2025届湖北省孝感一中数学高三第一学期期末检测模拟试题含解析

2025届湖北省孝感一中数学高三第一学期期末检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数满足，(为虚数单位)，则()A． B． C． D．32．已知等差数列中，，则（）A．20 B．18 C．16 D．143．点为不等式组所表示的平面区域上的动点，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知函数（，且）在区间上的值域为，则（）A． B． C．或 D．或45．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（）A． B． C． D．6．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（）A．3 B．－3 C．2 D．－27．下列函数中，图象关于轴对称的为（）A． B．，C． D．8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是()A． B． C． D．9．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（）A． B． C． D．11．双曲线x2a2A．y=±2x B．y=±3x12．已知正项等比数列中，存在两项，使得，，则的最小值是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知x，y＞0，且，则x+y的最小值为_____．14．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为_____．15．已知实数，满足约束条件，则的最小值为______.16．已知关于空间两条不同直线m、n，两个不同平面、，有下列四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若，且，则.其中正确命题的序号为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有个，有个，则称为“﹣数列”．（1）为“﹣数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？（2）为“﹣数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为.18．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，其短半轴长为1，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上，且．（1）证明：直线与圆相切；（2）设与椭圆的另一个交点为，当的面积最小时，求的长．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点、分别为，的中点，且平面平面.（1）求证：平面.（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）已知函数.（1）若对任意x0，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2），证明：.21．（12分）椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上两动点使得四边形为平行四边形，且平行四边形的周长和最大面积分别为8和.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程.22．（10分）如图，三棱锥中，，，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】，故，故选A.2、A【解析】

设等差数列的公差为,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得即可.【详解】设等差数列的公差为.由得,解得.所以.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.3、B【解析】

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用的几何意义即可得到结论．【详解】不等式组作出可行域如图：，，，的几何意义是动点到的斜率，由图象可知的斜率为1，的斜率为：，则的取值范围是：，，．故选：．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键．4、C【解析】

对a进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.【详解】分析知，.讨论：当时，，所以，，所以；当时，，所以，，所以.综上，或，故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.5、D【解析】

由可得，所以，由为定义在上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知在上单调递增，注意到，再利用函数单调性即可解决.【详解】因为在上是奇函数.所以，解得，所以当时，，且时，单调递增，所以在上单调递增，因为，故有，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.6、A【解析】

求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】，若，，在单调递增，且，在不存在零点；若，，在内有且只有一个零点，.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.7、D【解析】

图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.【详解】图象关于轴对称的函数为偶函数；A中，，，故为奇函数；B中，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；C中，由正弦函数性质可知，为奇函数；D中，且，，故为偶函数.故选：D.【点睛】本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数(2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称．8、D【解析】

根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.【详解】根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为，所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.故选：D【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.9、B【解析】

由题意得出的值，进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.10、D【解析】

由试验结果知对0～1之间的均匀随机数，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．【详解】解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，对应区域为边长为的正方形，其面积为，若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，其面积；则有，解得故选：．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.11、A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：∵e=因为渐近线方程为y=±bax点睛：已知双曲线方程x2a212、C【解析】

由已知求出等比数列的公比，进而求出，尝试用基本不等式，但取不到等号，所以考虑直接取的值代入比较即可.【详解】，，或（舍）.，，.当，时；当，时；当，时，，所以最小值为.故选:C.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

处理变形x+y＝x（）+y结合均值不等式求解最值.【详解】x，y＞0，且，则x+y＝x（）+y1，当且仅当时取等号，此时x＝4，y＝2，取得最小值1．故答案为：1【点睛】此题考查利用均值不等式求解最值，关键在于熟练掌握均值不等式的适用条件，注意考虑等号成立的条件.14、【解析】

利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可.【详解】解：复数为纯虚数,解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.15、【解析】

作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解与点的斜率，观察图形斜率最小在点B处，联立，解得点B坐标，即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域，该目标函数视为可行解与点的斜率，故由题可知，联立得,联立得所以，故所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.16、③④【解析】

由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断．【详解】①若且，的位置关系是平行、相交或异面，①错；②若且，则或者，②错；③若，设过的平面与交于直线，则，又，则，∴，③正确；④若，且，由线面垂直的定义知，④正确．故答案为：③④．【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）16；（2）115.【解析】

(1)易得使得的情况只有“”,“”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“”共有种,“”共有种.再根据古典概型的方法可知,利用组合数的计算公式可得,当时根据题意有,共个；当时求得,再根据换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.【详解】解：（1）三个数乘积为有两种情况：“”,“”,其中“”共有：种,“”共有：种,利用分类计数原理得：为“﹣数列”中的任意三项,则使得的取法有：种．（2）与(1)同理,“”共有种,“”共有种,而在“﹣数列”中任取三项共有种,根据古典概型有：,再根据组合数的计算公式能得到：,时,应满足,,共个,时,应满足,视为常数,可解得,,根据可知,,,,根据可知,,（否则）,下设,则由于为正整数知必为正整数,,,化简上式关系式可以知道：,均为偶数,设,则,由于中必存在偶数,只需中存在数为的倍数即可,,．检验：符合题意,共有个,综上所述：共有个数对符合题意．【点睛】本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意18、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）分斜率为0，斜率不存在，斜率不为0三种情况讨论，设的方程为，可求解得到，，可得到的距离为1，即得证；（2）表示的面积为，利用均值不等式，即得解.【详解】（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且，所以．所以椭圆的方程为．由点在直线上，且知的斜率必定存在，当的斜率为0时，，，于是，到的距离为1，直线与圆相切．当的斜率不为0时，设的方程为，与联立得，所以，，从而．而，故的方程为，而在上，故，从而，于是．此时，到的距离为1，直线与圆相切．综上，直线与圆相切．（2）由（1）知，的面积为，上式中，当且仅当等号成立，所以面积的最小值为1．此时，点在椭圆的长轴端点，为．不妨设为长轴左端点，则直线的方程为，代入椭圆的方程解得，即，，所以．【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了直线和圆的位置关系判断，面积的最值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于较难题.19、（1）见解析（2）【解析】

（1）首先可得，再面面垂直的性质可得平面，即可得到，再由，即可得到线面垂直；（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；【详解】解：（1）∵，点为的中点，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又∵，分别为，的中点，∴，∴，又平面，平面，，∴平面.（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，∵，∴，，，，∴，，，设平面的法向量为，由，得，令，得，∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法求线面角，属于中档题.20、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）求出，判断函数的单调性，求出函数的最大值，即求的范围；（2）由（1）可知，.对分和两种情况讨论，构造函数，利用放缩法和基本不等式证明结论．【详解】（1）由，得.令.当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，.对任意恒成立，.（2）证明：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，.若，则，令在上单调递增，，.又，在上单调递减，.若，则显然成立.综上，.又以上两式左右两端分别相加，得，即，所以.【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题.21、（1）（2）或【解析】

（1）根据题意计算得到，，得到椭圆方程.（2）设，联立方程得到，根据，计算得到答案.【详解】（1）由平行四边形的周长为8，可知，即.由平行四边形的最大面积为，可知，又，解得.所以椭圆方程为.（2）注意到直线的斜率不为0，且过定点.设，由消得，所以，因为，所以.因为点在以线段为直径的圆上，所以，即，所以直线的方程或.【点睛】本题考查了椭圆方程，根据直线和