第17讲有理数及其运算全章复习与巩固（教师版）七年级数学上册讲义（北师大版）

第17讲有理数及其运算全章复习目标导航目标导航课程标准1.掌握有理数定义及分类；2.掌握相反数、数轴、绝对值的含义及其应用；3.掌握有理数的加减乘除及其乘方运算；4.掌握有理数在实际中的应用.知识知识清单知识点01有理数的分类（1）按照性质分类：（2）按照符号分类：（3）小数分类：和统称为非负数；和统称为非正数.【答案】正数；0；负数；0.知识点02相反数（1）相反数的概念：只有_________不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．（5）正数的相反数是____________，负数的相反数是____________，零的相反数是____________.（6）互为相反数的两个数分别在原点的____________，并且到原点的____________相等.【注意】相反数等于它本身的数是_________.知识点03绝对值（1）一般地，数轴上表示数a的点与的距离叫做数a的绝对值，记作.【答案】原点；（2）绝对值的几何意义：的几何意义是到原点的距离；的几何意义是a到b的距离.【例】的几何意义表示到原点的距离；的几何意义表示x到5的距离；的几何意义表示x到的距离.（3）正数的绝对值是，负数的绝对值是，0的绝对值是.即当a>0时，是它的；当a<0时，是它的；当a=0时，是.【答案】本身；相反数；0【注意】①绝对值等于它本身的数是__________.②若，那么a就是非负数；若，那么a就是非正数.【答案】正数和0（4）“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则．知识点04有理数的加减乘除及其乘方运算1.有理数的加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得_____；（如果两个数的和为_____，那么这两个数互为相反数）（4）一个数同0相加，仍得这个数.【答案】0；02.有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的_______，即.【注意】计算过程中，一定要注意符号.【答案】相反数3.有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数同0相乘，都得0.（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和1.（4）有理数的乘法运算律①乘法交换律：；②乘法结合律：；③乘法分配律：．4.有理数的除法法则（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的_______.（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.【答案】倒数5.有理数的乘方（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.考点精析考点精析考点一基础知识过关考点一基础知识过关1.有理数按照性质分类可分为整数和______，0是正数还是负数？（□正数□负数□都不是）2.一定是负数吗？和都是______数，它们具有什么性质？在本章通常会考查什么题型？（试举例说明）3.什么是无理数？写几个无理数.和有理数的区别是什么？4.数轴的三要素是______，______，______.5.数轴上的数的特点：（1）左边的数______右边的数（填＞或＜）；（2）越往左数越______，越往右数越______.6.数轴上计算两点之间的距离的方法是____________，计算两点的重点的方法是____________.7.相反数的性质是：若a、b互为相反数，则______.8.绝对值的几何意义是？9.正数的绝对值是______，负数的绝对值是______，0的绝对值是______.10.相反数等于它本身的数有______，倒数等于它本身的数有______，绝对值等于它本身的数有______.11.若，那么a一定是______；若，那么a一定是______.由此我们可以得出若，那么一定是______；若，那么一定是______.12.去绝对值的方法是正数直接去，负数_________，0既可直接去亦可______.若，则______；若，则______.13.绝对值几何意义的应用：（1）对于有最____值，是多少？_______；（2）对于有最____值，是多少？_______；（3）有最____值，是多少？_______；有最____值，是多少？_______；14.除法是否有分配率？（□有□没得）15.对于数，在求精确到哪一位时，是否需要展开？（□需要□不需要）在求有效数字有几个时，是否需要展开？（□需要□不需要）16.计算题要多练习，尤其要注意符号.计算过程中，能够用简便运算的要用简便运算.【答案】略，不解释考点二科学计数法考点二科学计数法1.

