2024-2025学年新教材高中数学第七章统计案例7.3独立性检验问题课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(四十八)独立性检验问题(建议用时：40分钟)一、选择题1．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法中正确的是()A．若随机变量χ2>6.635，我们有99%以上的把握说吸烟与患肺病有关，则某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病B．若从统计量中求出有99%以上的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99人患有肺病C．若从统计量中求出有95%以上的把握说吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使得推断错误D．以上说法均错误C[由随机变量χ2的意义可知答案C正确．]2．有甲、乙两个班级进行数学考试，依据大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成果，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30总计105已知在全部105人中随机抽取1人，成果优秀的概率为eq\f(2,7)，则下列说法正确的是()A．列联表中c的值为30，b的值为35B．列联表中c的值为15，b的值为50C．依据列联表中的数据，若按95%的牢靠性要求，能认为“成果与班级有关系”D．依据列联表中的数据，若按95%的牢靠性要求，不能认为“成果与班级有关系”C[由题意知，成果优秀的学生数是30，成果非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．依据列联表中的数据，得到χ2＝eq\f(105×10×30－20×452,55×50×30×75)≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成果与班级有关系”，选项C正确．]3．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”()A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014D[∵5.014>3.841，故D正确．]4．以下关于独立性检验的说法中，错误的是()A．独立性检验依据小概率原理B．独立性检验得到的结论肯定正确C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异D．独立性检验不是推断两分类变量是否相关的唯一方法B[独立性检验得到的结论不肯定正确，如我们得出有90%的把握认为A与B有关，只是说这种推断的正确性为90%，详细问题中A与B可能有关，也可能无关．]5．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35．若X与Y有关系的可信程度不小于95%，则c等于()A．3B．7C．5D．6A[列2×2列联表如下：x1x2总计y1102131y2cd35总计10＋c21＋d66故χ2＝eq\f(66×[1035－c－21c]2,31×35×10＋c56－c)≥3.841．把选项A，B，C，D代入验证可知选A．]二、填空题6．为了了解长头发与女性头晕是否有关系，随机抽查301名女性，得到如下列联表，试依据表格中已有数据填空．头晕状况发型常常头晕很少头晕总计长发35①121短发37143②总计72③④则空格中的数据应分别为：①________；②________；③________；④________．86180229301[最右侧的总计是对应的行上的两个数据的和，由此可求出①和②；而最下面的总计是相应的列上两个数据的和，由刚才的结果可求得③④．]7．某高校在探讨性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应当收集的数据是________．男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数[由探讨的问题可知，需收集的数据应为男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数．]8．两个分类变量X，Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其列联表为：YXy1y3总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d若两个分类变量X，Y没有关系，则下列结论正确的是________(填序号)．①ad≈bc；②eq\f(a,a＋b)≈eq\f(c,c＋d)；③a＋b≈c＋d；④a＋c≈b＋d；⑤eq\f(a＋b＋c＋dad－bc2,a＋bb＋da＋cc＋d)≈0．①②⑤[因为分类变量X，Y独立，所以eq\f(a,a＋b)≈eq\f(c,c＋d)，化简得ad≈bc，所以①②⑤正确，③④明显不正确．]三、解答题9．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为探讨工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采纳分层随机抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图．25周岁以上组25周岁以下组规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你依据已知条件完成2×2列联表，并推断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？[解]由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×15×25－15×452,60×40×30×70)＝eq\f(25,14)≈1.79．因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．10．为了探讨患慢性气管炎与吸烟量的关系，调查了228人，其中每天的吸烟支数在10支以上的20支以下的调查者中，患者人数有98人，非患者人数有89人，每天的吸烟支数在20支以上的调查者中，患者人数有25人，非患者人数有16人．(1)依据以上数据建立两个分类变量的列联表；(2)试问患慢性气管炎是否与吸烟量相互独立？[解](1)依据已知数据建立的列联表如下：患病状况吸烟状况患病者未患病者总计10支以上20支以下988918720支以上251641总计123105228(2)χ2＝eq\f(n×ad－bc2,a＋b×c＋d×a＋c×b＋d)＝eq\f(228×98×16－25×892,187×41×123×105)≈0.994，因为χ2≈0.994<2.706，所以我们没有充分证据判定患慢性气管炎与吸烟量有关，即可以认为患慢性气管炎与吸烟量相互独立．11．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：y1y2x11018x2m26则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱()A．8B．9C．14D．19C[由10×26≈18m，解得m≈14.4，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱．]12．假设有两个变量X与Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表为：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为()A．a＝50，b＝40，c＝30，d＝20B．a＝50，b＝30，c＝40，d＝20C．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50D．a＝20，b＝30，c＝50，d＝40D[当(ad－bc)2的值越大，随机变量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)的值越大，可知X与Y有关系的可能性就越大．明显选项D中，(ad－bc)2的值最大．]13．(多选题)依据下面的2×2列联表得到如下推断，则正确的选项是()嗜酒不嗜酒总计患肝病70060760未患肝病20032232总计90092992A．至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”B．至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒无关”C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”AC[由2×2列联表中数据可求得χ2的观测值χ2＝eq\f(992×700×32－60×2002,760×232×900×92)≈7.349>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”．因此AC正确．]14．(一题两空)某高校《统计初步》课程的老师随机调查了选该课程的学生的一些状况，详细数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男3320女1726则χ2≈________，有________的把握判定主修统计专业与性别有关．4.91495%[依题意知：χ2＝eq\f(96×33×26－20×172,53×43×50×46)≈4.914，∵4.914>3.841，∴有95%的把握判定主修统计专业与性别有关．]15．中国调查网有一项关于午休问题的调查，其结果如下：(单位：人)性别对午休的看法男女总计有用50214264无用113①182合计163283②(1)将题表补充完整，应填入的数