专题11.4三角形（章节复习能力强化卷）教师版

20232024学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题11.4三角形（章节复习+能力强化卷）知识点01:三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.知识点02:三角形的稳定性

如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．

要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．知识点03:三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.知识点04:多边形及有关概念

1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有条对角线．

知识点05:多边形的内角和及外角和公式

1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)．

要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：

①已知外角度数，求正多边形边数；

②已知正多边形边数，求外角度数.

(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：

①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.知识点06：镶嵌的概念和特征

1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.

要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.

(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•福山区期末）如图，∠1，∠2，∠3的大小关系正确的是（）A．∠1＝∠2+∠3 B．2∠2＝∠1+∠3 C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3解：由三角形的外角大于与它不相邻的每一个内角，可得∠1、∠2、∠3的大小关系为：∠1＞∠2＞∠3．故选：D．2．（2分）（2023春•青龙县期末）在下列图形中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（）A． B． C． D．解：A、不能正确画出△ABC的边BC上的高，不符合题意；B、不能正确画出△ABC的边BC上的高，不符合题意；C、能正确画出△ABC的边BC上的高，符合题意；D、不能正确画出△ABC的边BC上的高，不符合题意；故选：C．3．（2分）（2023春•宣化区期末）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠CGE．其中正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4解：①∵EG∥BC，∴∠CEG＝∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故①正确；②∵∠CEG＝∠ACB，而∠GEC与∠GCE不一定相等，∴CA不一定平分∠BCG，故②错误；③∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC+∠BCD＝90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠GCD，故③正确；④∵∠ABC+∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DFB＝∠EBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，∵∠CGE＝90°，∴∠DFB＝∠CGE，故④正确．故选：C．4．（2分）（2023春•仪征市期末）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的边数是（）A．10 B．9 C．6 D．4解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数是：360÷60＝6．故选：C．5．（2分）（2023春•偃师市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△BDC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′＝20°，则∠A的度数为（）A．20° B．25° C．35° D．40°解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵△CDB′是由△CDB翻折得到，∴∠CB′D＝∠B，∵∠CB′D＝∠A+∠ADB′＝∠A+20°，∴∠A+∠A+20°＝90°，解得∠A＝35°．故选：C．6．（2分）（2022秋•东洲区期末）一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠BFD等于（）A．10° B．15° C．30° D．45°解：∠BFD＝60°﹣45°＝15°．故选：B．7．（2分）（2022秋•宁波期末）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，则∠A的度数为（）A．25° B．75° C．55° D．65°解：∵∠C＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝90°﹣∠B＝65°，故选：D．8．（2分）（2022秋•曲靖期末）如图，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠A＝50°，那么∠BDF的度数为（）A．80° B．65° C．100° D．115°解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∵BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴，∴，∴∠BDF＝∠CBE+∠BCF＝65°，故选：B．9．（2分）（2022秋•碑林区校级期末）一副三角板拼成如图所示的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCD＝30°，AB交DE于点F，则∠AFE的度数是（）A．30° B．35° C．45° D．50°解：由题意得，∠E＝45°，∠A＝60°，∵∠BCD＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠ACE＝30°，∴∠AGC＝180°﹣∠A﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴∠EGF＝∠AGC＝90°，∴∠AFE＝180°﹣∠E﹣∠EGF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，故选：C．10．（2分）（2022秋•渠县校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，若∠ABC＝40°，∠C＝45°，则∠CDE的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．50°解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝20°，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣20°＝70°，∴AB＝BE，∴AF＝EF，∴AD＝ED，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣45°＝95°，∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠CDE＝95°﹣45°＝50°，故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•姜堰区月考）如图，在△ABC中，D为边AB上一点，∠ABD＝∠C，AE平分∠BAC且交BD于点F，△ABC的外角∠CAG的平分线所在的直线MN与CB的延长线交于点M，若∠M＝20°，则∠BFE＝70°．解：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE＝∠CAB，∵NM是∠CAG的平分线，∴∠GAN＝∠CAN＝∠CAG，∵∠CAB+∠CAG＝180°，∴∠EAN＝∠CAE+∠CAN＝（∠CAB+∠CAG）＝90°，∵∠BAM＝∠NAG，∴∠BAM+∠EAB＝∠EAN＝90°，∵∠M＝20°，∴∠BEF＝90°﹣20°＝70°．∵∠BEF＝∠C+∠CAE，∠BFE＝∠ABD+∠BAE，∠ABD＝∠C，∠CAE＝∠BAE，∴∠BEF＝∠BFE＝70°．故答案为：70．12．（2分）（2022秋•千山区期末）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上的中线．若△ABD的周长为35，则△BCD的周长是29．解：∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为35，AB＝15，∴AD+BD＝35﹣AB＝35﹣15＝20，∴CD+BD＝AD+BD＝20，∵BC＝9，∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝9+20＝29．故答案为：29．13．（2分）（2022秋•越城区校级期末）如图，已知∠B＝20°，∠C＝35°，∠D＝165°，则∠A的度数为110°．