2022年二模新定义

2022年二模新定义1．对于平面直角坐标系中的图形G和点Q，给出如下定义：将图形G绕点Q顺时针旋转得到图形N，图形N称为图形G关于点Q的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点O的“垂直图形”．(1)线段关于点的“垂直图形”为线段．①若点N的坐标为，则点P的坐标为__________；②若点P的坐标为，则点N的坐标为__________；(2)．线段关于点H的“垂直图形”记为，点E的对应点为，点的对应点为．①求点的坐标（用含a的式子表示）；②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．【答案】(1)①（2，1）；②（1，4）(2)①（a+3，a+3）；②【分析】（1）①②根据“垂直图形”定义，结合旋转性质、坐标与图形即可求解；（2）①过点E作EG⊥x轴于G，⊥x轴于P，证明△EGH≌△得到HP=EG，=GH，进而可求得点的坐标；②根据旋转性质和“垂直图形”的定义，满足条件的点在第一象限的上，进而根据勾股定理求解即可．（1）解：①∵线段关于点的“垂直图形”为线段，M(1，1)，N（1，2），∴点P坐标为（2，1），故答案为：（2，1）；②∵线段关于点的“垂直图形”为线段，M(1，1)，P（4，1），∴点N的坐标为（1，4），故答案为：（1，4）；（2）解：①过点E作EG⊥x轴于G，⊥x轴于P，则∠EGH=∠=90°，∴∠GEH+∠GHE=90°，∵点E关于点H的“垂直图形”为，∴∠=90°，EH=，∴∠GHE+∠=90°，∴∠GEH=∠，∴△EGH≌△（AAS），∴HP=EG，=GH，∵E（3，3），H（a，0），∴HP=EG=3，=｜a+3｜，OP=｜a+3｜，∴点坐标为（a+3，a+3）；②如图，满足条件的线段如图中阴影部分，线段最大时的点在第一象限的上，∵（a+3，a+3），=2，∴（a+3）2+（a+3）2=4，∴a=3，则（，），∴=，即满足条件的的长度的最大值为．【点睛】本题是几何变换综合题，涉及旋转的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形变换旋转、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，注意数形结合．2．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，，且A，B两点中至少有一点在⊙O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段（，分别为点A，B的对应点），若线段上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．(1)如图1，点，的坐标分别为（－3，0），（－2，0），线段到⊙O的“平移距离”为___，点，的坐标分别为（－，），（，），线段到⊙O的“平移距离”为___；(2)若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；(3)如图2，若点A坐标为（1，），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．【答案】(1)2，(2)(3)见解析，【分析】（1）根据平移的性质及线段到圆的“平移距离”定义可分别求得；（2）如图1，可求得直线l与两坐标轴的交点，则可求得l与x轴所夹的锐角，将直线l向右平移得到直线，当直线经过点时，与圆的另一个交点为，则可得△是等边三角形，且边长为1；作⊥直线l于点A，线段AB到⊙O的“平移距离”d总是的长度，从而可求得最小值d．（3）如图2，连接OA交⊙O于点B，设⊙O交x轴正半轴于点E，连接BE，作B关于y轴的对称点D，连接BD、OD，则易得△OBE、△OBD都是等边三角形，由点B是OA中点，可求得点B、D的坐标，由B到A的平移及已知可求得点D、E平移后的对应点M、N的坐标，则M、N在以点A为圆心1为半径的圆上，此时可得点B形成的图形．（1）当线段A1B1向右平移2个单位长度时，线段A1B1上的点除A1点位于⊙O上外，其余点全部位于⊙O内部，则线段A1B1到⊙O的“平移距离”为点A1平移的距离2；如图，当线段A2B2向下平移到时，线段上的点除、两点位于⊙O上外，其余点全部位于⊙O内部，设与y轴交于点C，∵，，∴由勾股定理得：，∵点，的坐标分别为（－，），（，），∴A2B2向下平移的距离为：，则线段A2B2到⊙O的“平移距离”为；故答案为：2，（2）如图1，直线l的表达式为，点的坐标为（－1，0）．在中，令y=0，得x=2；令x=0，得，则直线l与x轴和y轴的交点坐标分别为（－2，0），（0，2）．∴直线l与x轴所夹锐角为．将直线l向右平移得到直线，当直线经过点时，与圆的另一个交点为．∵，，∴△是等边三角形，∴．∴当点A，B在直线l上运动时，线段AB到⊙O的“平移距离”d总是的长度．作⊥直线l于点A，此时的长度即为d的最小值（3）如图2，连接OA交⊙O于点B，设⊙O交x轴正半轴于点E，连接BE，作B关于y轴的对称点D，连接BD、OD，由点A坐标知：，∴∠AOE=60°，∵OB=OE=1，∴△OBE是等边三角形，∴BE=1．由∠AOE=60°，则射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，∴由对称性知，∠BOD=60°，∴△OBD是等边三角形，∴BD=1，且BD⊥y轴．由题意知：点A平移后的对应点为B，点D、E分别是线段AB的端点B平移后的对应点，且是两个边界点，

