人教版九年级数学上册期中押题1卷

期中押题培优01卷

（考试范围21.1-24.2）

一、单选题（共16分）

1.（本题2分）把一元二次方程无（2x-l）=x-3化为一般形式，正确的是（）

A.2尤2+3=0B.2X2-2X-3=0

C.2X2-X+2=0D.2尤2—2X+3=0

【答案】D

【分析】将方程整理为一般式即可.

【详解】解：x（2x-l）=x-3,

2尤~-x—x—3，

即2f-2x+3=0.

故选：D.

【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式的形式为

ax?+bx+c=0（a片0）是解题的关键.

2.（本题2分）点尸（2,3）关于原点对称的点p的坐标是（）

A.（2,-3）B.（-2,3）C.（-2,-3）D.（3,2）

【答案】C

【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，据此判断即可.

【详解】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”可知：

点P（2,3）关于原点对称的点的坐标是（-2,-3）.

故选：C.

【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐

标互为相反数.

3.（本题2分）已知点A（—2,y）,5（2,乃），。（3,%）均在抛物线y=；（xTy+左上，则%,%，%

的大小关系为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线.『1,根据后1时，y随x的增

大而增大，即可得出答案.

1,

【详解】解：•••y=5(x-iy+左，

...抛物线的开口向上，对称轴是直线A1,

；.尤之1时，y随X的增大而增大，

又•.•4(—2,%)关于直线x=l的对称点是(4,%),3(2,%),C(3,%)

而2<3<4,

/.%<%<%，

故选：D.

【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握,

能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键.

4.(本题2分)用配方法解方程/一2犬-3=0时，原方程应变形为()

A.(x+1)2=4B.(^-1)2=4C.(尤+2『=7D.(x-2)2=7

【答案】B

［分析］利用完全平方公式储±2"+"=(0土6)2进行配方即可得.

【详解】解：尤2-2尤一3=0,

/一2尤=3,

x~—2x+1=3+1,

(1)2=4,

故选：B.

【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键.

5.(本题2分)将矩形ABC。绕点8顺时针旋转90。后得到矩形43。。,若48=12,4。=5,贝1］_。3。

的面积为()

A.13B.26C.84.5D.169

【答案】C

【分析】首先根据旋转的性质得到0°，DB=D'B,继而得到，。即，是等腰直角三角形,

利用勾股定理求出8。的长，即可求出.Da7的面积.

【详解】解：：矩形ABCD绕点8顺时针旋转90。后得到矩形ABCD',

：.ZDBD'=9Q°,DB=D'B,

，,是等腰直角三角形，

；45=12,AD=5,

•*-BD=VAD2+AB2=A/122+52=13，

，.的面积为：xl3xl3=84.5,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质的知识，解答本题的关键是根据题意得到ADB。是等腰直角三

角形，此题难度不大.

6.（本题2分）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分,如果输水管的半径为5cm,

水面宽AB为8cm,则水的最大深度CD为（）

【答案】C

【分析】由垂径定理可知=根据勾股定理计算即可.

2

【详解】解：如图所示：

D

一输水管的半径为5cm,水面宽AB为8cm,水的最大深度为CD,

DOLAB,

/.AO=5cm,AC=—AB=4cm,

2

.-.C（9=752-42=3（cm）,

CD=5-3=2（cm）

，水的最大深度8为：2cm.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理，准确计算是解题的关键.

7.（本题2分）已知二次函数>=办2+法+C（°HO）的图象如图所示，并且关于尤的一元二次方程

ov?+Zw+c—%=。有两个不相等的实数根，下歹U结论：@b2—4ac<0;®abc>0；©a-b+c<0；

@m>-2.其中正确结论的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关

系分析得出答案.

