>3

或x<-1.

【分析】由函数图象可知抛物线的对称轴为x=l,从而可得到抛物线与x轴的另

一个交点坐标为（3,0）,y<0,找出抛物线位于x轴下方部分x的取值范围

即可.

【解答】解：根据函数图象可知：抛物线的对称轴为x=l,抛物线与x轴一个交

点的坐标为（-1,0）,

由抛物线的对称性可知：抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3,0）.

Vy<0,

.,.x>3或x<-1.

故答案为：x>3或x<-1.

【点评】本题主要考查的是二次函数与不等式的关系，根据函数图象确定出抛物

线与X轴两个交点的坐标是解题的关键.

14.（2分）如表是二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的自变量x与函数值y的对应关

系，一元二次方程ax?+bx+c=W（aWO）的一个解x的取值范围是6.3<x<

10

6.4.

X6.16.26.36.4

y=ax2+bx+c-0.3-0.10.20.4

【分析】观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在6.2〜6.3之间由

负到正，故可判断ax2+bx+c=，L时，对应的x的值在6.3〜6.4之间.

10

【解答】解：由表格中的数据看出-0.1和0.2更接近于0,故一元二次方程

ax2+bx+c=-A（aWO）的一个解x的取值范围是6.：3<x<6.4.

10

故答案为:6.3<x<6.4.

【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由

正变为负时，自变量的取值即可.

15.（2分）如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m,

当水面下降3m时，水面的宽为6迫m.

【分析】根据题意可以建立相应的平面直角坐标系，从而可以求得抛物线的解析

式，进而求得当水面下降3m时，水面的宽.

【解答】解：以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如右图所示，

设抛物线的解析式为y=ax2,

•.•点（6,-4）在函数图象上，

-4=aX62,得a=」，

9

y=」乂2，

9*

当y=-7时,

2

-7=_Xx,

9

得X1=-W7，X2:3收,

...当水面下降3m时，水面的宽为：W7Y-3近）=65nm,

故答案为：6./y.

【点评】本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是建立合适的平面直角

坐标系，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答.

16.（2分）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE_LEF,EF±FC,并

且AE=3,EF=4,FC=5,则正方形ABCD的外接圆的半径是，亚

0一

【分析】首先连接AC,则可证得△AEMs^CFM,根据相似三角形的对应边成

比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，进而

得到AC的长，在RQABC中，由AB=AC・sin45。，即可求出正方形的边长

【解答】解：连接AC,

VAE±EF,EF±FC,

AZE=ZF=90°,

VZAME=ZCMF,

•AE=EM

**CF丽，

VAE=3,EF=4,FC=5,

­EM=3

,•布T

.*.**EM=1.5,FM=2.5,

在RgAEM中，AM=〃E2+E产孚'

在Rt^FCM中，CM=7CF2+FM2=,

，AC=4近，

I.正方形ABCD的外接圆的半径是2疾,

故答案为：2旄.

©

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的应

用.此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用.

三、解答题(本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(8分)解下列方程：

(1)x2-4x-1=0

(2)x(2x-3)=3-2x

【分析】(1)方程利用配方法求出解即可；

(2)方程整理后，利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：(1)方程整理得：x2-4x=l,

配方得：x2-4x+4=5,即(x-2)2=5,

开方得：x-2=±辰,

解得：XI=2+A/5>X2=2-Vs；

(2)方程整理得：x(2x-3)+(2x-3)=0,

分解因式得：(2x-3)(x+1)=0,

解得：X1=1.5,X2=-1.

【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，以及因式分解法，熟练掌握各种

解法是解本题的关键.

18.(6分)中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、

南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国

家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选

5名同学参加"国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示:

（1）根据上图填写下表:

平均数中位数众数方差

甲班8.58.58.50.7

乙班8.58101.6

（2）根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的

成绩较好.

【分析】（1）利用条形统计图，结合众数、方差、中位数的定义分别求出答案;

（2）利用平均数、众数、方差、中位数的定义分析得出答案.

【解答】解：（1）甲的众数为：8.5分，

方差为：工[（8.5-8.5）2+（7.5-8.5）2+（8-8.5）2+（8.5-8.5）2+（10-8.5）

5

2]

=0.7分，

乙的中位数是：8分；

故答案为：8.5,0.7,8；

（2）从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；

从中位数看，甲班的中位数大，所以甲班的成绩较好；

从众数看，乙班的众数大，所以乙班的成绩较好；

从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定.