∵点B是OA的中点，∴，∴，由于B点向右平移半个单位长度再向上平移单位长度后得到点A，则点D、E按此平移分别得到点M（0，），N（，），∴以点A为圆心，1为半径画圆，可知点M，N在⊙A上．所有满足条件的点B形成的图形为．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了平移变换，一次函数的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，学会寻找特殊位置解决数学问题．3．在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线，有如下定义：过图形上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形关于直线的最佳射影距离，记作，此时点称为图形关于直线的最佳射影点．(1)如图1，已知，，写出线段关于轴的最佳射影距离____________；(2)已知点，⊙C的半径为，求⊙C关于轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），并写出此时⊙C关于轴的最佳射影点的坐标；(3)直接写出点关于直线的最佳射影距离的最大值．【答案】(1)3(2)，(3)【分析】（1）求得直线的解析式，发现线段上任意一点都是线段关于轴的最佳射影点，进而即可求解；（2）根据（1）的结论，设直线与相切，切点即为⊙C关于轴的最佳射影点；（3）根据题意过点作，则点在为以为直径，的中点为圆心的圆上，根据勾股定理求得的长，进而根据定义结合（1）的结论可得当为等腰直角三角形时，关于直线的最佳射影距离取得最大值．（1）解：∵，，则直线的解析式为，设线段上任一点的坐标为则线段关于轴的最佳射影距离故答案为：3（2）由（1）可知，当直线与轴夹角为45度时，即时，直线上的点到轴的最佳射影距离相等，设直线与相切于点，，，设过的直线且与平行的直线为，则，即，，根据题意求最大值，则的切线在上方，过点作轴于点，过点作，如图，则，为向左平移1个单位，再向上平移一个单位，即的切线为，由向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到，⊙C关于轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），（3）根据题意过点作，则点在为以为直径，的中点为圆心的圆上，根据勾股定理求得，由（2）可知当过点的切线与的夹角为45度时，满足定义，即当为等腰直角三角形时，关于直线的最佳射影距离取得最大值【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，切线的性质，90度角所对的弦是直径，勾股定理求两点坐标距离，理解新定义并从（1）得到结论是解题的关键．4．对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作．已知点，，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转，得到点．①当时，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使，直接写出r的范围．【答案】(1)2(2)(3)①②【分析】(1)理解题意后直接利用垂线段最短即可求解．(2)先理解当⊙O与线段有交点时，，利用⊙O与线段相切和⊙O经过A点即可求解．(3)①先确定位于x轴上，再求出的长即可求解；②先确定的轨迹，再利用存在两个α使d(⊙O,A')=0，确定并求出两个界点值，即可求解．(1)解：∵O点到AB的距离为2，∴d（点O，AB）＝2，故答案为2．(2)当⊙O与线段有交点时，，∵，∴．(3)①如图，作于点N，作∴，由旋转知，∵，∴,∴位于x轴上，，∴，∴，∵，∴⊙O经过点，∴.②如图所示，连接OB，∵对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A')=0，∴⊙O与以AH为直径的半圆有两个交点（A点和H点除外），此时有两个界点值，分别是⊙O与该半圆内切时和⊙O经过A点时，由，得,当⊙O与该半圆内切时，，当⊙O经过A点时，，∴．．【点睛】本题为新定义题型，考查了旋转的性质、圆的性质及其应用，涉及到了用勾股定理求线段长、圆的内切等问题，解题关键是能理解题意，正确确定界点值．5．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点M，N，且，则称线段是的“倍弦线”．