【详解】解：观察图象得：二次函数>=加+法+或"。）的图象与x轴有两个交点，

A=Z?2-4tzc>0,故①错误；

b

观察图象得：6/>0,c<0,对称轴冗=——>0,

2a

：.b<0,

/.abc>0,故②正确；

观察图象得：当x=-i时，y>o,

「•。―b+c>0,故③错误；

观察图象得：二次函数图象开口向上，

・・・二次函数有最小值，最小值为-2,

•・・关于X的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根，

・••二次函数y=^2+"+c（〃w。）的图象与直线％=根有两个交点，

•*.m>-2,故④正确；

故选：B

【点睛】此题主要考查了二次函数图象与各项系数的关系，正确把握二次函数与方程之间的关系是

解题的关键.

8.(本题2分)如图，。。在AABC三边上截得的弦长相等，即Z)E=PG=A/N,NA=50。，贝！1480c

=()

【答案】C

【分析】过点。作。尸，AB于点P,OQLAC于点。，OKLBC于点K,由于CE=FG=MN,所以

弦的弦心距也相等，所以。8、0C是角平分线，根据/A=50。，先求出

ZABC+ZACB=180°-ZA=130°,再求出，进而可求出NBOC.

【详解】解：过点。作于点P,OQLAC于点Q,OKLBC于点K,

：.OP=OK=OQ,

：.OB、OC^^AABC^WAACB,

ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

VNA=50。,

・•・ZABC-^-ZACB=1800-ZA=130°,

ZOBC+ZOCB=-ZABC+-ZACB

22

=1(ZABC+ZACB)

=65°,

/.ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)

=180-65°

=115°

故选：C.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，角平分线的判定，三角形内角和，角平分线的定义，解题关键

是构造出辅助线一弦心距.

二、填空题（共16分）

9.（本题2分）请你用数学的眼光观察，以下历届冬奥会图标中，你最为欣赏的图标是

【答案】②既是轴对称图形，又是中心对称图形

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可.

【详解】解：我最为欣赏的图标是②，选择理由是②既是轴对称图形，又是中心对称图形

①是轴对称图形，③既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，④是轴对称图形.

故答案为：②；既是轴对称图形，又是中心对称图形.

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键.

10.（本题2分）将抛物线>向上平移3个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的解析式是

【答案】y=（x-2）2+3

【分析】根据题意可得将抛物线y=x2向上平移3个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的顶

点坐标为（2,3）,即可求解.

【详解】解：：抛物线的顶点坐标为（0,0）,

将抛物线y=V向上平移3个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标为（2,3）,

所得抛物线的解析式是y=（x-2）2+3.

故答案为：y=（x-2『+3

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移的规律是解题的关键.

11.（本题2分）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我

们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的

半径为.

【答案】2-V2##-V2+2

【分析】如图，当等弦圆。最大时，则。经过等腰直角三角形的直角顶点C,连接CO交42于凡

连接OE,DK,再证明DK经过圆心，CF±AB,分别求解AC,BC,CF,设的半径为「，再

分别表示瓦再利用勾股定理求解半径厂即可.

【详解】解：如图，当等弦圆。最大时，则，。经过等腰直角三角形的直角顶点C,连接C。交43

于凡连接OE,DK,

QCD=CK=EQJACB90?,

\?COD?COK90?,DK过圆心。，CFLAB,

QAC=BC,?ACB90?,AB2,

\AC=BC=y/2,AF=BF=CF=-AB=l,

2

设＜'O的半径为

JCD=y/r2+r2=y/2r=EQ,OF=l-丫,OE=丫,

CFLAB,

整理得：--4r+2=0,

解得：q=2+a,4=2-血,

QOC<CF,

\r=2+应不符合题意，舍去，

当等弦圆最大时，这个圆的半径为2-忘.

故答案为：2-亚

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角

之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题

的关键.

12.(本题2分)关于尤的一元二次方程/-3x-机=。有两个实数根，则机的取值范围为.

91

【答案】m>—##m>-2.25##m>-2—

44

【分析】根据方程有实数根，得出AK),建立关于加的不等式，求出机的取值范围即可.

【详解】解：根据题意得△=(-3尸-4xlx(-m)>0,

9

解得：m>--,

4

9

故答案为：m>--.

