材料力学：简单的超静定问题

1简单的超静定问题超静定问题及其解法拉压超静定问题扭转超静定问题简单超静定梁返回2约束反力或杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这种情况称作静定问题。只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。§6-1超静定问题及其解法2、超静定问题1、静定问题3未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数。3、超静定的次数5、多余未知力4、多余约束多于维持平衡所必需的支座或杆件。与多余约束相应的支座约束力或内力。4FABCDACBFFF5DACBF一次超静定FABCFABC6§6-2拉压超静定问题一、一般超静定问题

例题：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C点处承受轴力F的作用，如图所示，计算约束力。FblBACa7FByFBFAAC这是一次超静定问题。平衡方程为FblBACa8BAC相容条件是：杆的总长度不变=FByFBFAACFblBACa9变形几何方程为：BAC=FByFBFAACFblBACa10补充方程为平衡方程为BAC=FByFFAACFblBACa11

例题：设1、2、3

三杆用铰链连结，l1=l2=l，A1

=A2=A,E1=E2=E,3

杆的长度l3,横截面积A3

,弹性模量

E3。试求在沿铅垂方向的外力P作用下各杆的轴力。

CABDP

12312解：列静力平衡方程CABDP

123FN3FN1FN2PA这是一次超静定问题。13由于1,2两杆在几何，物理及受力

方面都是对称。所以变形后A

点将沿铅垂方向下移。CABDP

123FN3FN1FN2PA14相容条件：变形后三杆仍绞结在一起。FN3FN1FN2PACABD

123A’CABDP

12315CABD

123A’ABD

123A’

l1

l2

l3变形几何方程为物理方程为16CABD

123A’ABD

123A’

l1

l2

l3补充方程为17

解超静定问题的步骤：根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个数与超静定次数相等。将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程。联立补充方程与静力平衡方程求解。解超静定问题注意画变形图时，杆的变形与假设的轴力符号要一致。18画受力图列静力平衡方程画变形几何关系图列变形几何关系方程建立补充方程解联立方程求出全部约束反力虎克定律19ABCG123aal例题：图示平行杆系1、2、3

悬吊着横梁AB(AB的变形略去不计)，在横梁上作用着荷载G。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A，l，E。试求1、2、3三杆的轴力FN1，FN2，FN3。20解：(1)平衡方程这是一次超静定问题，且假设均为拉杆。ABCG123aalBACGFN1FN2FN3H21A123BC(2)变形几何方程(3)物理方程ABCG123aal22A123BC

补充方程ABCG123aal(4)联立平衡方程与补充方程求解23思考题刚性梁ABC由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。尺寸

如图所示，拉力F为已知。求各杆的轴力。ABC123408080F507524ABC123408080F5075变形相容条件变形后三根杆与梁仍绞接在一起。变形几何方程25ABC123F5075补充方程FN1FN2FN3F408080静力平衡方程26例题：刚性杆AB如图所示。已知1、2杆的材料，横截面积，长度均相同。若两杆的横截面面积A=2cm2，材料的许用应力[]=100MPa。试求结构所能承受的最大荷载Pmax。12ABCP2aa27解：这是一次超静定问题(1)列静力平衡方程取AB为研究对象12ABCP2aa28PN12ABCP2aaFN1FN2FN22a+FN1a-P

a=0这是一次超静定问题29(2)变形几何方程12ABCP2aaPFN1FN2N30(3)列补充方程FN2=2FN12FN2+FN1-P=0(4)由静力平衡方程和补充方程联立解FN1和FN2FN1FN2PN12ABCP2aa31强度条件为求得P=50kN由(5)由强度条件求PmaxFN1FN2PN12ABCP2aa32例题：桁架由三根抗拉刚度均为EA的杆AD，BD和CD在D点绞接而成，求在力P作用下三杆的内力。ABCD123PH

33解：设AD、BD

和

CD

杆的轴力FN1，FN2，FN3

均为拉力。FN1FN2FN3

DP

ABCD123PH

作节点D

的受力图。34D

点的平衡方程为这是一次超静定问题ABCD123PH

FN1FN2FN3

DP

35变形协调条件是：变形后三杆仍绞接在一起。ABCD123PH

36123D

D1D2l2D3作变形图ABCD123PH

l137F

GD1D2123D

l2D3l138F

GD1D2123D

l2D3l1E

几何方程为39F

GD1D2123D

l2D3l1E

几何方程为40补充方程联立补充方程和平衡方程求解ABCD123PH

FN1=?FN2=?FN3=?