）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解:故选B．2.2021年5月11日上午，第七次全国人口普查主要数据结果正式发布．2020年11月1日零时，全国人口共141178万人，与2010年的133972万人相比，增加了7206万人，增长5.38%;年平均增长率为0.53%．数据141178万用科学记数法表示为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．【详解】解：141178万．故选C．3.2020年，新冠病毒全球肆虐，据世界卫生组织公布的数据，截至2022年1月16日，美国累计确诊病例超6670万，这个数据用科学记数法表示为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：6670万=66700000=6.67×107．故选：D．考点二近似数考点二近似数1.用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．（1）0.008435（保留三个有效数字）≈_________；（2）12.975（精确到百分位）≈_________；（3）548203（精确到千位）≈_________；（4）5365573（保留四个有效数字）≈_________．【答案】

0.00844

12.98

【解析】【分析】（1）根据有效数字的定义（对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字）即可得；（2）根据精确度的定义（近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度）即可得；（3）根据精确度的定义（近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度）即可得；（4）根据有效数字的定义（对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字）即可得．【详解】解：（1）保留三个有效数字：，（2）精确到百分位：，（3）精确到千位：，（4）保留四个有效数字：，故答案为：，，，．2.截止2021年1月10日14：26，美国新冠疫情累计确诊人数为22699938，精确到万位，用科学记数法表示为（

）A．22.699938×108B．22.7×1010C．2.27×108D．2.270×107【答案】D【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤∣a∣＜10，n为整数．【详解】解：．故选：D．3.网聚正能量，构建同心圆．以“奋斗的人民，奋进的中国”为主题的2021中国正能量“五个一百”网络精品征集评选展播活动进入火热的展播投票阶段．截至2021年11月26日18点，“五个一百”活动投票量累计13909615次，数据13909615用科学记数法表示并精确到百万位为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】首先精确到百万位，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】解：原数精确到百万位为：13909615≈14000000，再用科学记数法表示为：14000000=1.4×107，故选D．4.精确到______位，有______个有效数字，32845676保留5个有效数字为______．【答案】

万

四##4

3.2846×107【解析】【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，根据有效数字的定义可得32845676保留5个有效数字的结果．【详解】近似数3.280×107精确到万位，有效数字是3，2，8，0四个，32845676保留5个有效数字为3.2846×107．故答案为：万；四；3.2846×107．考点三有理数的分类考点三有理数的分类1.在数，0.4，，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，，100，这9个数中，有理数有______个．【答案】7【解答】解：根据有理数的定义，0.4，，3.14，120%，，100，，这7个是有理数.2，把下列各数填入相应的大括号内上：.有理数集合：{…}；整数集合：{…}；非正数集合：{…}.【答案】有理数集合：{}；整数集合：{}；非正数集合：{}.3.把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π．负数集合：{…}；整数集合：{…}；正有理数集合：{…}．【答案】见解析【解析】【分析】根据有理数的定义分类即可．【详解】解：负数集合：{﹣1，﹣2，，﹣0.75…}；整数集合：{3，﹣1，﹣2，0…}；正有理数集合：{3，0.5，，30%…}．故答案为：﹣1，﹣2，，﹣0.75；3，﹣1，﹣2，0；3，0.5，，30%．考点四数轴上点的距离和中点考点四数轴上点的距离和中点1.数轴上表示和3的两点之间的距离是（）A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D2.已知点A在数轴上所对应的数为2，点A、B之间的距离为5，则点B在数轴上所对应的数是（）A．7 B．3 C．±5 D．3或7 【答案】D【解析】【分析】根据数轴上与点A的距离为5的分为两种情况，在进行计算即可．【详解】解：当点B在A的左边时，即2﹣5＝﹣3，当点B在A的右边时，即2+5＝7，故B点所表示的数为﹣3或7．故选：D．3.点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1．若点B到点C的距离为6，则点A到点C的距离等于（）A．3 B．6 C．3或9 D．2或10 【答案】D【解析】【详解】解：∵点A、B表示的数分别为﹣3、1，若点B到点C的距离为6，∴当C在B的左侧时，点C表示的数是1﹣6＝﹣5，当C在B的右侧时，点C表示的数是1＋6＝7，点A与点C的距离是﹣3﹣（﹣5）＝2或7﹣（﹣3）＝10．故选：D．4.数轴上点A和点B表示的数分别是1和3，点P到A、B两点的距离之和为6，则点P表示的数是（）A．3 B．3或5 C．2 D．2或4 【答案】D【分析】根据AB的距离为4，小于6，分点P在点A的左边和点B的右边两种情况分别列出方程，然后求解即可．【解答】解：∵AB=|3（1）|=4，点P到A、B两点的距离之和为6，设点P表示的数为x，∴点P在点A的左边时，1x+3x=6，解得：x=2，点P在点B的右边时，x3+x（1）=6，解得：x=4，综上所述，点P表示的数是2或4．故选：D．5.数轴上点M与点N表示的数分别是5和2，点P到点M、N两点的距离之和为10，则点P所在的点表示的数是.【答案】6.5或3.5【分析】根据AB的距离为7，小于10，分点P在点A的左边和点B的右边两种情况，然后求解即可．【解答】解：∵AB=|5（2）|=7，点P到A、B两点的距离之和为10，所以P点可以等于6.5或3.56.数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A、B两点的距离是，A、B两点的中点是．若a=2，b=4，那么A、B两点的中点是.【答案】ab；；17.在数轴上，点A，B表示的数分别是和2，则线段AB的中点表示的数是(