4

【点睛】本题考查了一元二次方程狈2+灰+c=o(〃/),a,b,c为常数)根的判别式.当A〉。,

方程有两个不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；当A<0,方程没有实数根.

13.(本题2分)如图，点A、B、。在。。上，ZB=130°,贝！JNAOC=°.

B

【答案】100

【分析】如图所示，在优弧AC上去一点。，连接AD,DC,利用圆内接四边形对角互补求出NADC

的度数，再由圆周角定理求解即可.

【详解】解：如图所示，在优弧AC上去一点。，连接ADDC,则四边形A8CO是圆内接四边形，

ZB=130°,

JZADC=180°-ZB=50°,

・•・ZAOC=2ZADC=100o,

故答案为：100.

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线构造圆内接四边形是

解题的关键.

14.(本题2分)如图，等边,的边在x轴上，点8坐标为(2,0),以点。为旋转中心，把OAB

逆时针转90。，则旋转后点A的对应点A的坐标是.

【答案】卜61)

【分析】过点A作08于瓦过点4作轴于H.利用全等三角形的性质解决问题即可.

【详解】解：如图，过点A作AE_LQB于E,过点4作轴于H.

:.OA=OB=AB=2,

AEYOB,

:.OE=EB=1,

AE=^AO2-OE2=722-I2=73,

AHLOH,

ZAHO=ZAEO=ZAOA=90°,

ZAOH+ZAOE=90°,ZAOE+ZOAE=90°,

:.ZAOH=ZOAE,

在，4。“和△。4£中

ZA'OH=ZOAE

<ZA'HO=ZAEO,

OA'^OA

：.^AOH=OAE(AAS),

.-.AH=OE=1,OH=AE=,

A-(-A/3,1),

故答案为：(-G,i).

【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

15.(本题2分)某件商品连续两次降价后，零售价由原来的500元降为405元，设此商品平均每次降

价的百分率为x,则恨据题意列出的方程是.

【答案】500(1-x)2=405

【分析】设平均每次降价的百分率为尤，则第一次降价后售价为500(1-x),第二次降价后售价为

500(1-x)2,然后根据两次降价后的售价建立等量关系即可.

【详解】解：根据题意得500(1-尤y=405.

故答案为：500(1-xy=405.

【点睛】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，要注意题意指明的是降价，应该是(1-x)

而不是(1+x).

16.(本题2分)如图，已知顶点为(-3,-6)的抛物线yuad+fcv+c经过点(-1,-4),则下列结论：

①〃>4ac②qV+Ac+cN-e③若点(-2,㈤,(-5,〃)在抛物线上，则机④关于x的一元二次方程

加+6元+。=-4的两根为-5和-1⑤(a+c)2>〃2,其中正确的有.

【答案】①②④

【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系及其与一元一次不等式的关系，以及二次函数的对称

性可以求解.

【详解】由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，只是左边那个没画出来而已，

由二次函数与一元二次方程的关系可知，△=/-4">0,从而〃>4ac,故①正确；

已知该抛物线是开口向上，顶点为(-3,-6),故办^^+之4正确，从而②正确；

由抛物线的对称轴为4-3,点(-2,m),(-5,n)在抛物线上，则点(-2,m)离对称轴的距离为1,

而点(5,〃)离抛物线的距离为2,开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，从而小〈小故③错

误；

由图象可知，4-1为关于x的一元二次方程依的一个根，由二次函数的对称性，可知-5

为另一个根，从而④正确；

.抛物线y=加+bx+c顶点为(-3,-6),经过点(-1,-4),

抛物线解析式可以化为：y=a(x+3)2-6,

A-4=a(-l+3)2-6,

1

Cl——,

2

:.b=3,c=——,

2

A(a+c)2=l,Z>2=9,故⑤错误；

综上，正确的是①②④.

故答案为：①②④.

【点睛】本题属于二次函数图象的综合问题，考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与一元一

次不等式，及二次函数的对称性，难度中等.

三、解答题(共88分)

17.(本题6分)解方程：

(1)1)=—12

(2)2X2-4X-1=0.

