广州市番禺区2025届高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

广州市番禺区2025届高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列区间是函数的单调递减区间的是（）A. B.C. D.2．函数零点所在的大致区间的A. B.C. D.3．如图，在平面四边形ABCD，，，，．若点E为边上的动点，则的取值范围为（）A. B.C. D.4．设，，则（）A.且 B.且C.且 D.且5．下图是函数的部分图象，则（）A. B.C. D.6．已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若它的终边经过点，则（）A. B.C. D.8．若tanα＝2，则的值为（）A.0 B.C.1 D.9．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值是A. B.C. D.10．函数与（且）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若直线经过点，且与斜率为的直线垂直，则直线的方程为__________12．声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）.声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的______倍.13．定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________14．若，记，，，则P、Q、R的大小关系为______15．已知是球上的点，,，,则球的表面积等于________________16．一条光线从A处射到点B(0，1)后被轴反射，则反射光线所在直线的一般式方程为_____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）求的定义域；（2）讨论的单调性；（3）求在区间[,2]上的值域.18．如图，在△ABC中，A（5，–2），B（7，4），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上（1）求点C的坐标；（2）求△ABC的面积19．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P=3-6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q=a+2，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大?20．已知.（1）求的值；（2）求的值.21．定义在R上的函数对任意的都有，且，当时.（1）求的值，并证明是R上的增函数；（2）设，（i）判断的单调性（不需要证明）（ii）解关于x的不等式.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】取，得到，对比选项得到答案.【详解】，取，，解得，，当时，D选项满足.故选：D.2、B【解析】函数是单调递增函数，则只需时，函数在区间（a，b）上存在零点.【详解】函数,x>0上单调递增，，函数f（x）零点所在的大致区间是；故选B【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若确定零点所在的区间.3、A【解析】由已知条件可得，设，则，由，展开后，利用二次函数性质求解即可.【详解】∵,因为，，，所以，连接，因为，所以≌，所以，所以，则，设，则，∴，，，，所以，因为，所以.故选：A4、B【解析】容易得出，，即得出，，从而得出，【详解】，.又，即，，，故选B.【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，求解时注意总结规律，即对数的底数和真数同时大于1或同时大于0小于1，函数值大于0；若一个大于1，另一个大于0小于1，函数值小于05、B【解析】由图象求出函数的周期，进而可得的值，然后逆用五点作图法求出的值即可求解.【详解】解：由图象可知，函数的周期，即，所以，不妨设时，由五点作图法，得，所以，所以故选：B.6、A【解析】利用十字相乘法进行因式分解，然后利用换元法，作出的图象，利用数形结合判断根的个数即可.【详解】由，得，解得或，作出的图象如图，则若，则或，设，由得，此时或，当时，，有两根，当时，，有一个根，则必须有，有个根，设，由得，若，由，得或，有一个根，有两个根，此时有个根，不满足题意；若，由，得，有一个根，不满足条件.若，由，得，有一个根，不满足条件；若，由，得或或，当，有一个根，当时，有个根，当时，有一个根，此时共有个根，满足题意.所以实数a的取值范围为.故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题第II卷（非选择题7、D【解析】利用定义法求出，再用二倍角公式即可求解.【详解】依题意，角的终边经过点，则，于是.故选：D8、B【解析】将目标是分子分母同时除以，结合正切值，即可求得结果.【详解】＝＝.故选：【点睛】本题考查齐次式的化简和求值，属基础题.9、A【解析】将看作整体，先求的取值范围，再根据不等式恰有一个整点和函数的图像，推断参数，的取值范围【详解】做出函数的图像如图实线部分所示，由，得，若，则满足不等式，不等式至少有两个整数解，不满足题意，故，所以，且整数解只能是4，当时，，所以，选择A【点睛】本题考查了分段函数的性质，一元二次不等式的解法，及整体代换思想，数形结合思想的应用，需要根据题设条件，将数学语言转化为图形表达，再转化为参数的取值范围10、B【解析】分析一次函数的单调性，可判断AD选项，然后由指数函数的单调性求得的范围，结合直线与轴的交点与点的位置关系可得出合适的选项.【详解】因为一次函数为直线，且函数单调递增，排除AD选项.对于B选项，指数函数单调递减，则，可得，此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的上方，合乎题意；对于C选项，指数函数单调递减，则，可得，此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的下方，不合乎题意.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】与斜率为的直线垂直，故得到直线斜率为又因为直线经过点，由点斜式故写出直线方程，化简为一般式：故答案为．12、1000【解析】根据已知公式，应用指对数的关系及运算性质求60dB、30dB对应的声强，即可得结果.【详解】由题设，，可得，，可得，∴声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的倍.故答案为：1000.13、【解析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得，由减函数的定义可得，解得的范围，即可得答案【详解】根据题意，，则，根据单调性可得先减后增，所以当时，取得最小值2，则有，则，因为为减函数，必有，解可得：，即m的取值范围为；故答案为．【点睛】本题考查函数单调性、函数最值的计算，关键是求出c的值．14、【解析】利用平方差公式和同角三角函数的平方关系可得P、R的关系，然后作差，因式分解，结合已知可判断P、Q的大小关系.【详解】又因为，所以所以，即所以P、Q、R的大小关系为.故答案为：15、【解析】由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以，又，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为，,所以，所以球的表面积点睛：本题考查了球内接多面体，球的表面积公式，属于中档题．其中根据已知条件求球的直径（半径）是解答本题的关键16、【解析】根据反射光线的性质，确定反射光线上的两个点的坐标，最后确定直线的一般式方程.【详解】因为一条光线从A处射到点B(0，1)后被轴反射，所以点A关于直线对称点为，根据对称性可知，反射光线所在直线过点，又因为反射光线所在直线又过点，所以反射光线所在直线斜率为，所以反射光线所在直线方程为，化成一般式得：，故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）函数在上为减函数（3）【解析】（1）直接令真数大于0即可得解；（2）由和，结合同增异减即可得解；（3）直接利用（2）的单调性可直接得值域.【小问1详解】由，得，解得.所以定义域为；小问2详解】由在上为增函数，且为减函数，所以在上为减函数；【小问3详解】由（2）知函数单调递减，因为，，所以在区间上的值域为.18、（1）（–5，–4）（2）【解析】（1）设点，根据题意写出关于的方程组，得到点坐标；（2）由两点间距离公式求出，再由两点得到直线的方程，利用点到直线的距离公式，求出点到的距离，由三角形面积公式得到答案.【详解】（1）由题意，设点，根据AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，根据中点公式，可得，解得，所以点的坐标是（2）因为，得，所以直线的方程为，即，故点到直线的距离，所以的面积【点睛】本题考查中点坐标公式，两点间距离公式，点到直线的距离公式，属于简单题.19、（1）43.5(万元)；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元.【解析】（1）直接代入收益公式进行计算即可.（2）由收益公式写出f(x)=-x+3+26，令t=，将函数转为关于t的二次函数求最值即可.【详解】（1）当x=50时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元，所以公司的总收益为3-6+×70+2=43.5(万元).（2）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资(120-x)万元，所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26，依题意得解得40≤x≤80.故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).令t=，则t∈[2，4]，所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.当t=6，即x=72万元时，y的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.【点睛】本题考查函数模型的应用，考查函数最值的求解，属于基础题.20、（1）；（2）【解析】（1）根据正切的差角公式求得，再利用正切的二倍角公式可求得答案；（2）根据同角三角函数的关系和正弦，余弦的二倍角公式，代入可得答案【详解】（1）因为，所以，即，解得，所以，所以，（2）21、（1），证明见解析（2）（i）