)A． B． C． D． 【答案】A【解析】【分析】令AB的中点为M，根据两点之间的距离求得AB，根据中点的性质求得BM，进而即可求解．【详解】解：令AB的中点为M，，∴，∴AB的中点表示的数是，故选：A．考点五利用绝对值化简考点五利用绝对值化简1.有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（

）．A．2a B．2a+2b2c C．0 D．2c 【答案】A【解析】【分析】根据数轴，确定每个数的属性，每个代数式的属性，后化简即可．【详解】根据数轴上点的位置得：，且，则，，，则．故选A．2.表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（

）A．2a2b2c B．2a C．2a2b D．2b 【答案】B【解析】【分析】判断，是负数，是正数，根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，进行化简；【详解】解：原式=，，=．3.如图，化简代数式|ba||a1|+|b+2|的结果是_______.【答案】3．【分析】根据有理数a、b在数轴上的位置，可以得出ba，a1、b+2的符号，进而化简即可．【解答】解：由有理数a、b、c在数轴上的位置，可得，1＜b＜0，1＜a＜2，所以有ba＜0，a1＞0，b+2＞0，因此|ba||a1|+|b+2|=ab（a1）+（b+2）=aba+1+b+2=3，故答案为：3．4.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：|a+b||b1||ac||1c|=_______.【答案】见试题解答内容【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：根据数轴上点的位置得：b＜a＜0＜c＜1，∴a+b＜0，b1＜0，ac＜0，1c＞0，则原式=ab+b1+ac1+c=2．考点六非负数的应用考点六非负数的应用1.已知，则______，______.【答案】1；22.已知，则______，______.【答案】3；63.已知与互为相反数，则______.【答案】44.已知，则______，______.【答案】1；2考点七绝对值的几何意义考点七绝对值的几何意义1.若a为有理数，则|a3|+|a+4|的最小值是_______，|a+2||a1|的最大值是_______．【答案】7；32.我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|31|可表示为数轴上3和1这两点的距离，而即则表示3和1这两点的距离．式子的几何意义是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，而，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．根据以上发现，试探索：（1）直接写出____________．（2）结合数轴，找出所有符合条件的整数x，的所有整数的和．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由；如果没有，请说明理由．【答案】(1)10(2)3，2，1，0，1，2，和为3(3)有，10【解析】【分析】（1）根据有理数减法法则计算；（2）分析得到表示x与2的距离，表示x与3的距离，由，确定，进而解答；（3）设4表示点A，6表示点B，x表示点P，则，分三种情况：当P在点A左侧时，当P在点B右侧时，当P在A、B之间时，分别求出最小值解答．(1)10，故答案为10；(2)表示x与2的距离，表示x与3的距离，∵，∴，∴整数x=3，2，1，0，1，2，和为321+0+1+2=3；(3)有最小值10，理由如下：设4表示点A，6表示点B，x表示点P，则，当P在点A左侧时，，当P在点B右侧时，，当P在A、B之间时，，∴的最小值为10．3.阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|ab|．回答下列问题：（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是，数轴上表示x和2的两点之间的距离是；（2）数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为；（3）若x表示一个有理数，则|x+2|+|x4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．【答案】(1)4，(2)或(3)有最小值，6【解析】【分析】（1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|即可求解；（2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|即可求解；（3）根据绝对值的几何意义，即可得解．(1)解：，故答案为：4，．(2)解：∵∴或，故答案为：或．(3)有最小值，6考点八概念辨析考点八概念辨析1.若两个数之和为负数，则一定是（）A．这两个加数都是负数B．这两个加数只能一正一负C．两个加数中，一个是负数，一个是0D．两个加数中至少有一个是负数【答案】D【解析】【分析】两个数之和为负数有三种情况：两个数都是负数；一正一负，且负数的绝对值大于正数；一个负数，一个是0．