【答案】(1)再=4,%=5；

_2+^/6_2—V6

22

【分析】(1)方程整理后，利用因式分解法求解即可；

(1)方程整理后，利用配方法求解即可.

(1)

解：方程整理得了之一9%+20=0,

因式分解得4)(%-5)=0,

解得：X|=4,X2=5；

(2)

解：方程整理得f-2x=g,

13

配方得Y-2尤+1=5+1,即(x-l)2=；,

.2土瓜

••X一,

2

.2+762-A/6

••西=口一，^2=^--

【点睛】本题考查一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解

法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

18.(本题6分)如图，等边ABC中，。是AC中点，过C作CE〃A2,且求证：BD=AE.

【答案】见解析

【分析】只需要利用AAS证明△84。丝ZkACE即可证明结论;

【详解】证明：•••等边三角形42c中，。是AC中点，

：.AB=CA,8。是等边三角形ABC的高，

VAEXCE,

ZADB=ZE=90°,

\'CE//AB,

：.NBAD=NACE,

在与ZMCE中

ZADB=ZE

•：]ZBAD=ZACE

AB^CA

.,.△BAD^AACE(AAS)

：.BD=AE.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知等边

三角形的性质和全等三角形的性质与判定条件是解题的关键.

19.（本题6分）己知。是方程2x—1=0的一个根，求代数式（a—2>+（a+l）（q—1）的值.

【答案】5

【分析】先根据条件。是方程尤2+x-l=0的一个根，得出/-20=1,然后把所给的代数式化简为

2（a2—2a）+3,代入a?-2a=1计算即可.

【详解】是方程f-2x-l=0的一个根,

•*.a2-2a-l=0.

・・a2—2a=1.

（a一2/+（〃+l）（a—1）

=/—4〃+4+a2—1

=2片—4。+3

=2（a2—2a）+3

=2x1+3

=5.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解方程根的概念、利用整体代入

的方法进行求解是解题的关键.

20.（本题6分）如图，已知A3、CD是。。的直径，。b〃A3交。。于点兄BE〃DC交OO于点E.

C,

（1）求证：BE=DF；

（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧（不要求证明）.

【答案】（1）见解析；（2）答案不唯一，图中相等的劣弧有：弧。尸=弧36,弧EC=弧物，弧AC=

弧8。，弧。4=弧8C

【分析】（1）根据。尸〃AB,BE//DC,得到尸，然后根据相等的弧所对的弦相等即可

证明BE=DF；

（2）根据等弦对等弧和相等的圆周角所对的弧相等即可得到4组不同的且相等的劣弧.

【详解】⑴：。尸〃AB,BE//DC,

，ZEBA=ZCOA=ZCDF.

：.弧ECA=^CAF,

，弧8后=弧DF,

：.BE=DF-,

⑵由（1）可得，弧D4弧BE；

弧ECA=<CAF,

...弧EC二弧闭

ZAOC=NBOD,

...弧AC=M8。；

弧BE+弧EC=^AF+弧DF-,

二弧以=弧BC.

，综上所述，图中相等的劣弧有：弧£>/三弧BE,弧EC=弧阴，弧弧。4=弧8c

【点睛】此题考查了相等的圆周角所对的弧相等，弦相等，等弧对等弦等知识，解题的关键是熟练

掌握相等的圆周角所对的弧相等，弦相等，等弧对等弦等知识.

21.（本题7分）下面是娜娜设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.

已知：RTAABC,

求作：AB上作点D,使/BCD=/A.

作法：如图，以AC为直径作圆，交AB于D,所以点D就是所求作的点;

根据娜娜设计的作图过程，完成下面的证明.

证明：：AC是直径

.,.ZADC=90°（）（填推理的依据）

即/ACD+NA=90°,

,/ZACB=90°,

即ZACD+=90°,

/.ZBCD=ZA（）（填推理的依据）.

【答案】见详解

【分析】根据直径的性质可得/ADC=90。，再利用同角的余角相等即可得证.