41，。ABCD

213l

二、装配应力图示杆系，若3杆尺寸有微小误差，则在杆系装配好后各杆将处于图中位置，因而产生轴力。423杆的轴力为拉力，1，2杆的轴力为压力。这种附加的内力就称为装配内力。与之相对应的应力称为装配应力。，。ABCD

213l

43代表杆3

的伸长代表杆1或杆2

的缩短

代表装配后A点的位移

ABCD

213l

44(1)变形几何方程(2)物理方程

ABCD

213l

45补充方程为

ABCD

213l

46(4)平衡方程

ABCD

213l

FN3FN1FN247补充方程为与平衡方程联立FN1，FN2，FN3

可解48

例题：两铸件用两根钢杆1,2连接，其间距为l=200mm。现要将制造得过长了

e=0.11mm的铜杆3装入铸件之间，并保持三根杆的轴线平行且等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d=10mm，铜杆横截面积为20

30mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa。铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。49ABC12aa

l350（c)ABC12变形几何方程为l3(b)51代入得补充方程列平衡方程aaxFN3FN1FN252解三个联立方程可得装配内力FN1，FN2，FN3，，进而求出装配应力。53三、温度应力例题：图示等直杆AB的两端分别与刚性支承连结。设两支承的距离（即杆长）为l，杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为。试求温度升高

T时杆内的温度应力。54解：这是一次超静定问题lAB变形相容条件是，杆的总长度不变。即55

lNABlABA杆的变形为两部分：由温度升高引起的变形由轴向压力P1=P2引起的变形

lT56变形几何方程是：ABlABA57补充方程是：温度内力为：温度应力为：ABlABA58例题：桁架由三根抗拉压刚度均为EA的杆在A点绞接，试求由于温度升高

T而引起的温度应力。材料的线膨胀系数为。132ABDC

l59132ABDC

l132A

B1C1A1解：AB1，AC1，AA1分别为由于温度的升高引起1，2，3

三杆的伸长。60132ABDC

l132A

B1C1A161C1B1132ABDC

l132A

假设装配后节点A下降至A2处C2A1A2

装配后3杆的伸长B1B2装配后杆1的缩短C1C2

装配后2杆的缩短A1B2A262132ABDC

l132A

C1B1C2A1B2A2FN1，FN2，FN3为各杆的装配内力A

FN1FN2FN363(1)变形几何方程132ABDC

l132A

C1B1C2A1B2A2A

FN1FN2FN3物理方程关系：64132ABDC

l132A

C1B1C2A1B2A2（2）补充方程：A

FN1FN2FN365(3)平衡方程132ABDC

l132A

C1B1C2A1B2A2A

FN1FN2FN366（4）联立求解132ABDC

l132A

C1B1C2A1B2A2A

FN1FN2FN367解得132ABDC

l132A

C1B1C2A1B2A2A

FN1FN2FN3FN1，FN2，FN3

皆为正，说明如所设1，2杆受压，3杆受拉。68

拉压超静定169

拉压超静定270

§6-3扭转超静定问题

例题:两端固定的圆截面杆AB

，在截面Ｃ处受一个扭转力偶矩m

的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度

GIP

，试求杆两端的支座约束力偶矩。CmabABl1271ACB12m解：去掉约束，代之以支座约束力偶.这是一次超静定问题。CmabABl1272C截面相对于两固定端

A

和B

的相对扭转角相等。ACB12mCmabABl12杆的变形相容条件是：73CmabABl12变形几何方程由物理关系建立补充方程ACB12m•74补充方程CmabABl12ACB12m•联立平衡方程和补充方程即可解得约束力偶解得:75例题：图示一长为l

的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成,内外两杆均在线弹性范围内工作，其抗扭刚度GIPa，GIPb。当此组合杆的两端各自固定在刚性板上，并在刚性板处受一对矩为m的扭转力偶的作用。试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩。mmlAB76解：列平衡方程这是一次超静定问题mmmlABmbma77变形相容条件是，内，外杆的扭转变形应相同。变形几何方程是mmmlABmbma78物理关系是代如变形几何方程，得补充方程mmmlABmbma79联立平衡方程和补充方程，解得：mmmlABmbma80PAB一、基本概念

§6-4简单超静定梁ABCP81ABq

二、求解超静定梁的步骤图示为抗弯刚度为EI的一次超静定梁，说明超静定梁的解法。82

（1）将可动绞链支座作看多余约束解除多余约束，代之以约束力RB

。得到原超静定梁的基本静定系。ABqABq83ABqABq（2）超静定梁在多余约束处的约束条件，梁的变形相容条件。

（3）根据变形相容条件得变形几何方程变形几何方程为84

（4）将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程查表得BAABqABq85BAABqABq补充方程为由该式解得86求出该梁固定端的两个约束力ABq87代以与其相应的多余反力偶mA得基本静定系。变形相容条件为请同学们自行完成！方法二取支座A

处阻止梁转动的约束为多余约束。ABqABq88例题：梁AC如图所示,梁的A端用一钢杆AD与梁AC铰接,在梁受荷载作用前,杆AD内没有内力,已知梁和杆用同样的钢材制成,材料的弹性模量为E,钢梁横截面的惯性矩为I,拉杆横截面的面积为A,其余尺寸见图,试求钢杆AD内的拉力N。a2aABCq2qD89ADBCq2qA解：这是一次超静定问题。将AD杆与梁AC之间的连结绞看作多于约束。拉力N

为多余反力。基本静定系如图NN90ADBCq2qA点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即NN91BCq2qN变形几何方程为根据叠加法A端的挠度为CBq2qBCN92在例题中已求得可算出BCq2q