【详解】两个数之和为负数有三种情况：两个数都是负数；一正一负，且负数的绝对值大于正数；一个负数，一个是0．由此可知，若两个数之和为负数，则两个加数中至少有一个是负数．故答案为：D．2.下列说法正确的是（）A．两个加数之和一定大于每一个加数B．两数之和一定小于每一个加数C．两个数之和一定介于这两个数之间D．以上皆有可能【分析】利用有理数的加法法则判断即可．【解答】解：A、两个加数之和不一定大于加数，不符合题意；B、两数之和不一定小于每一个加数，不符合题意；C、两个数之和不一定介于这两个数之间，不符合题意；D、以上皆有可能，符合题意，故选：D．3.下说法正确的是（）A．0减任何数的差都是负数 B．减去一个正数，差一定大于被减数 C．减去一个正数，差一定小于被减数D．两个数之差一定小于被减数【分析】可通过举反例说明不正确的，通过分类讨论说明正确的．【解答】解：0减去负数的差就是正数，正数大于被减数0，故A、D都是不正确的；负数减去正数，差一定小于被减数，故选项B不正确；减去一个正数，差一定小于被减数，此选项正确．故选：C．4.关于有理数的减法，下列说法正确的是（）A．两个有理数相减，差一定小于被减数B．两个负数的差一定小于0 C．两个负数相减，等于他们的绝对值相减 D．两个有理数的差是正数，则被减数一定大于减数【分析】根据有理数的减法法则逐一判断即可．有理数的减法法：减去一个数，等于加上这个数的相反数．【解答】解：A、两个有理数相减，差不一定小于被减数，如2﹣（﹣1）＝3，故本选项不合题意；B、两个负数的差不一定小于0，如﹣1﹣（﹣4）＝3，故本选项不合题意；C、两个负数相减，根据减去一个数，等于加上这个数的相反数，而不是它们的绝对值相减，故本选项不合题意；D、两个有理数的差是正数，则被减数一定大于减数，说法正确．故选：D．5.列说法中正确的有（）①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④绝对值等于本身的数是正数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】根据有理数乘法法则和相反数，绝对值的性质进行判断便可．【解答过程】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误；②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确；③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该小题说法错误；④绝对值等于本身的数是非负数，包括正数和0，不一定是正数，该小题说法错误；故选：A．考点九因数符号判断考点九因数符号判断1.a、b是两个有理数，若ab＜0，且a+b＞0，则下列结论正确的是（）A．a＞0，b＞0 B．a、b两数异号，且正数的绝对值大C．a＜0，b＜0 D．a、b两数异号，且负数的绝对值大【解题思路】根据有理数乘法积的符号判断因数的符号，再根据有理数和的符号判断绝对值的大小，进而得出答案．【解答过程】解：∵ab＜0，∴a、b异号，又∵a+b＞0，∴正数的绝对值较大，故选：B．2.已知a+b＞0，ab＜0，且a＞b，则a、b的符号是（）A．同为正 B．同为负 C．a正b负 D．a负b正 【解题思路】根据ab＜0可得a，b异号，再由a＞b即可判断出答案．【解答过程】解；∵ab＜0，∴a，b异号又a+b＞0且a＞b，∴a正b负．故选：C．3.若a+b＞0，a﹣b＜0，0，则下列结论正确的是（）A．a＞b，b＞0B．a＜0，b＜0 C．a＜0，b＞0且|a|＜|b| D．a＞0，b＜0且|a|＞|b|【解题思路】直接利用有理数的除法运算、加法、减法运算法则以及绝对值的性质分别分析得出答案．【解答过程】解：∵a﹣b＜0，∴a＜b，∵ab∴a＜0＜b，∵a+b＞0，∴|a|＜|b|．故选：C．4.在下列各题中，结论正确的是（）A．若a＞0，b＜0，则B．若a＞b，则a﹣b＞0 C．若a＜0，b＜0，则ab＜0D．若a＞b，a＜0，则【解题思路】根据有理数的乘法法则和除法法则进行判断．【解答过程】解：A．两数相除，异号得负，该选项错误，不符合题意；B．∵a＞b，∴a﹣b＞0，该选项正确，符合题意；C．两数相乘，同号得正，该选项错误，不符合题意；D．∵a＞b，a＜0，∴1＜ba，∴故选：B．考点十有理数的计算考点十有理数的计算1.计算下列各题：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）4；（3）0；（4）2.计算下列各题：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）1；（2）0；（3）3；（4）103.计算：（1）（2）（1）【分析】利用乘法分配律进行计算即可得解．【解答】解：，，，，．（2）【分析】根据乘法分配律，可得答案．【解答】解：原式．4.用简便方法计算：（1）（2）【分析】原式各项变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式；（2）原式．5.计算：（1）（2）【答案】（1）8；（2）【解析】【分析】（1）除法变乘法，再用乘法分配律即可求解；（2）先算括号内的，然后再进行除法运算即可．【详解】（1）=62+95=8；（2）原式=．