【点评】此题主要考查了平均数、众数、方差、中位数的定义，正确把握相关定

义是解题关键

19.（8分）不透明布袋内装有形状、大小、质地完全相同的4个小球，分别标

有数字1,2,3,4.

（I）从布袋中随机地取出一个小球，求小球上所标的数字不为2的概率；

（H）从布袋中随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为X,不将取出的

小球放回布袋，再随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为y,这样就

确定点E的一个坐标为（x,y）,求点E落在直线y=x+l上的概率.

【分析】（］）让不是2的情况数除以总情况数即为小球上所标的数字不为2的

概率；

（H）列举出所有情况，看点E落在直线y=x+l上的情况数占所有情况数的多少

即可.

【解答】解：（］）P=2.（3分）

4

满足条件的点有：（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,

（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,共12个，（5分）

其中落在直线y=x+l上的有（1,2）,（2,3）,（3,4）三个，（7分）

P=_2_=L（8分）

124

【点评】考查用列树状图的方法解决概率问题；得到点E落在直线y=x+l上的情

况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数

之比.

20.（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格

点间连线为边的三角形称为“格点三角形"，图中的^ABC就是格点三角形，建

立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0,-1）.

（1）在如图的方格纸中把^ABC以点。为位似中心扩大，使放大前后的位似比

为1：2,画出△AiBiCi（△ABC与△AiBiJ在位似中心。点的两侧，A,B,C

的对应点分别是Ai，Bi，Ci）.

（2）利用方格纸标出△AiBiCi外接圆的圆心P,P点坐标是（3,1）,OP

的半径=_阮_.（保留根号）

【分析】（1）延长B0到Bi,使BQ=2B0,则点Bi为点B的对应点，同样方法

作出点A和C的对应点Ai、Ci,则△AiBiCi满足条件；

（2）利用网格特点，作AiJ和CiBi的垂值平分线得到△AiBiCi外接圆的圆心P,

然后写出P点坐标和计算PA】.

【解答】解：（1）如图，△AiBiCi为所作；

（2）点P的坐标为（3,1）,

PAi=[12+32=6,即。P的半径为1，

故答案为：（3,1）、VTo-

【点评】本题考查了作图-位似变换：①确定位似中心；②分别连接并延长位似

中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的

关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.也考查了三角形的

外心.

21.(6分)已知二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点A(2,-3),B(-1,0).

(1)求二次函数的解析式；

(2)填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上

平移4个单位.

【分析】(1)将A(2,-3),B(-1,0)代入y=ax2+bx-3,用待定系数法即

可求得二次函数的解析式；

(2)利用顶点坐标公式可求出图象沿y轴向上平移的单位.

【解答】解：(1)由已知，有”a+2b-3=-3,即”a+2b=0,解得］a=l

1a-b-3=0la-b=3lb=-2

所求的二次函数的解析式为y=x2-2x-3.

2

(2)--L=1,4ac-b….

2a4a

,顶点坐标为(1,-4).

二次函数的图象与x轴只有一个交点，

应把图象沿y轴向上平移4个单位.

【点评】考查利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选

择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.二次函数的图象与x轴只有

一个交点，即顶点的纵坐标为0.

22.(8分)如图,在等边4ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且NAPD=60。，

BP=1,CD=Z.

3

(1)求证：△ABPS^PCD；

(2)求4ABC的边长.

【分析】(1)根据等边三角形性质求出AB=BC=AC,NB=NC=60。，推出NBAP=

ZDPC,即可得出结论；

（2）与相似三角形的性质得出比例式，代入求出AB即可.

【解答】（1）证明：•••△ABC是等边三角形，

.\AB=BC=AC,NB=NC=60°,

AZBAP+ZAPB=180°-60°=120°,

VZAPD=60",

ZAPB+ZDPC=180°-60°=120°,

AZBAP=ZDPC,

即NB=NC,ZBAP=ZDPC,

.,.△ABP^APCD；

（2）解：VAABP^APCD,

•ABBP

'*CP'=CD，

VCD=2,CP=BC-BP=x-1,BP=1,

3

即*J

X-1~2_'

~3

解得：AB=3.

