数理统计：正交试验设计

正交试验设计一、正交表与试验设计

（一）正交表正交表是用来安排多因素多水平试验并进行试验结果分析的工具，它最早开始于农业试验，目前被广泛用于工业、农业和科学技术的各个领域。正交试验的理论基础是数论，它通过数字的不同安排形成特殊的表格，利用这种表格（正交表）安排多个因素每个因素又有多个水平的试验，可以达到以较少的试验次数就可以求得最优的试验条件或最优的生产条件的目的。１．正交表的构造、试验号列号１２３４５６７１２３４５６７８１１１１１１１１１１２２２２１２２１１２２１２２２２１１２１２１２１２２１２２１２１２２１１２２１２２１２１１２试验号列号１２３４１２３４５６７８９１１１１２２２３３３１２３２２３１２３１２１３２３２１３３３２１２．正交表的特点（１）表的各列地位平等，各列之间可以互换；（２）表的各行地位平等，各行之间可以互换；（３）表中每列的不同数码的个数相同，水平记号可以互换；（以上三种变换称为初等变换，经过变换所得的表称为原表的同构表。）（４）表的任意两列的各水平所构成的有序数对是一个带有相同重复数的完全数对。由此表明了表的正交性。

３．利用正交表安排试验的优点

（１）利用正交表安排试验，由于任意两因素不同水平的搭配次数相同，可以使试验点均匀地分布在所考查的试验范围内，所安排的各试验点具有代表性；（２）由于表中各列的不同数码的个数相同，这就使得每个因素不同水平的试验次数相同。保证了水平间的可比性，因而为我们能直观地分析试验结果数据提供了有利条件。（二）正交试验设计的一般步骤（１）明确试验目的和试验指标；（２）确定试验的因素和水平；（３）选用适当的正交表，并作好表头设计；（４）安排试验，确定各次试验的条件及试验顺序（为了避免产生系统误差，可以随机选定试验顺序）；（５）进行试验，并真实地记录试验数据；（６）分析数据，找出相对最优试验条件。二、正交试验数据的直观分析下面通过例子来介绍试验数据的直观分析法

例：某药厂为了提高一种原料药的收率，根据经验确定考察三个因素：温度，加硷量，催化剂种类，分别用Ａ，Ｂ，Ｃ表示。每个因素取三个水平，分别用表示。实际的因数和水平见下表：℃水平１２３８０８５９０３５４８５５甲乙丙列号因素试验号１２３４５６７８９１２３４Ａ／℃Ｂ／ｋｇＣ１（８０）１（３５）１（甲）１２（４８）２（乙）１３（５５）３（丙）２（８５）１２２２３２３１３（９０）１３３２１３３２试验目的和指标与因素和水平已确定，下面选表。因为各因素都是三个水平，故选三水平的正交表，又只有三个因素且不考虑因素间的交互性，所以选。表头设计和试验安排见下表：（１）列号因素试验号１２３４５６７８９１２３４ＡＢＣ

１１１５１１２２２７１１３３３５８２１２３８２２２３１６９２３１２５９３１３２７７３２１３８５３３２１８４试验结果收率（％）做试验，记录试验数据，如下表：（２）（３）试验结果数据分析直接看，找出已做的最好的试验：计算结果如下表：因素ＡＢＣ

１８０２１０１９５２１０２２５２３７２４６２０１２０４

６０７０６５７０７５７９８２６７６８２２８１４水平

先计算每个因素的各个水平的试验结果之和,如因素Ａ的第一水平（1,2,3号试验）的结果之和为51＋71＋58＝180，第三水平（7,8,9号试验）为77＋85＋84＝246，又如因素Ｂ的第二个水平（2,5,8号试验）为71＋69＋85＝225，因素Ｃ的第三水平（3,5,7号试验）为58＋69＋77＝204。其次计算每个因素的各个水平的平均试验结果，即将每水平下的结果之和除以该水平的重复试验的次数，如因素Ａ的第一水平的平均试验结果为180／3＝60,等等。如果设定的指标越高越好的话，则平均结果高的水平就是相对比较好的水平。最后计算每个因素的极差Ｒ，Ｒ＝最大的平均结果－最小的平均结果。极差大的因素说明该因素的水平变动相对于其它因素而言更容易影响结果，我们称它为主要因素。由此我们根据极差大小来确定因素的主次顺序，本例由于Ｒ(Ａ)＝22＞Ｒ(C)＝14＞Ｒ(B)＝8,因此因素的主次顺序为主次ＡＣＢ再根据各因素的平均试验结果确定理论上相对最优的试验条件，本例为，如果要考虑试验成本，也可以确定为。即选90度的温度、加碱48公斤、使用乙种催化剂或选90度的温度、加碱35公斤、使用乙种催化剂的试验条件。

（３）用试验验证所确定的理论上相对最优的试验条件由于所确定的理论上相对最优的试验条件并没有出现在已做过的９次试验中，因此要再用试验来加以验证，为此分别用条件各做两次试验，结果如下表：可见，从计算分析得出的条件确是比先前所做的要好，这正体现了正交试验的优点，同时上述两结果相差不大，因此可确定为实际的生产条件。（４）画趋势图，作进一步分析从温度看，似乎温度越高收率越高，那收率和温度究竟有何关联呢？为此我们需要进一步分析，直观方法是作趋势图（也可以回归分析，但要数据多一点）。下图是以因素为横坐标，指标（收率）为纵坐标的趋势图：90807060808590354855甲乙丙Ａ（温度）／℃Ｂ（加硷量）／ｋｇＣ（催化剂种类）平均收率(％)