【详解】证明：：AC是直径

.\ZADC=90°(直径所对圆周角为直角)

即/ACD+/A=90°,

VZACB=90°,

即ZACD+ZBCD=90°,

.,.ZBCD=ZA(同角的余角相等).

【点睛】本题考查了直径的性质及同角的余角相等，熟练运用相关性质是解决本题的关键.

22.(本题7分)已知关于x的一元二次方程(03)尤2-化+2户+1-2左=0亿力3).

(1)判断方程根的情况，并说明理由；

(2)若方程的所有实数根均为整数，并且上也是整数，求上的值.

【答案】(1)总有两个实数根，理由见解析

⑵-2或2或4或8

4

【分析】(1)根据题意求出该一元二次方程根的判别式A=9(左-g)220,即得出该一元二次方程根

的情况为总有两个实数根；

(2)根据因式分解法可求出该一元二次方程的解为玉=f—=2+三，x2=-l.再根据该方程

的所有实数根均为整数，上也是整数，即可得出人的值.

(1)

根据题意可知该一元二次方程根的判别式

4

A=b2-4ac=[-(%+2)『9一4(k-3)(1-2^)=%2-24^+16=9(k-j)2,

4,

V9(^--)2>0,即A20,

/.该一元二次方程根的情况为总有两个实数根；

(2)

化一3卜2一化+2)%+l—2左=0(左w3)

.・.[(左一3)x+(l—2Q](x+l)=0(左w3),

2k—1.5।

..x=-------=2+-------,x=-1.

1k-3k-32

•・.方程的所有实数根均为整数，

,巧为整数，即2+三为整数.

k-3

•••左也是整数，

；.h3是5的因数，

当k-3=~5,即左=-2时，x,=2-1=1；

当无-3=-1,即上=2时，\=2—5=—3；

当h3=l,即左=4时，玉=2+5=7；

当k-3=5,即％=8时，占=2+1=3.

综上可知，上的值为：-2或2或4或8.

【点睛】本题考查由一元二次方程根的判别式判断其根的情况，解一元二次方程.掌握一元二次方

程办2+6x+c=0(a+0)的根的判别式为A=I)?-4ac，且当A>0时，该方程有两个不相等的实数根；

当△=()时，该方程有两个相等的实数根；当/<0时，该方程没有实数根和因式分解法解一元二次

方程是解题关键.

23.(本题7分)如图，己知抛物线丫=内2+法+。的顶点为4(4,3),与y轴相交于点8(0,-5),对

称轴为直线/，点M是线段AB的中点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；

(3)设动点P,。分别在抛物线和对称轴/上，当以A,P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,

求P,。两点的坐标.

【答案】+4尤-5

(2)M(2,-1),y=2x-5

(3)尸、。的坐标分别为(6,1)或(2,1)、(4,-3)或(4,1)或(4,5)

【分析】(1)函数表达式为：y=a(x-4)2+3,将点B坐标代入上式，即可求解；

(2)44,3)、B(0,-5),则点M(2,-l),设直线A3的表达式为：y=kx-5,将点A坐标代入上式,

即可求解；

(3)分当A〃是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.

(1)

解：函数表达式为：y=a(x-4)2+3,

将点8坐标代入上式并解得：。=-1，

故抛物线的表达式为：y=~x2+4x~5；

(2)

解：：A(4,3)、8(0,-5),

.•.点M(2,T),

设直线AB的表达式为：y=kx-5,

将点A坐标代入上式得：3=4k-5,解得：k=2,

故直线A2的表达式为：y=2x-5.

(3)

解：设点Q(4,s)、点P(m,~m2+4m-5),

①当AM是平行四边形的一条边时，

当点。在A的下方时，

点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到

同样点尸(“%-；"f+4"-5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到2(4,s),

1

BP：:九一2=4,——nT9+4m—5-4=s,

2

解得：m=6,s=—3,

即点尸的坐标为(6,1)、点。的坐标为(4,-3),

故当点。在点A上方时，AQ=MP=2,

同理可得点尸的坐标为(2,1)、点。的坐标为(4,5),

②当AM是平行四边形的对角线时，

由中点定理得：4+2=〃?+4,3-1=+4m-5+s,

解得："7=2,s=1,

故点尸、Q的坐标分别为(2,1)、(4,1)；

综上，P、。的坐标分别为尸(6,1)或(2,1),。(4,5)或(4,-3)或(4,1).