6.计算下列各题：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）0；（2）；（3）；（4）7.计算：（1）（2）【答案】(1)7(2)7【解析】【分析】（1）利用乘法分配律，根据有理数的混合运算法则计算即可．（2）根据有理数的混合运算法则计算即可．(1)原式=．(2)原式．考点十一有理数的运算（含绝对值）考点十一有理数的运算（含绝对值）1.如果|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b，则ab的值是_________.【答案】见试题解答内容【分析】首先根据绝对值的意义求得a，b的值，再由|a+b|=a+b确定出a与b的对应值有两种可能性，然后分别代入ab，根据有理数的减法法则计算即可．【解答】解：∵|a|=4，|b|=2，∴a=±4，b=±2，∵|a+b|=a+b，∴a+b＞0，∴a、b同正即a=4，b=2，或a=4，b=2．当a=4，b=2时，ab=42=2；当a=4，b=2时，ab=4（2）=4+2=6．故ab的值为：2或6．2.如果|a|＝4，|b|＝7，且a＜b，求a+b的值．【分析】先求出ab、的值，再代入计算即可．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝7，∴a＝±4，b＝±7，又∵a＜b，∴a＝4，b＝7或a＝﹣4，b＝7，当a＝4，b＝7时，a+b＝4+7＝11，当a＝﹣4，b＝7时，a+b＝﹣4+7＝3，因此a+b的值为3或11．3.已知|a|＝2，|b|＝3，且|a+b|＝|a|+|b|，则a+b的值为（）A．5 B．±5 C．1 D．±1 【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义确定出a与b的值，即可求出原式的值．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，且|a+b|＝|a|+|b|，∴a＝2，b＝3；a＝﹣2，b＝﹣3，则a+b＝±5，故选：B．4.已知，，若，求ab的值．【答案】8或25.已知，，且，求的值．【考点】有理数的加法；有理数的乘法；绝对值【分析】根据绝对值的性质可求出与的值，然后代入即可求出答案．【解答】解：，，，，，，或，，当，时，原式，当，时，原式，综上所述，．6.已知，，回答下列问题：（1）由，，可得，；（2）若，求的值；（3）若，求的值．【考点】有理数的减法；有理数的加法；有理数的乘法；绝对值【分析】（1）利用绝对值的意义即可得出结论；（2）利用已知条件求得，的值，再代入计算即可；（3）利用已知条件求得，的值，再代入计算即可．【解答】解：（1），，，．故答案为：，；（2），，，当，时，；当，时，；综上，或8．（3），，或，．当，时，；当，时，；．考点十二比较大小（含数轴）考点十二比较大小（含数轴）1.已知a>0，b<0，且|a|<|b|，则下列关系正确的是（）A．b<﹣a<a<﹣b B．﹣a<b<a<﹣b C．﹣a<b<﹣b<a D．b<a<﹣b<﹣a 【答案】A【分析】根据：a＞0，b＜0，|a|＜|b|，可得：a＜0，b＞0，a＜b，据此判断出a、a、b、b的大小关系即可．【解答】解：∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|，∴a＜0，b＞0，a＜b，∴b＜a＜a＜b．故选：A．2.有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、b、a、b、0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．a<a<0<b<b B．a<a<0<b<b C．b<a<0<a<b D．a<0<a<b<b 【答案】C【分析】根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：根据数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，则b＜a＜0＜a＜b．故选：C．3.若0＜m＜1，m、m2、的大小关系是（）A． B． C． D． 【答案】B考点十三比较大小（含绝对值）考点十三比较大小（含绝对值）1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求的值．【答案】见试题解答内容【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，可以求得a+b，cd，x的值，然后即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，∴a+b=0，cd=1，x=±2，当x=2时，原式=23+1×220=8+1×40=8+40=12；当x=2时，原式=（2）3+1×（2）20=8+1×40=8+40=4，由上可得，原式的值为12或4．2.若a与b互为相反数，c与d互为倒数，|m|=2，求代数式的值．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用相反数以及倒数和绝对值的性质分别分析得出答案．