2025届甘肃省武威第十八中学高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2025届甘肃省武威第十八中学高二数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（）A.1 B.2C. D.2．已知等比数列中，，，则公比（）A. B.C. D.3．由下面的条件一定能得出为锐角三角形的是（）A. B.C. D.4．双曲线的左焦点到其渐近线的距离是（）A. B.C. D.5．设函数的导函数是，若，则（）A. B.C. D.6．设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A. B.C. D.7．现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重（）斤A.6 B.7C.9 D.158．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A. B.C.或 D.或9．已知焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B.C.2 D.10．下列命题是真命题的个数为（）①不等式的解集为②不等式的解集为R③设，则④命题“若，则或”为真命题A1 B.2C.3 D.411．“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，若，则实数m的值是___________.14．已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.15．如图是某赛季CBA广东东莞银行队甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙比赛得分的中位数之和是______.16．已知正数满足，则的最小值是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）讨论函数的单调性;（2）若，证明:18．（12分）已知椭圆的左顶点、上顶点和右焦点分别为，且的面积为，椭圆上的动点到的最小距离是（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线交椭圆于不同的两点（异于点）.①证明：动直线恒过轴上一定点；②设线段中点为，坐标原点为，求的面积的最大值.19．（12分）已知等差数列的前项和为，满足，.（1）求数列的通项公式与前项和；（2）求的值.20．（12分）已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.（1）求双曲线C的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程21．（12分）已知圆与直线（1）若，直线与圆相交与，求弦长（2）若直线与圆无公共点求的取值范围22．（10分）已知复数，是实数.（1）求复数z；（2）若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆：，得圆，半径为，所以，所以点到圆上点的最小距离为.故选：C.2、C【解析】利用等比中项的性质可求得的值，再由可求得结果.【详解】由等比中项的性质可得，解得，又，，故选：C.3、D【解析】对于A，两边平方得，由得，即为钝角；对于B，由正弦定理求出，进而求出，可得结果；对于C，根据平方关系将余弦化为正弦，用正弦定理可将角转化为边，进而可得的值，从而作出判断；对于D，由可得，推出，，，故可知三个内角均为锐角【详解】解：对于A，由，两边平方整理得，，因为，所以，所以，所以，所以为钝角三角形，故A不正确；对于B，由，得，所以，因为，所以，所以或，所以或，所以为直角三角形或钝角三角形，故B不正确；对于C，因为，所以，即，由正弦定理得，由余弦定理得，因为，所以，故三角形为钝角三角形，C不正确；对于D，由可得，因为中最多只有一个钝角，所以，，中最多只有一个为负数，所以，，，所以中三个内角都为锐角，所以为锐角三角形，故D正确；故选：D4、A【解析】求出双曲线焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】在双曲线中，，，，所以，该双曲线的左焦点坐标为，渐近线方程为，即，因，该双曲线的左焦点到渐近线的距离为.故选：A5、A【解析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.6、B【解析】根据抛物线的方程写出焦点坐标，求出直线的方程、点的坐标，最后根据三角形面积公式进行求解即可.【详解】抛物线的焦点的坐标为，所以直线的方程为：，令，解得，因此点的坐标为：，因为面积为4，所以有，即，，因此抛物线的方程为.故选：B.7、D【解析】设该等差数列为，其公差为，根据题意和等差数列的性质可得，进而求出结果.【详解】设该等差数列为，其公差为，由题意知，，由，解得，所以.故选：D8、D【解析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒【详解】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为，∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为，故选：D﹒9、D【解析】由题意，化简即可得出双曲线的离心率【详解】解：由题意，.故选：D10、B【解析】举反例判断A，解一元二次不等式确定B，由导数的运算法则求导判断C，利用逆否命题判断D【详解】显然不是的解，A错；，B正确；，，C错；命题“若，则或”的逆否命题是：若且，则，是真命题，原命题也是真命题，D正确真命题个数2.故选：B11、B【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由，得，反之不成立，如，，满足，但是不满足，故“”是“”的充分不必要条件故选：B12、B【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】结合已知条件和空间向量的数量积的坐标公式即可求解.【详解】因为，所以，解得.故答案为：.14、【解析】根据的中点是圆心，是半径，即可写出圆的标准方程.【详解】因为和，故可得中点为，又，故所求圆的半径为，则所求圆的标准方程是：.故答案为：.15、58【解析】分别将甲、乙两名运动员的得分按小到大或者大到小排序，分别确定中位数，再相加即可【详解】因为甲、乙两名篮球运动员各参赛11场，故中位数是第6个数甲的得分按小到大排序后为：12,22,23,32,33,34,35,40,43,44,46，所以，中位数为34乙的得分按小到大排序后为：12,13,21,22,23,24,31,31,34,40,49所以，中位数为24所以，中位数之和为34+24＝58，故答案为：5816、8【解析】利用“1”代换，结合基本不等式求解.【详解】因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最小值8.故答案为：8.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）见详解【解析】（1）对函数进行求导，然后根据参数进行分类讨论；（2）构造函数，求函数的最小值即可证出.【详解】（1）的定义域为，.当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，.令，，则.，令，.恒成立，所以在上单调递增.因为，，所以存在唯一的，使得，即.①当时，，即，所以在上单调递减；当时，，即，所以在上单调递增.所以，，②方法一：把①代入②得，.设，.则恒成立，所以在上单调递减，所以.因为，所以，即，所以，所以时，.方法二：设，.则，所以在上单调递增，所以，所以.因为，所以，所以，所以时，.【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等式的方法主要有两个：（1）不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数最值即可；（2）观察不等式的特点，结合已解答问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，再化简或者进一步利用导数证明.18、（1）（2）①证明见解析；②【解析】（1）根据题意得，，解方程即可；（2）①设直线：，直线：，联立曲线分别求出点和的坐标，求直线方程判断定点即可；②根据题意得，代入求最值即可.【小问1详解】根据题意得，，，又，三个式子联立解得，，，所以椭圆的方程为：【小问2详解】①证明：设两条直线分别为和，根据题意和得斜率存在且不等于；因为，所以设直线：，直线：；由，解得，所以，同理，.当时，，所以直线的方程为：，整理得，此时直线过定点；当时，直线的方程为：，此时直线过定点，故直线恒过定点.②根据题意得，，，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的面积的最大值为：.【点睛】解决直线与椭圆综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题19、（1），；（2）.【解析】(1)设出等差数列的公差，借助前项和公式列式计算作答.(2)由(1)的结论借助裂项相消去求解作答.【小问1详解】设等差数列的公差为，因，，则，解得，于是得，，所以数列的通项公式为，前项和.【小问2详解】由(1)知，，所以.20、(1)双曲线方程为(2)满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和【解析】（1）由双曲线焦点可得值，进而可得到的关系式，将点P代入双曲线可得到的关系式，解方程组可求得值，从而确定双曲线方程；（2）求直线方程采用待定系数法，首先设出方程的点斜式，与双曲线联立，求得相交的弦长和O到直线的距离，代入面积公式可得到直线的斜率，求得直线方程试题解析：（1）由已知及点在双曲线上得解得；所以，双曲线的方程为（2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为由得设直线与双曲线交于、，则、是上方程的两不等实根，且即且①这时，又即所以即又适合①式所以，直线的方程为与21、（1）；（2）或.【解