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形的性质等，其中(3),要

注意分类求解，避免遗漏.

24.(本题7分)如图，在咫A3c中，ZB=90°,AB=6cm,3c=10cm,点P从点A开始沿AB边

向点8移动，速度为lcm/s；点。从点8开始沿3c边向点C移动，速度为2cm/s,点P、。分别

从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动.

(1)几秒时，PQ的长度为3&cm?

(2)几秒时，的面积为8cm°?

(3)当r(0<f<5)为何值时，四边形APQC的面积最小？并求这个最小值.

【答案】(1)3秒时，PQ的长度为36cm

(2)2或4秒时，△尸8。的面积为8cm2

(3)当f=3时，四边形APQC的面积最小，最小值为21

【分析】(1)设运动时间为f秒，分别用，的代数式表示出线段PB,的长度，利用勾股定理列出

方程即可求解；

(2)利用三角形的面积公式列出方程即可求解；

(3)由四边形APQC的面积=SABc-S.Bo,结合二次函数的性质即可求解.

(1)

解：设运动时间为t秒时，尸。的长度为3&cm,

依题意得：AP-tcm,BQ=2fcm,

PjB=(6-r)cm.

ZB=90°,

:.PB-+BQ1=PQ,即（6—+（2f）2=（3方］，

3

解得：t=3或-至负数不合题意，舍去）.

:.t=3.

二3秒时，P。的长度为36cm；

（2）

设运动时间为f秒时，△PBQ的面积为8cm2,

依题意得：AP=tcm,BQ=2rcm,04/45,

PB=（6T）cm.

PBQ的面积为8cm2,

gx（6-f）*2f=8.

解得：f=2或4.

；.2或4秒时，△PBQ的面积为8cm3

（3）

四边形APQC的面积=sABC-SPBQ

=gxAB.BC-gxBQ.PB

=产—6r+30

=”3）2+21,

・・・当r=3时，四边形APQC的面积最小，最小值为21.

【点睛】本题主要考查勾股定理，二次函数的应用，一元二次方程的应用，三角形的面积等知识.本

题是动点问题，利用含f的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键.

25.（本题8分）如图，A3是：）。的直径，8是；。的一条弦，43_1。,连接4（7,0。.

⑴求证：NBOD=2NA;

(2)连接08,过点C作CE，DB,交DB的延长线于点E,延长。。,交AC于点/，若b为AC的中点,

求证：直线CE为：。的切线.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)设A3交。于点打，连接OC,证明Rt,CO"三Rt，故可得NCOW=NDOW,

于是BC=BD，即可得到N3Q£>=2ZA；

(2)连接AC,解出NCO3=60。，根据A3为直径得到ZAD3=90。，进而得到ZAB£>=60。，即可

证明OC〃D3,故可证明直线CE为。的切线.

(1)

证明：设A3交CD于点H,连接0C,

由题可知，

OC=OD,NOHC=NOHD=90°,

OH=OH,

.'.RtCOH^RtDOH(HL),

:.NCOH=NDOH,

BC=BD，

:.ACOB=ABOD,

/COB=23

:.ZBOD=2ZA；

(2)

证明:

E

连接AD,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

同理可得：ZOAC=ZOCA,ZOCD=ZODC,

•・•点〃是。。的中点，点户是AC的中点，

ZOAD=ZODA=ZOAC=ZOCA=ZOCD=ZODC,

AOAD+Z.ODA+AOAC+AOCA+AOCD+AODC=180°,

ZOAD=ZODA=ZOAC=ZOCA=ZOCD=ZODC=30°,

ZCOB=2ZCAO=2x30。=60°,

QAB为。的直径，

:.ZADB=90°,

ZABD=90-NDAO=90°-30°=60°,

ZABD=ZCOB=60°,

:.OC//DE,

QCE1BE,

:.CE^OC,

•・・直线CE为O的切线.