(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段，，，中，的“倍弦线”是_____________；(2)的“倍弦线”与直线交于点E，求点E纵坐标的取值范围；(3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出b的取值范围．【答案】(1)，；(2)；(3)【分析】（1）依次连接线段，，，，通过“倍弦线”的定义判断即可；（2）通过M、N均在圆上，可以求得MN的取值范围，进而可以求出PQ的取值范围，结合图形，就可以求出点E纵坐标的取值范围；（3）先画出P、Q两点的运动轨迹，分别求出直线与两个圆相切时对应的P、S坐标，进而就可以去就出b的取值范围．（1）解：如图，连接AB分别交于点E、F，连接AD分别交于点G、H，连接CD分别交于点K、F，连接CB，∵CB与没有交点，故CB不符合题意；观察图像，，故AD不符合题意；，∴线段AB是的“倍弦线”；，∴线段CD是的“倍弦线”，故的“倍弦线”是，；（2）由题意，可得，∵M、N在圆上，∴，∴，如图，当且点P在直线上时，∵，，∴，结合图形，点E的纵坐标取值范围为；（3）由题意可得，P、Q的运动轨迹分别是以M为圆心，1为半径的圆和以N为圆心，2为半径的圆，如图所示，当直线与圆N相切时，如图中的直线RP，切点为Q，连接NQ，∵直线RP与相切，，因为R、P在直线上，∴，∴△QRN是等腰直角三角形，过点Q作轴垂足为E，则，设，则，即，解得（负值舍去），，则，将其代入中，解得，∴直线RP的解析式为，当时，解得，故，当直线与圆M相切时，如图中的直线SW，切点为T，连接MT，∵直线SW与相切，，因为S、W在直线上，∴，∴△TWM是等腰直角三角形，过点T作轴垂足为F，则，设，则，即，解得（负值舍去），，则，将其代入中，解得，∴直线SW的解析式为，当时，解得，故，综上，b的取值范围为．【点睛】本题考查了坐标与图形的新定义问题，涉及到的知识点较多，勾股定理解三角形，等腰直角三角形的判定与性质，圆的切线性质，一次函数的应用等，解题的关键在于正确作出辅助线，理解“倍弦线”的定义是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点在图形上，点在图形上，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形的“近距离”，记为．特别地，当图形与图形有公共点时，．已知A（－4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，－4），（1）d（点A，点C）＝________，d（点A，线段BD）＝________；（2）⊙O半径为r，①当r＝1时，求⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）；②若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，则r＝___________．（3）M为x轴上一点，⊙M的半径为1，⊙M与正方形ABCD的“近距离”d（⊙M，正方形ABCD）＜1，请直接写出圆心M的横坐标m的取值范围．【答案】（1）8；4；（2）①21；②21或5；（3）或．【分析】（1）图形M，N的“近距离”的定义可求解；（2）①根据题意作图，根据“近距离”的定义即可求解；②根据题意分圆在正方形ABCD内部和外部分别作图求解；（3）由题意可求∠OCB＝45°，分点M在x轴正半轴且⊙M在正方形ABCD的外面与内部，及点M在x轴负半轴且⊙M在正方形ABCD的外面与内部，由题意列出不等式，即可求解．【详解】（1）∵A（－4，0），C（4，0），d（点A，点C）＝8；∵B（0，4），D（0，－4），∴线段BD在y轴上∴d（点A，线段BD）为A点到y轴的距离，即4故答案为：8；4；（2）①如图，当r＝1时，过点O作OE⊥AB于E点，OE与⊙O交于H点，则OE=AB=×∴⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）=EH=OEOH=21；②如图，当⊙O在正方形ABCD内部时，d（⊙O，正方形ABCD）＝1即EH=OEOH=1则OH=OEEH=21当⊙O在正方形ABCD外部时，d（⊙O，正方形ABCD）＝1即BG=1则OG=OB+BG=5故答案为：21或5；（3）如图，∵OB=OC，∴∠OCB＝45°，当点M在x轴正半轴且⊙M在正方形ABCD的外面时，⊙M的半径为1∵d（⊙M，正方形ABCD）＜1由图可得OM2OC1＜1即OM241＜1∴OM2＜6即m＜6；当点M在x轴正半轴且⊙M在正方形ABCD的内部时，⊙M的半径为1，过点M1作M1G⊥BC，∵d（⊙M，正方形ABCD）＜1∴M1Gr＜1∵M1G=CM1·sin45°=∴1＜1解得m＞∴当点M在x轴负半轴且⊙M在正方形ABCD的外面与内部时，同理可得综上，m的取值范围为或．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，三角函数的运用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．7．