从趋势图可以看出两点：一是最好的试验条件是温度：90度；加硷量：48公斤；催化剂：乙种催化剂。二是收率和温度呈现线性关系，温度越高收率越高，因此适当提高温度，收率也许还会提高。

三、考虑交互作用的试验分析

在多因素的试验中，有些因素对试验指标的影响往往有相互制约或相互促进的情况，特别是在药物制剂和中药的配方的试验中，常会遇到此种情况。这在统计上称为因素间的交互作用。下面从一个农业试验的例子中可以看到因素间的交互作用确实存在。为了研究磷肥和氮肥对大豆增产的作用，选取面积相同，土质和其它条件大致相同的４块土地，用不同方式施用磷肥（Ｐ）和氮肥（Ｎ），结果得大豆亩产量数据如下表：Ｐ／ｋｇＮ／ｋｇ亩产量／ｋｇ从上表看出单施２公斤磷肥，每亩增产２５公斤，单施３公斤氮肥，每亩增产１５公斤，既施磷肥又施氮肥每亩增产８０公斤，从中扣除单施磷肥或单施氮肥增产的２５公斤和１５公斤外，还多增产４０公斤，这正反映了磷肥和氮肥的交互作用。称两个因素Ａ、Ｂ的交互作用为一级交互作用，记为Ａ×Ｂ，两个以上的因素的交互作用为高级交互作用，因后者情况比较复杂，一般来说不于考虑。

１．正交表的交互作用表（１）两水平正交表的交互作用表列号１２３４５６７（１）３２５４７６（２）１６７４５（３）７６５４（４）１２３（５）３２（６）１（７）列号两水平正交表任意两列的交互列只有一列，查交互列时，带括号的列号横着看，不带括号的列号竖着看，横竖列号交叉点的数字就是所要的两列的交互列。

（２）三水平正交表的交互作用表三水平正交表任意两列的交互列有两列，见下面的表，如一、二两列的交互列为三、四两列，四、五两列的交互列为十、十二列等等。不管是什么样的具有交互列的正交表，它们的任意两列的交互列在什么位置都是固定的，因此在安排因素间具有交互作用的试验的表头设计要特别注意。２．试验结果数据的直观分析例：中药汤剂茵陈汤由茵陈蒿、栀子和大黄三位中药组成，它有利胆作用。为研究三位中药的最佳配方，取成年大白鼠做试验。在近左右肝管处切开总胆管插入内径约１ｍｍ的硬质塑料管引流胆汁，以每１０分钟的胆汁充盈长度（ｃｍ）为指标进行给药前后的对比，给药后连续观察半小时，每１０分钟的均值减去给药前２０分钟内的均值作为供统计分析用的试验指标值，因素和水平见下表：

因素大黄／ｇ栀子／ｇ茵陈蒿／ｇＡＢＣ水平

１

生１．８３１２２酒犜１。８００

（１）选表这是一个三因素二水平的试验，还要考虑任意二因素间的交互作用，三个因素要占三列，交互列也要占三列，因此至少要选具有六列的二水平的正交表，满足此要求的最合适的表是表。（２）表头设计和试验安排以及试验结果见下表。

（3）结果数据分析指标数据越高，说明茵陈蒿汤的利胆效果越好。直接看，第３号试验最好，条件是：生大黄１．８ｇ，茵陈１２ｇ，不用栀子。计算分析：有关的计算结果见上表，从各因素和交互作用的极差大小看，因素和交互作用的主次顺序为

主次ＢＣＡ×ＣＡ×ＢＡＢ×Ｃ

Ｃ

在考虑交互作用试验的表头设计时必须慎重，不要随心所欲地安排交互列的位置，要由正交表的交互列确定，千万不要把因素和交互作用安排在同一列上，否则无法区分因素和交互作用的作用。表头设计的一般方法是先安排具有交互作用的因素和它们的交互作用，然后在空列上安排其余的没有考虑交互作用的因素。

例：设有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个因素，每个因取三个水平，还需考虑Ａ，Ｂ，Ｃ之间的交互作用，试问选哪个正交表合适？并作表头设计。解：因为Ａ，Ｂ，Ｃ之间的两两交互列要６列，加上四个因素所要的４列，故至少要有１０列的三水平的正交表，最合适的是列号12345678因数ＡＢＡ×ＢＡ×ＢＣＡ×ＣＡ×ＣＢ×Ｃ列号910111213因素ＤＢ×Ｃ

例：设有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ六个因素，每个因素取二个水平，还需考虑交互作用Ｃ×Ｄ，Ｄ×Ｅ，Ａ×Ｅ，试问选用哪个正交表？并作表头设计。

解：要选至少有９列的两水平的正交表，故选正交表根据表头设计的原则，应先考虑有交互作用的因素，表头设计如下：列号１２３４５６７８９因素ＤＥＤ×ＥＡＢＡ×ＥＦＣＣ×Ｄ为什么不选例：某厂利用有机溶剂提取某中药的有效成分，为找出浸出率的影响因素和适当水平，选取溶液浓度（Ａ），催化剂的量（Ｂ），溶液的ｐＨ值（Ｃ），和温度（Ｄ）四个因素，每个因素各取二个水平并考虑交互作用Ａ×Ｂ，Ａ×Ｃ，Ｂ×Ｃ，选用正交表

试用直观分析