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行

的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键.

26.（本题8分）在平面直角坐标系％0y中，已知抛物线y=X2—2尔+加-1.

5-

4-

3-

2-

1-

।।।।।____।।।।।.

-5-4-3-2-1O-12345x

-1-

（1）当帆=2时，求抛物线的顶点坐标；

（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）;

②若点（M-LM）,（加,％），（加+3,%）都在抛物线，=/-2〃箕+疗_1上，则%,上,%的大小关

为；

（3）直线y=x+6与X轴交于点4（-3,0）,与y轴交于点2,过点B作垂直于y轴的直线/与抛物线

丁=/-27蛆+加2_1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为p,当△O4P为钝角三角形时，求加

的取值范围.

【答案】（1）顶点坐标为（2,-1）；⑵①、=叫②%>%>%;⑶机>2或加<-1

【分析】（1）先将%=2代入抛物线的解析式，并配方可得抛物线顶点的坐标；

（2）①根据函数对称轴为x=-=计算可得结论；

②函数开口向上，时函数取得最小值，根据离对称轴距离越远，函数值越大可比较”，>2,心

的大小关系；

（3）当AOA尸为钝角三角形时，则或机-2>-3,分别求解即可.

【详解】解：（1）当〃?=2时，抛物线的解析式为：J；=X2-4X+3=（X-2）2-1,

，顶点坐标为（2,-1）；

（2）①一抛物线y=尤？-2〃a+利2,

'1•函数对称轴为尤==m；

2x1

②;函数开口向上，x=m时函数取得最小值，

离对称轴距离越远，函数值越大，

Qm-l<m<m+3,且点（”?-1,乂），（m,j2）,（〃z+3,%）都在抛物线y=Y+-1上，

故答案为：

（3）把点A（-3,0）代入，=x+6的表达式并解得：6=3,

则3（0,3）,直线的表达式为：y=x+3,

如图，

在直线x=3上，当NAOP=90时，点P与B重合，

当y=3时，y=x2-2mx+m2-1=3,

贝［Jx=m±2,

,点P在对称轴的左侧，

.,.X=7〃+2>7〃不符合题意，舍去，

则点P（〃z—2,3）,

当AOAP为钝角三角形时，

贝！JO<〃z—2<机或加一2<—3,

解得：加>2或加<-1,

7"的取值范围是：m>2或m<-1.

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，

钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定NA。尸为直角时点尸的位置最关键.

27.（本题10分）如图，在A4BC中，^5=4。,/&^?=£,点。在8。上，以点A为中心，将线段

顺时针旋转a得到线段AE,连接

（1）按要求作出图形；

（2）若a=90。，用等式表示线段DC,£啰,DE大小关系，并证明；

（3）若a=120。，AB=26，〃为8C的中点，求ME的最小值.

【答案】（1）见解析；（2）DC2+DB2=DE2,见解析；（3）空

2

【分析】（1）按要求画出图形即可；

（2）通过旋转的性质证明出AAEBMAADC从而推出NEBA=NC=45o,£B=DC,由勾股定理可知

EB2+DB2=DE2,所以可知0c2+。序=。£2；

（3）通过旋转的性质证明出AA£B-AADC推出/瓦4=/。=30。，/班。=/£154+//45。=60。可

知点E在射线BE上运动，N£BC=60。当M为3c中点，BM=3,由垂线段最短可知M/L3E,

MH=-BM=之叵即ME最4、为正

222

【详解】.⑴如图,

（.2）DC2+DB2=DE2

证明：VZCAB=ZDAE=90°,

：.ZBAE=ZCAD

"：DA=EA,CA=BA

：.ZC=ZABC^45°,AAEB^AADC

：.NEBA=NC=45°、EB=DC

ZEBC=ZEBA+ZABC=90°

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