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，⊙O）(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数①d（D，⊙O）＝__________；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；(2)若点N在直线上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值．【答案】(1)①2，②2≤d（M，⊙O）≤3(2)d（N，⊙O）≥(3)m的最小值为1，最大值为【分析】（1）①因为D到⊙O的最小值p=1，最大值q=3，根据关联距离的定义可求；②先求d（E，⊙O）和d（F，⊙O），则d（M，⊙O）在其之间即可；（2）当过O的直线ON⊥AB时，d（N，⊙O）最小，根据三角形的面积公式可求ON的值，而ON无最大值，即可求出d（N，⊙O）的取值范围；（3）当正方形是⊙O的外切正方形时，m的最小值是1，当如图3时，m取最大值，即，可求m的值，从而求得m的最小值和最大值．（1）解：①∵D到⊙O的最小值p=1，最大值q=3，∴d（D，⊙O）=，故答案为2；②当M在点E处，d（E，⊙O）=2，当M在点F处，d（F，⊙O）=，∴2≤d（M，⊙O）≤3．（2）解：设ON=d，∴p=dr=d1，q=d+r=d+1，∴d（N，⊙O）=，∵N在直线上，设直线交x轴于B，交y轴于A，如图，则x=0时，y=，y=0时，x=2，∴A，B，∴OA=，OB=2，∴AB=，当ON⊥AB时，d（N，⊙O）最小，∵，∴ON=，∵ON无最大值，∴d（N，⊙O）≥．（3）解：如图2，当正方形是⊙O的外切正方形时，m的最小值是1，如图3，d（P，⊙O）有最大值，则，∴∴m的最小值为1，最大值为．【点睛】本题是新定义题，考查了对新定义的理解，点到直线的距离，勾股定理，解题的关键是准确理解关联距离这个新定义．8．对于平面直角坐标系xOy中的点与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．(2)已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．【答案】(1)①2；4②2≤m≤6(2)xC≤2或xC≥1【分析】（1）①连接PA，PB，求出PA=5，PB=4，证PB⊥x轴，则PA是最大值，PB是最小值，即可由“宽距”定义求解第一空；作直线OP交⊙O于G、H，线段PH长度最大，PG长度最小，即可由“宽距”定义求解第二空；②当0<m<2时，PA长度是最大值，PM长度是最小值，“宽距”=PAPM<2，不符合题意，当m≥2时，则点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3，所当PM长度是最大时，最大值为2+3=5，则求得m=6，即可得出答案；（2）分两种情况：当点C(xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，当点C(xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，分别求解即可．（1）解：①如图1，连接PA，PB，由图可知：A（2，0），B（2，0），∴AB=4，∵P（2，3），∴PB⊥x轴，∴PB=3，PA==5，∴线段AB关于点P的“宽距”为53=2；作直线OP交⊙O于G、H，则点这与⊙O上各点连接的所有线段中，线段PH长度最大，PG长度最小，∴⊙O关于点P的“宽距”为PHPG=GH=4；故答案为：2，4；②∵点为x轴正半轴上的一点，∴m>0，当0<m<2时，PA长度是最大值，PM长度是最小值，“宽距”=PAPM<2，不符合题意，当m≥2时，∵P（2，3），∴点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3，又∵线段AM关于点P的“宽距”为2，∴当PM长度是最大时，最大值为2+3=5，∴PM最大==5，解得m=6或m=2，∴2≤m≤6．（2）解：如图2，在直线y=x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=1，∴D（1，0），E（0，1），∴OD=OE=1，∴∠ODE=45°，当点C(xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，∵⊙C半径为1，∴xC=2，由（1）①第二空可知，当xC≤2时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2；当点C(xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，则CN⊥DE，∴CN=1，∵∠ODE=45°，∴∠DCN=90°∠ODE=45°，∴DN=CN=1，∴CD==，∴OC=CDOD=1，由（1）①第二空可知，当xC≥1时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2；综上，圆心C的横坐标的取值范围为xC≤2或xC≥1．