广东省东莞市第四高级中学2025届数学高二上期末调研试题含解析

广东省东莞市第四高级中学2025届数学高二上期末调研试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“”是“函数在上无极值”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．雅言传承文明，经典浸润人生．某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某人决定从这四类比赛中任选两类参赛，则“诵读中国”被选中的概率为（）A. B.C. D.3．已知命题：，；命题：，.则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.4．已知直线与圆交于A，B两点，O为原点，且，则实数m等于（）A. B.C. D.5．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（）A.外切 B.内切C.相交 D.相离6．在下列函数中，最小值为2的是（）A. B.C. D.7．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（）A.130 B.132C.140 D.1448．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A.2 B.5C. D.9．如图，是边长为4的等边三角形的中位线，将沿折起，使得点A与P重合，平面平面，则四棱锥外接球的表面积是（）A. B.C. D.10．已知，，若，则（）A.9 B.6C.5 D.311．如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为，的面积为，并向正方形中随机投掷个点，用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率为附表：A. B.C. D.12．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（）A.2 B.4C.6 D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，直线是曲线在点处的切线，则__________.14．已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______15．数列满足，，则___________.16．设a为实数，若直线与直线平行，则a值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，求的极值；（2）设函数，，，求证：.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.（1）求对角线所在直线的一般方程；（2）求所在直线的一般方程.19．（12分）如图，在直棱柱中，已知，点分别的中点.（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）求点到平面的距离；（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的大小是?若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.20．（12分）已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和.21．（12分）如图①，等腰梯形中，，分别为的中点，，现将四边形沿折起，使平面平面，得到如图②所示的多面体，在图②中：（1）证明：平面平面；（2）求四棱锥的体积.22．（10分）已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据极值的概念，可知函数在上无极值，则方程的，再根据充分、必要条件判断，即可得到结果.【详解】由题意，可得，若函数在上无极值，所以对于方程，,解得.所以“”是“函数在上无极值”的必要不充分条件.故选：B.2、B【解析】由已知条件得基本事件总数为种，符合条件的事件数为3中，由古典概型公式直接计算即可.【详解】从四类比赛中选两类参赛，共有种选择，其中“诵读中国”被选中的情况有3种，即“诵读中国”和“诗教中国”，“诵读中国”和“笔墨中国”，“诵读中国”和“印记中国”，由古典概型公式可得，故选：.3、C【解析】利用基本不等式判断命题的真假，由不等式性质判断命题的真假，进而确定它们所构成的复合命题的真假即可.【详解】由，当且仅当时等号成立，故不存在使，所以命题为假命题，而命题为真命题，则为真，为假，故为假，为假，为真，为假.故选：C4、A【解析】根据给定条件求出，再求出圆O到直线l的距离即可计算作答.【详解】圆的圆心O，半径，因，则，而，则，即是正三角形，点O到直线l的距离，因此，，解得，所以实数m等于.故选：A5、A【解析】求得两圆的圆心和半径，再根据圆心距与半径之和半径之差的关系，即可判断位置关系.【详解】对圆，其圆心，半径；对圆，其圆心，半径；又，故两圆外切.故选：A.6、C【解析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，时，为负数，A错误.对于B选项，，，，但不存在使成立，所以B错误.对于C选项，，当且仅当时等号成立，C正确.对于D选项，，，，但不存在使成立，所以D错误.故选：C7、A【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，所以，故，故选:A8、D【解析】根据渐近线方程求得关系，结合离心率的计算公式，即可求得结果.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则；又双曲线离心率.故选：D.9、A【解析】分别取的中点，易得，则点为四边形的外接圆的圆心，则四棱锥外接球的球心在过点且垂直平面的直线上，设球心为，设外接球的半径为，，利用勾股定理求得半径，从而可得出答案.【详解】解：分别取的中点，在等边三角形中，，是中位线，则都是等边三角形，所以，所以点为四边形的外接圆的圆心，则四棱锥外接球的球心在过点且垂直平面的直线上，设球心为，由为的中点，所以，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，则，设外接球半径为，，，则，，所以，解得，所以，所以四棱锥外接球的表面积是.故选：A.第II卷10、D【解析】根据空间向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】.故选：D.11、D【解析】每个点落入中的概率为，设落入中的点的数目为，题意所求概率为故选D12、B【解析】根据，，三点共线，结合点到准线的距离为2，得到，再利用抛物线的定义求解.【详解】如图所示：∵，，三点共线，∴是圆的直径，∴，轴，又为的中点，且点到准线的距离为2，∴，由抛物线的定义可得，故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得.【详解】由图象可知直线过，所以直线的斜率为，所以.故答案为：14、【解析】倒数型求数列通项公式，第一步求倒数，第二步构造数列，求通项.【详解】因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以故答案为：.15、【解析】根据题中所给的递推式得到数列具有周期性，进而得到结果.【详解】根据题中递推式知，可知数列具有周期性，周期为3，因为故故答案为：16、【解析】根据两直线平行得到，解方程组即可求出结果.【详解】由题意可知，解得，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），无极大值（2）证明见解析【解析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性，进而确定极值点，求得答案；（2）将要证明的不等式变形为，然后构造函数，利用导数判断其单调性，求其最值，进而证明结论.【小问1详解】当时，，,由得，列表得：1--0+减减极小值增由上表可知，无极大值.；【小问2详解】证明：，即证；∵，则，故只需证，即证令，，得，得，∴在上递增，在上递减∴，∴，∴.18、（1）（2）【解析】（1）首先求的中点，再利用垂直关系求直线的斜率，即可求解；（2）首先求点的坐标，再求直线的斜率，求得直线的斜率，利用点斜式直线方程，即可求解.【小问1详解】由和得：中点四边形为菱形，，且中点，对角线所在直线方程为：，即：.【小问2详解】由，解得：，，，，直线的方程为：，即：.19、（1）（2）（3）不存在，理由见解析【解析】（1）由题意，以点A为原点，方向分别为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.，利用向量法求解异面直线成角即可.（2）先求出平面DEF的一个法向量，然后利用向量法求解点面距离.（3）设（），由可得关于的方程，从而得出答案.【小问1详解】由题意，以点A为原点，方向分别为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，故，，从而，所以异面直线AE与DF所成角的大小为.小问2详解】，设平面DEF的法向量为，则，即，取，得到平面DEF的一个法向量为.点A到平面DEF的距离为.【小问3详解】假设存在满足条件的点M，设（），则，从而.即，即，此方程无实数解，故不存在满足条件的点M.20、（1）证明见解析；（2）当为偶数时，；当为奇数时，.【解析】（1）根据等比数列的定义进行证明即可；（2）利用分组求和法，结合错位相减法进行求解即可.【小问1详解】由题知：所以又因为所以所以数列为以－1为首项，－1为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）知：，所以，，记，所以，当为偶数时，；当为奇数时，；记两式相减得：，所以，所以，当偶数时，；当为奇数时，.21、（1）证明见解析.（2）2【解析】（1）根据面面平行的判定定理结合已知条件即可证明；（2）将所求四棱锥的体积转化为求即可.【小问1详解】证明：因为，面，面，所以面，同理面，又因为面,所以面面.【小问2详解】解：因为在