云南省大理白族自治州祥华集团联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

祥云祥华中学2024—2025学年上学期二调考试高二数学测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线的倾斜角为，则实数m的值为（）A． B． C． D．2．方程表示椭圆的充要条件是（）A． B．C． D．3．抛物线的焦点坐标为（）A． B． C． D．4．已知圆：，：，动圆C与圆外切，与圆内切，则圆C的圆心的轨迹方程为（）A． B．C． D．5．图中是抛物线形拱桥，当水面在m时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（）A．米 B．米 C．米 D．米6．双曲线的左右焦点分别为，，点P为双曲线上异于顶点的任意一点，且，则（）A． B． C．1 D．7．在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为的重心，则（）A．6 B．8 C．9 D．128．已知，是椭圆C：的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．以下四个命题表述正确的是（）A．直线恒过定点B．圆上有且仅有2个点到直线的距离等于C．曲线：与：恰有四条公切线D．已知圆C：，P为直线上一动点，过点P向圆C引切线，其中A为切点，则的最小值为210．已知双曲线C：，P是该双曲线上任意一点，、是其左、右焦点，则下列说法正确的是（）A．该双曲线的渐近线方程为B．若，则或12．C．若是直角三角形，则满足条件的P点共4个D．若点P在双曲线的左支上，则以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切11．己知抛物线C：的焦点为F，则下列结论正确的有（）A．抛物线C上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为3B．过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4C．过点与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条D．过点的直线l与抛物线C交于不同的两点，，则二、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分）12．已知三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是______．13．在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线，A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______．14．已知双曲线C：的右焦点为F，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一、二象限分别交于P，Q两点，若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为______．四、解答题（本大题共5题，共计77分，请写出必要的文字说明和演算步骤）15．（本小题满分13分）已知圆C与y轴相切，圆心在x轴下方并且与x轴交于，两点．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过点且被圆C所截弦长为6，求直线l的方程．16．（本小题满分15分）如图甲，在中，，，，D，E分别在，上，且满足，将沿折到位置，得到四棱锥，如图乙．（1）已知M，N为，上的动点，求证：；（2）在翻折过程中，当二面角为时，求直线与平面所成角的正弦值．17．（本小题满分15分）已知双曲线C：的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P．且，．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设M、N是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线、的斜率分别为，，证明：为定值．18．（本小题满分17分）已知动点M到定点的距离比到直线的距离少1，（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．19．（本小题满分17分）已知椭圆E：上任意一点到其左右焦点、的距离之和均为4，且椭圆的中心O到直线的距离为．（1）求椭圆E的方程；（2）已知以椭圆右顶点A为直角顶点的动直角三角形斜边端点B、C落在椭圆E上，求动直角面积的最大值．

参考答案题号12345678910答案ABDDDDDBACDABD题号11答案ABD12．（或）13．14．15．（1）；（2），或．【详解】（1）由题意可知，，设圆心坐标为，则，解得或，因为，所以，所以圆C的方程为（2）因为直线l过点且被圆C所截弦长为6，所以圆心到直线l的距离为，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，所以圆心到直线的距离为，符合题意；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为，即，因为圆心到直线的距离为4，所以，解得，所以直线l的方程为，故所求线l的方程为，或．16．（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）通过和证明即可得出；（2）以点B为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立坐标系，利用向量法求解．【详解】（1）证明：在图甲中，∵，∴，又∵，∴且，即在图乙中，，，又，故有，而，故有；（2）解：∵，，所以为二面角的平面角，则，在中，，，，由余弦定理，可知，满足，则有，由（1）知，，则，如图，以点B为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立坐标系，则，，，，则，，，设平面的法向量为，则，取，所以直线与平面所成角满足．17．（1）（2）证明见解析【详解】（1）不妨设双曲线C的半焦距为c（），∵，，∴，，解得，，则，故双曲线C的标准方程为；（2）设，，，，则，∵M，N为双曲线C上的两点，∴，两式相减得，整理得，则，故为定值，定值为4．18．（1）（2），证明见解析【详解】（1）因为动点M到定点的距离比到直线的距离少1，所以动点M到定点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；（2）如图，设，，由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，，联立方程组，整理得，由韦达定理知，，由，可得，可得，即，整理得，将①式代入上式，可得，此时，直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点．19．（1）；（2）【分析】（1）由距离之和为4可得，由O到直线的距离为可得，求出a，b，即可写出椭圆方程；（2）设所在直线，联立椭圆，写出韦达定理，利用可求出m