自动控制原理及其应用2.1-1

第二节拉氏变换解线性微分方程一、拉氏变换的定义二、常用函数的拉氏变换三、拉氏变换的定理上一目录第二章自动控制系统的数学模型四、拉氏反变换五、用拉氏变换解线性微分方程第一节控制系统的微分方程

工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。拉氏变换法求解微分方程的基本思路：线性微分方程时域t拉氏变换代数方程复数域s代数方程的解求解拉氏反变换微分方程的解第一节控制系统的微分方程一、拉氏变换的定义如果有一函数满足下列条件：(1)t

<0时

f(t)=0(2)t≥0时

f(t)是分段连续的

0(3)∫

f(t)e<∞-st∞f(t)的拉氏变换为：记作

F(s)=L[f(t)]拉氏反变换为：f(t)=L-1[F(s)]f(t)e-stdt0F(s)=

∞∫二、常用函数的拉氏变换第一节控制系统的微分方程1.单位阶跃函数I(t)f(t)t01=s12.单位脉冲函数δ(t)f(t)t0=1I(t)e-stdt0F(s)=

∞∫δ(t)e-stdt0F(s)=

∞∫3.单位斜坡函数tf(t)t0=s21te-stdt0F(s)=

∞∫4.正弦函数sinωtt0f(t)ωte-stdt0F(s)=

∞∫sin

=s2+ωω25.余弦函数cosωt=s2+sω2ωte-stdt0F(s)=

∞∫cos

第一节控制系统的微分方程6.指数函数e-atf(t)t01=1s+ae-ate-stdt0F(s)=

∞∫7.抛物函数t212f(t)t0=s3112t2e-stdt0F(s)=

∞∫三、拉氏变换的定理1.线性定理L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)例求正弦函数f(t)=sinωt的拉氏变换．解：=s2+ω2ω2jesinωtωt=jωt-j-eL[sin2j1s-j[1-]s+j1ωt]=ωω第一节控制系统的微分方程2.微分定理L[df(t)dt]=sF(s)-f(0)L[d2f(t)dt2]=s2F(s)-sf(0)-f'(0)例求阶跃函数f(t)=I(t)的拉氏变换．解：已知d[t]dt=I(t)L[t]=s21L[I(t)]=L(d[t]dt)=ss21-0=1s第一节控制系统的微分方程3.积分定理=1sF(s)+f-1(0)s4.延迟定理L[∫f(t)dt]L[f(t-τ)]-=eF(s)τs解：f(t)t0tτt-τ例求f(t)=t-

τ的拉氏变换。F(s)=L[t]e-τs=s21e-τs5.位移定理L[e-atf(t)]=F(s+a)解：例求f(t)=esinωt的拉氏变换．-at6.初值定理Limf(t)=limsF(s)s→∞t→07.终值定理Limf(t)=limsF(s)t→∞s→0F(s)=(s+a)2+ωω2第一节控制系统的微分方程

求下列函数的拉氏变换cos12tf(t)=e-4tf(t)=t2+3t+2课堂练习题：作业习题：2-2(1,4)第一节控制系统的微分方程四、拉氏反变换象函数的一般表达式：F(s)=b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+···+an-1s+an因式分解K(s-z1)(s-z2)···(s-zm)(s-p1)(s-p2)···(s-pn)=零点极点转换为=s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAn则p1tf(t)=A1ep2t+A2epntAne+···+待定系数求解过程部分分式法求拉氏反变换第一节控制系统的微分方程部分分式法待定系数的确定F(s)=s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAnA1=F(s)(s-p1)

s-=p1(s-p1)

s=p1(

)

(s-p1)

s=p1s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAn(s-p1)

(s-p1)

(s-p1)

=[

]

s=p1则1.不相等实数极点同理A2=F(s)(s-p2)

s=p2An=F(s)(s-pn)

s=pn┇A(s)(s-p1)(s-p2)···(s-pn)F(s)=分解为第一节控制系统的微分方程解：例求拉氏反变换．s2+4s+3F(s)=s2+5s+5(s+1)(s+3)=1+s+2=1++s+1A1s+3A2(s+1)(s+3)F(s)=s2+5s+521=21=s=-1A1=(s+1)(s+3)(s+2)(s+1)s=-3A2=(s+1)(s+3)(s+2)(s+3)21f(t)=e-t+21δ(t)+e-3t第一节控制系统的微分方程=

(s-p1)(s-p2)A1s+A2+s-p3A3+···+s-pnAn2.复数极点s=p1[

]

s=p1p1,p2

共轭复数极点分解为F(s)(s-p1)(s-p2)(s-p1)(s-p2)得F(s)(s-p1)(s-p2)

=(A1s+A2)

s=p1s=p1复数方程可求得待定系数A1,A2

。A(s)(s-p1)(s

-p2)···(s-pn)F(s)=第一节控制系统的微分方程例求拉氏反变换．s(s2+9)F(s)=s+1解：A1s+A2+s(s2+9)F(s)=A3=A1s+A2s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1

19A1=

-19A3=

-s/9+1

+s(s2+9)=1/9

s/9

-s(s2+9)F(s)=1/9

1

+(s2+9)1391-f(t)=sin3t91cos3t+ss+1=A1s+A2s=j3s=j3j3j3+1=j3A1+A2j3+1=-9A1+j3A2第一节控制系统的微分方程

求下列函数的拉氏反变换F(s)=s(s+1)1F(s)=s(s2+4)s+6课堂练习题：第一节控制系统的微分方程3.

重极点A(s)(s-p1)r(s-pr+1)···(s-pn)F(s)=有r个重极点分解为=(s-p1)rA1+s-pr+1Ar+1+···+s-pnAn+(s-p1)r-1A2+···+s-p1Ardr-1[F(s)(s-p1)r]Ar=

s=p11

((r-1)!dsr-1)下面举例说明第一节控制系统的微分方程例求拉氏反变换．(s+2)F(s)=s(s+1)2(s+3)解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解为按不相等实数极点确定A1,A3,A4

得：-12A1=

23A3=

112A4=

d2-1[F(s)(s-p1)2]A2=

s=p11

((2-1)!ds2-1)d[=

s=-1ds](s+2)s(s+3)-34=

-34A2=

+-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121将各待定系数代入上式得：第一节控制系统的微分方程作业习题：2-3(1,2)五．用拉氏变换解线性微分方程例求微分方程的解r(t)=201(t)+2c

(t)=r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dtc(0)=5c'(0)=15解：(1)将微分方程拉氏变换s2C(s)-sc(0)-c'(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s)=20s20s+5s+30=C(s)(s2+3s+2)第一节控制系统的微分方程(2)解代数方程s(s2+3s+2)

C(s)=5s2+30s+20s(s+1)(s+2)=5s2+30s+20(3)求拉氏反变换s+C(s)=+s+1A1s+2A2A3s+=+s+110s+25-10-10ec(t)=10+5e-t-2t例已知系统微分方程，求系统的输出响应。r(t)=δ(t)+2c(t)=r(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dtc(0)=c'(0)=0解：将方程两边求拉氏变换得：s2C(