解：延长BD与AC交于点E，如图所示：∵∠BDC＝165°，∠C＝35°，∴∠DEC＝∠BDC﹣∠C＝165°﹣35°＝130°，∵∠B＝20°，∴∠A＝∠DEC﹣∠B＝130°﹣20°＝110°．故答案为：110．14．（2分）（2023•桑植县模拟）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，则∠DBC＝15°．解：∵AB∥CF，∠A＝60°，∴∠ACM＝∠A＝60°，∵∠BCA＝30°，∴∠BCD＝30°，∵∠EFD＝90°，∠E＝45°，∴∠EDC＝∠E+∠EFD＝135°，∴∠DBC＝180°﹣30°﹣135°＝15°，故答案为：15．15．（2分）（2023春•凤城市期末）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，则∠AED的度数是120°．解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，∴∠5＝360°﹣75°×4＝360°﹣300°＝60°，∴∠AED＝180°﹣∠5＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．16．（2分）（2023春•仓山区校级期末）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是4（只要填写一个合适的数）．解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6．因此，本题的第三边应满足2＜x＜6，把各项代入不等式符合的即为答案．2，6，8都不符合不等式2＜x＜6．故答案为：4．17．（2分）（2023春•松北区期末）已知，在△ABC中，∠B＝30°，AH是BC边上的高，若∠CAH＝45°，则∠BAC＝105°或15°．解：分为两种情况：①如图1，∵AH为BC边上的高，∴∠AHB＝90°，∵∠B＝30°，∴∠BAH＝60°，∵∠CAH＝45°，∴∠BAC＝∠BAH+∠CAH＝60°+45°＝105°；②如图2，∵AH为BC边上的高，∴∠AHB＝90°，∵∠B＝30°，∴∠BAH＝60°，∵∠CAH＝45°，∴∠BAC＝∠BAH﹣∠CAH＝60°﹣45°＝15°；故答案为：105°或15°．18．（2分）（2023春•牡丹区期末）已知一个三角形两个内角的度数分别为50°和20°，则这个三角形按角进行分类应该为钝角三角形．解：第三个角：180°﹣50°﹣20°＝110°；这个三角形中，有一个角为钝角，则这个三角形为钝角三角形．故答案为：钝角三角形．19．（2分）（2023春•岳麓区校级期末）已知a，b，c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|＝2b．解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|＝a+b﹣c﹣a+b+c＝2b．故答案为：2b．20．（2分）（2023•淮阴区模拟）若一个多边形的内角和为360°，则这个多边形的边数为4．解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180＝360，解得n＝4．故这个多边形的边数为4．故答案为：4．三．解答题（共9小题，满分60分）21．（6分）（2023春•高碑店市校级月考）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O．（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为1；（2）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数；（3）若∠A＝78°，CD是角平分线，求∠BOC的度数．解：（1）∵CD是中线，∴BD＝AD，∵BC＝3，AC＝2，∴△BCD的周长P1＝BC+BD+AD＝3+AD+CD，△ACD的周长为P2＝AD+CD+AC＝2+AD+CD，∴P1﹣P2＝3+AD+CD﹣（2+AD+CD）＝1．故答案为：1．（2）CD是△ABC的高，∴∠CDB＝90°，∵∠ABC＝62°，BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE＝1/2∠ABC＝1/2×62°＝31°，∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°，（3）∵∠A＝78°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣78°＝102°，∵BE，CD是△ABC的角平分线，∴∠OBC＝1/2∠ABC，∠OCB＝1/2∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝1/2（∠ABC+∠ACB）＝1/2×102°＝51°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°．22．（6分）（2023春•鼓楼区校级期末）已知a，b，c是△ABC的三边长．（1）若a，b，c满足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状；（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|．解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|＝0，∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形；（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c＝a+b+c．23．（6分）（2023春•松北区期末）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．（1）画出△ABC中边BC上的高AD；（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；（3）直接写出△ABE的面积为4．解：（1）如图所示，线段AD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求；（3）S△ABC＝BC•AD＝4×4＝8．∴△ABE的面积＝S△ABC＝4，故答案为：4．24．（6分）（2023春•内江期末）如图，BD平分∠ABC．∠ABD＝∠ADB．（1）求证：AD∥BC；（2）若BD⊥CD，∠BAD＝α，求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD∵∠ABD＝∠ADB，∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC．（2）解：∵AD∥BC，且∠BAD＝α，∴∠ABC＝180°﹣α，∴∠DBC＝∠ABC＝90°﹣α，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°∴∠C＝90°﹣（90°﹣α）＝α．25．（6分）（2023春•莱西市期末）已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2．证明：∵∠1是△ABC的一个外角，∴∠1＞∠3，∵∠3是△DEC的一个外角，∴∠3＞∠2，∴∠1＞∠2．26．（6分）（2023春•宿城区期末）已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．求证：（1）∠1+∠2＝90°；（2）BE∥DF．证明：（1）∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠ADF，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴2（∠1+∠2）＝180°，∴∠1+∠2＝90°；（2）在△FCD中，∵∠C＝90°，∴∠DFC+∠2＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠DFC，∴BE∥DF．27．（8分）（2022秋•南票区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠C的大小是否随点A、B的移动而发生变化？如果保持不变，求出∠C的大小；如果随点A、B的移动而发生变化，请求出变化范围．解：∠C的大小保持不变．理由：∵AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠ABE＝∠ABY，∠CAB＝∠OAB，∴∠C＝∠ABE﹣∠CAB＝∠ABy﹣∠OAB＝（∠ABy﹣∠OAB）＝∠AOB＝45°．故∠C的大小不发生变化，且始终保持45°．28．（8分）（2023春•灌云县期末）如图1，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝58°，∠C＝152°，求∠BOD的度数；（3）如图3，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系．解：（1）猜想：∠1+∠2＝∠A+∠C，∵∠1+∠ABC+∠2+∠ADC＝360°，又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，∴∠1+∠2＝∠A+∠C；（2）∵∠A＝58°，∠C＝152°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣210°＝150°，又∵BO、DO分别平分∠ABC与∠ADC，∴∠OBC＝∠ABC，∠ODC＝∠ADC，∴∠OBC+∠ODC＝（∠ABC+∠ADC）＝75°，∴∠BOD＝360°﹣（∠OBC+∠ODC+∠C）＝1