即aABC的边长为3

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内

角和定理的应用，关键是推出△ABPs/XPCD,主要考查了学生的推理能力和

计算能力.

23.（6分）某学习小组在研究函数y=Lx3-2x的图象与性质时，已列表、描点

6

（1）请补全函数图象;

(2)方程工x3-2x=-2实数根的个数为3

6

(3)观察图象，写出该函数的两条性质.

冲

【分析】(1)用光滑的曲线连接即可得出结论；

(2)根据函数y=lx3-2x和直线y=-2的交点的个数即可得出结论;

6

(3)根据函数图象即可得出结论.

【解答】解：(1)补全函数图象如图所示，

(2)如图1,

作出直线y=-2的图象，

由图象知，函数y=lx3-2x的图象和直线y=-2有三个交点,

6

，方程Lx?-2x=-2实数根的个数为3,

6

故答案为3；

(3)由图象知，

1、此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值，

2、止匕函数在x<-2和x>2,y随x的增大而增大，

3、此函数图象过原点，

4、此函数图象关于原点对称.

【点评】此题主要考查了函数图象的画法，利用函数图象确定方程解的个数的方

法，解本题的关键是补全函数图象.

24.(8分)如图，身高1.6米的小明站在距路灯底部。点10米的点A处，他的

身高(线段AB)在路灯下的影子为线段AM,已知路灯灯杆OQ垂直于路面.

(1)在OQ上画出表示路灯灯泡位置的点P;

(2)小明沿AO方向前进到点C,请画出此时表示小明影子的线段CN；

(3)若AM=2.5米，求路灯灯泡P到地面的距离.

•2

：D勺

0~cAM-

【分析】（l）MB的延长线与OQ的交点为P；

（2）连接PD并延长交路面于点N；

（3）利用相似三角形对应边成比例列式列式即可得解.

【解答】解：（1）如图：

，2

OC4A/

(2)如图:

%

（3）：AB〃OP,

/.△MAB^AMOP,

•AB_AMpn1.6-2.5

OPOMOP10+2.5

解得OP=8.

即路灯灯泡P到地面的距离是8米.

【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解

答此题的关键.

25.（10分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元,

市场调查发现，该种健身球每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下

关系：y=-2x+80(20WxW40),设这种健身球每天的销售利润为w元.

(1)求w与x之间的函数关系式；

(2)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多

少元？

(3)如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健

身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？

【分析】(1)根据“每天的销售禾4润=每个球的利润X每天的销售量"可得函数解

析式；

(2)将(1)中所得函数解析式配方成顶点式，利用二次函数的性质解答可得;

(3)根据题意列出w=150时关于x的一元二次方程,解之得出x的值,再根据“销

售单价不高于28元"取舍即可得.

【解答】解：(1)根据题意可得：w=(x-20)-y

=(x-20)(-2x+80)

=-2x2+120x-1600,

w与x之间的函数关系为：w=-2X2+120X-1600；

(2)根据题意可得：w=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200,

：-2<0,

・•.当x=30时，w有最大值，w最大值为200.

答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.

(3)当w=150时，可得方程-2(x-30)2+200=150.

解得xi=25,X2=35,

V35>28,

.•.X2=35不符合题意，应舍去.

答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25

元.

【点评】本题考查了二次函数的实际应用：利用二次函数解决利润问题，在商品

经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是

通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变

量X的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意

自变量X的取值范围.

26.（10分）如图，AB为。。的直径，PD切。。于点C,与BA的延长线交于点

D,DELPO交PO延长线于点E,连接PB,NEDB=NEPB.

（1）求证：PB是。。的切线.

（2）若PB=3,DB=4,求DE的长.

【分析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，

利用相似三角形对应角相等得到NOBP为直角，即可得证；

（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由

切线长定理得到PC=PB,由PD-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设

OC=r,则有OD=8-r,利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r

的值，然后通过相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】（1）证明：•.,在△口£（?和△PBO中，NEDB=NEPB,ZDOE=ZPOB,

AZOBP=ZE=90°,

：OB为圆的半径，

...PB为圆0的切线；

(2)解：在Rt/XPBD中,PB=3,DB=4,

根据勾股定理得：PD=^32+42=5,

：PD与P