【点睛】本题考查新定义，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，属圆的综合题目，新定义的理解和正确运用是解题的关键．9．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和直线，给出如下定义：若点P在直线上，且以点P为顶点的角是45°，则称点P为直线的“关联点”．(1)若在直线上存在直线的“关联点”P．则点P的坐标为_____；(2)过点作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为A；另一条射线、交x轴于点B，若点P为直线的“关联点”．求点B的坐标；(3)以点O为圆心，1为半径作圆，若在上存在点N，使得的顶点P为直线的“关联点”．则点P的横坐标a的取值范围是________．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）在直线上存在直线的“关联点”P，可得点P为两直线的交点，从而可得答案；（2）根据题意画出图形，结合等腰直角三角形的性质可得答案；（3）如图，过作圆的两条切线，当时，根据三角形的外角的性质可得：再根据对称性，可得答案．（1）解：在直线上存在直线的“关联点”P．则点P为两直线的交点，（2）如图，点P为直线的“关联点”．轴，或（3）如图，过作圆的两条切线，当时，根据三角形的外角的性质可得：所以此时点P的横坐标a的范围：同理：当P在第一象限时，满足综上：点P的横坐标a的范围：【点睛】本题考查的是新定义情境下的坐标与图形，三角形的外角的性质，圆的基本性质，切线的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．10．在平面直角坐标系中，对于线段AB与直线，给出如下定义：若线段AB关于直线l的对称线段为（，分别为点A，B的对应点），则称线段为线段AB的“关联线段”．已知点，．(1)线段为线段AB的“关联线段”，点的坐标为，则的长为______，b的值为______；(2)线段为线段AB的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求的度数；(3)点，，线段为线段AB的“关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线段与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．【答案】(1)2；1(2)15°(3)【分析】（1）由对称性质AB、A′B′关于直线l对称，所以A′B′=AB=2，由题意，得y=x+b，把AA′的中点(，)代入y=x+b，求出b即可；（2）作C关于l的对称点C′，连接OC′，OA，OC′，因为AB的对称点在l1上，所以点C的对称点C′在直线AB上，则可求出点C′的坐标为（1，），继而可求得∠C′OK=60°，再求出∠AOK=45°，所以∠C′OA=∠C′OK∠AOK=60°45°=15°，然后利用对称的性质得出∠COA′=∠C′OA，即可求解；（3）当B′与点Q重合时，求出b=2，再当A′与点P重合时，求出b=，再由线段与线段PQ有公共点，即可得出b的取值范围．（1）解：∵A（1，1），B（1，1），∴AB=2，∵AB、A′B′关于直线l对称，∴A′B′=AB=2,由题意，得k=1，∴y=x+b，∵A、A′关于直线l对称，∴直线l经过AA′的中点，∵A（1，1），A′（2，0），∴AA′的中点为(,)，即(，)，把(，)代入y=x+b，得=+b，解得：b=1，故答案为：2,1；（2）解：如图，作C关于l的对称点C′，连接OC′，OA，OC′，由题意，得直线l解析式为：y=kx，设C关于l的对称点为C′，∴OC′=OC=2，∵AB关于l对称点A′B′在l1上，又l1经过点C，∴点C′在直线AB上，∵A（1，1），B（1，1），∴直线AB即是直线x=1，∴C′横坐标为1，∴C′纵坐标为,∴C′（1，），∴tan∠C′OK==，∴∠C′OK=60°，∵A（1，1），∴OA=AK，∴△AOK是等腰直角三角形，∴∠AOK=45°，∴∠C′OA=∠C′OK∠AOK=60°45°=15°，∵A、B、C′关于直线l的对称点是A′、B′、C，∴∠COA′=∠C′OA=15°；（3）解：当B′与点Q重合时，如图，则B′（3，3），设BB′中点为K，则直线l经过点K，∵B（1，1），B′（3，3），∴K（1，1），直线BB′解析式为：y=x，∵BB′⊥l，∴直线l解析式为y=x+b，把K（1，1）代入，得b=2，当A′与点P重合时，如图，则A′（3，0），设AA′中点为K，则直线l经过点K，∵A（1，1），A′（3，0），∴K（1，），直线AA′解析式为：y=x+，∵AA′⊥l，∴直线l解析式为y=4x+b，把K（1，）代入，得b=，∵线段与线段PQ有公共点，∴，【点睛】本题考查轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，本题属一次函数综合题目，熟练掌握一次函数的图象性质、轴对称性质是解题的关键．11．