【解答】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，|m|=2，∴a+b=0，cd=1，m=±2，当m=2时，∴原式=02+2×23=14；当m=2时，∴原式=02+2×（2）3=18，综上所述：代数式的值为14或18．3.若a、b互为相反数，b、c互为倒数，并且m是绝对值等于它本身的数．求值．【答案】见试题解答内容【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的意义求出a+b，cd，m的值，代入原式计算即可得到结果.【解答】解：由题意得：a+b=0，bc=1，m为非负数，则原式=1.4.已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，|m|是最小的正整数，求的值．【答案】1或3．【分析】先根据相反数的性质、倒数的定义和绝对值的性质得出a+b=0，cd=1，|m|=1，再分别代入计算即可．【解答】解：根据题意知a+b=0，cd=1，|m|=1，当m=1时，原式=2×1+01=1；当m=1时，原式=2×（1）+01=3；综上，原式的值为1或3．考点十四定义新运算考点十四定义新运算1.对于有理数a、b，定义一种新运算“”如下：，则_______．【答案】2.定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n=mn+mnn，例如：2☆3=23+2×33=8+63=11，解答下列问题：（1）（2）☆4；（2）（1）☆[（5）☆2]．【答案】（1）4；（2）27．【分析】（1）根据m☆n=mn+mnn，可以求得所求式子的值；（2）根据m☆n=mn+mnn，可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）∵m☆n=mn+mnn，∴（2）☆4=（2）4+（2）×44=16+（8）+（4）=4；（2）∵m☆n=mn+mnn，∴（1）☆[（5）☆2]=（1）☆[（5）2+（5）×22]=（1）☆（25102）=（1）☆13=（1）13+（1）×1313=（1）+（13）+（13）=27．3.已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b=2b3a，例如：1※2=2×23×1=43=1，计算：（2※3）※5=__________．【答案】10．【分析】根据a※b=2b3a，可以计算出所求式子的值．【解答】解：∵a※b=2b3a，∴（2※3）※5=（2×33×2）※5=（66）※5=0※5=2×53×0=100=10，故答案为：10．4.规定一种新运算a*b=ab2，则4*[5*（2）]=__________．【答案】3．【分析】根据a*b=ab2，可以求得所求式子的值【解答】解：∵a*b=ab2，∴4*[5*（2）]=4*[5（2）2]=4*（54）=4*1=412=41=3，故答案为：3．考点十五有理数的实际应用考点十五有理数的实际应用1.某天早上，一辆交通巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次+15﹣8+6+12﹣4+5﹣10（1）巡逻车在巡逻过程中，第次离A地最远．（2）B地在A地哪个方向，与A地相距多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据有理数的加法运算，分别计算出每次距A地的距离，可得离A地最远距离；（2）根据有理数的加法运算，可得正数或负数，根据向东记为正，向西记为负，可得答案；（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据总价=单价×数量即可求解．【解答】解：（1）第一次距A地：15千米，第二次距A地：158=7千米，第三次距A地：7+6=13千米，第四次距A地：13+12=25千米，第五次距A地：254=21千米，第六次距A地：21+5=26千米，第七次距A地：2610=16千米，26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，答：巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远；（2）158+6+124+510=16（千米），答：B地在A地东方，与A地相距16千米；（3）|+15|+|8|+|+6|+|+12|+|4|+|+5|+|10|=60（千米），60×0.2=12（升），12×7=84（元）．答：这一天交通巡逻车所需汽油费84元．故答案为：6．2.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，8，+9，6，+14，5，+13，4．（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？【答案】见试题解答内容【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量；（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．【解答】解：（1）∵158+96+145+134=28，∴B地在A地的东边28千米；（2）这一天走的总路程为：15+|8|+9+|6|+14+|5|+13|+|4|=74千米，应耗油74×0.6=44.4