非线性动力学

非线性动力学简介混沌概论牛顿力学成功的典范——天体轨道的预言拉普拉斯在1814年断言：如果有一位智慧之神在某一个时刻能获知自然界一切物体的位置及相互作用力，那么她就可以预测宇宙的未来状况。混沌概论法国数学家庞加莱：将万有引力推广到（限制性）三体问题，无法求得精确解…极为复杂的混沌运动（土星的一颗卫星：翻筋斗的土卫七）在确定性的、可逆的牛顿方程中出现了内在随机性！混沌概论美国麻省理工学院教授奉献毕生去研究长期天气预报。1961年的某一天，在办公室把一数据输入计算机，企图重复验证上一次的计算结果。。混沌概论洛伦茨发表《决定论非周期流》：讨论了天气预报的困难及大气湍流现象，给出了耗散系统中第一个确论论方程导出混沌解的实例。一个形象的比喻：巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀，可能会改变一个月后美国得克萨斯州的气候。对初始条件的敏感性！混沌概论美国物理学家Shaw：水龙头实验一只水龙头在将闭未闭之际，水滴积累重力超过了表面张力，水滴就会下落。每次形成一滴水而落下的时间是个常数，即滴水是一个周期性状态。将漏水口放大一点点，周期缩短。增大到某个临界值，出现倍周期；继续增大，出现四周期。再增大，可出现不恒定的周期，即混沌混沌概论混沌现象普遍存在于自然界中，与我们日常生活息息相关：风中的旗帜、湍流、气象变化、股票市场波动、种群演化、激光器中随机单膜脉冲尖峰、地壳运动与地震、脑电波、疾病传播等等。混沌概论混沌学作为非线性科学的主要分支，已经渗透到了各个学科。物理学家Ford：相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想，量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦，而混沌则消除了拉普拉斯关于绝对论式可预测性的幻想。混沌概论混沌特征：（1）对初态的敏感依赖性

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混沌概论混沌特征：（2）确定论系统中的内在随机性：有序与无序的统一物理中两套描述体系确定论概率论牛顿力学（一一对应）热力学（多一对应）混沌系统：轨道服从确定论方程；系统上的物理观测值因其各态历经，可用统计方法得出。混沌概论混沌特征：（3）局部不稳定而整体稳定相邻轨道指数分离，导致局部发散。另一方面，系统在演化过程中能量耗散，运动轨迹将向吸引子收缩（拉伸折叠变换）。（4）奇怪吸引子稳定不动点或极限环称为吸引子，混沌吸引子是特殊结构的点集混沌概论混沌特征：（5）分形结构与无限自相似拉伸变换使诸轨线在相空间中密集遍历，折叠变换使吸引子具有层次结构。确定论系统轨道方向导数唯一，相邻轨道不会相交。因此吸引子的层次结构为分形：混沌轨道遍历系统每一个角落，但轨道间存在空洞。对其放大，具有自相似性。混沌概论混沌特征：（6）连续功率谱

功率谱是分析时间序列与信号的常用方法之一，描述的是傅立叶变换后的振幅分布。与周期吸引子和噪声的区别。（7）系统的混沌运动来自于非线性方程中的非线性项：逻辑斯谛映射埃农映射

混沌概论

混沌概论

混沌概论1.求解不动点

2.不动点的稳定性

不稳定稳定

Why?混沌概论

进入周期2区域混沌概论1.周期2

混沌概论2.周期2的稳定性条件

混沌概论以此类推，混沌概论一个连续的例子：洛伦茨方程数值求解龙哥库塔方法流行病传播流行病传播SIS模型：易感态-感染态-易感态SIR模型：易感态-感染态-恢复态流行病传播

其随时间演化方程：如何