我们规定：如图，点在直线上，点和点均在直线的上方，如果，，点就是点关于直线的“反射点”，其中点为“点”，射线与射线组成的图形为“形”．在平面直角坐标系中，(1)如果点，，那么点关于轴的反射点的坐标为；(2)已知点，过点作平行于轴的直线．①如果点关于直线的反射点和“点”都在直线上，求点的坐标和的值；②是以为圆心，为半径的圆，如果某点关于直线的反射点和“点”都在直线上，且形成的“形”恰好与有且只有两个交点，求的取值范围．【答案】(1)(2)①，；②或．【分析】（1）由题知，与关于直线对称，由此求出的坐标；（2）①由题可知，点与点的纵坐标相同，又点在直线上，由此可求出的坐标，从而确定直线的位置，计算的值；②分析题意，可知“点”是直线与直线的交点，分析在什么位置时，“形”与恰有个交点，求出此时的取值范围即可．(1)解：由题可知，点与点关于直线对称，且，．故答案是：（3，3）；(2)解：①由轴可知，点与点的纵坐标相同，又，将代入，得，解得，．设点关于直线的“点”为，则点与点关于直线对称，，点在直线上，．②由题可知，“点”是直线与直线的交点，点在直线上，设，则直线与直线关于直线对称，如图．与关于直线对称，设的表达式为，当直线与相切时，设切点为，则圆心的切点的距离为，整理得，此时直线与相切，关于的方程有唯一解，令，解得，当直线与相切时，直线的表达式为或．联立，解得，；联立，解得，．点到圆心的距离等于半径，且点在直线上，点是与直线的一个交点，且为两个交点中靠下方的交点，即．“形”与有且仅有两个交点，

分析图象可知，当且仅当或时符合题意．或．【点睛】本题考查了对称的性质，圆的性质，两点之间距离公式，一元二次方程的判别式，二元一次方程组与一次函数，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．12．在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．(1)已知点．①在点，，，中，线段OA的“等距点”是______；②若点C在直线上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；(2)已知点，点，图形W是以点为圆心，1为半径的位于x轴及x轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．【答案】(1)①；②或；(2)【分析】（1）根据定义求解即可求解；（2）求得，根据定义作出图形，图形W上存在线段DE的“等距点”，则与线段，有交点，进而即可求解．(1)①如图，，，点，，，，，是线段OA的“等距点”；②如图，根据定义可知，点C在直线上，并且点C是线段OA的“等距点”，，且在上，，，解得，或；(2)点，点如图，根据定义，以为半径，D,E为圆心，作，分别交轴负半轴，轴正半轴于点，则，设与正半轴交于点，，上的点到的距离为图形W上存在线段DE的“等距点”，则与线段，有交点根据题意可知，当半与只有一个交点时，在负半轴时，，当在正半轴时，，当与内切时，当与外切时，，综上所述，．【点睛】本题考查了新定义，勾股定理求两点距离，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键．13．在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为M'N'（M'，N'分别是M，N的对应点）．若MN与M'N'均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段MN关于直线l的“对称封闭图形”．(1)如图，点P（1，0）．①已知图形W1：半径为1的⊙O，W2：以线段PO为边的等边三角形，W3：以O为中心且边长为2的正方形，在W1，W2，W3中，线段PO关于y轴的“对称封闭图形”是；②以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD是线段PO关于直线y=x+b的“对称封闭图形”，求b的取值范围；(2)线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且MN的长度为2．若存在点Q（），使得对于任意过点Q的直线l，有线段MN，满足半径为r的⊙O是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围．【答案】(1)①，；②b的取值范围是(2)【分析】（1）①根据“对称封闭图形”的定义判断即可；②记点P，O关于直线的对称点分别为，，先求出直线、直线的的解析式，再根据图象找到当直线随着b的变化上下平移时的临界情况，解答即可；（2）根据题意，确定出当三角形MON为等腰直角三角形且∠MON=90°时r最小，作MN关于直线的对称图形，用勾股定理求出的长度即可．（1）解：①线段PO关于y轴对称图形为线段，即线段在图形W内（包括边界），其中，P（1，0），（0，1），故图形W1及W3，符合题意，故答案为：，．②记点P，O关于直线的对称点分别为，，则直线垂直平分线段和，因此直线的解析式为，直线的解析式为，由于线段PO在x轴上，故关于直线的对称后，⊥x轴．如图，当直线随着b的变化上下平移时，临界