第06讲等腰三角形的性质与判定（3种题型）

第06讲等腰三角形的性质与判定（3种题型）了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。一．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．三．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．一．等腰三角形的性质（共9小题）1．（2022秋•启东市校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A的度数是（）A．45° B．70° C．65° D．50°【分析】由“SAS”证△BFD≌△CDE，得∠BFD＝∠CDE，再由三角形的外角性质得∠B＝∠FDE＝65°＝∠C，然后由三角形内角和定理即可求解．【解答】解：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，∵∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，∴∠B＝∠FDE＝65°，∴∠C＝∠B＝65°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识，证明△BFD≌△CDE是解题的关键．2．（2022秋•高新区校级月考）一个等腰三角形的两边长分别为2cm，4cm，则它的周长是（）A．8cm B．8cm或10cm C．10cm D．6cm或8cm【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为2cm或是腰长为4cm两种情况．【解答】解：等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，当腰长是2cm时，则三角形的三边是2cm，2cm，4cm，2+2＝4（cm），不满足三角形的三边关系；当腰长是4cm时，三角形的三边是4cm，4cm，2cm，三角形的周长是10cm．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3．（2022秋•启东市期末）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．【分析】根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；由DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．【解答】解：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠CBE，∵DB＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠DEB＝∠CBE，∴DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC＝．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键．4．（2022秋•无锡期末）已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由已知条件，根据等腰三角形的性质及周长公式即可求得其底边长．【解答】解：因为等腰三角形的周长为10，其腰长为4，所以它的底边长为10﹣4﹣4＝2．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，本题已知比较明确，思路比较直接，属于基础题．5．（2022秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，点P在线段AC上且不与A、C重合，则∠BPC的度数可能是（）A．60° B．65° C．80° D．130°【分析】只要证明65°＜∠BPC＜130°即可解决问题．【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝50°，∴∠A＝∠ABC＝65°，∵∠BPC＝∠A+∠ABP，点P在线段AC上且不与A、C重合，∴65°＜∠BPC＜130°，∴只有80°适合，故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（2022秋•苏州期末）已知等腰三角形底边上的中线长为5，则这个等腰三角形的腰长可能为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据等腰三角形三线合一性质，结合直角三角形斜边大于直角边，判定腰长要大于5，判断即可．【解答】解：∵等腰三角形底边上的中线长为5，根据等腰三角形三线合一性质，得到中线也是底边上高线，∴直角三角形斜边大于直角边，∴腰长要大于5，故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．7．（2022秋•亭湖区期末）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，9cm．而3+3＜9，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是6cm，6cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．8．（2022秋•金湖县期中）已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝50°，则△ABC的顶角度数是（）A．50° B．50°或80° C．80° D．50°或65°【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是50°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×50°＝80°；综上，△ABC的顶角度数是50°或80°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．9．（2022秋•如东县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE＝AE＝AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC（2）设∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值．【解答】解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，本题属于中等题型．二．等腰三角形的判定（共9小题）10．（2022秋•启东市校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，求出∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，求出∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，根据平行线的性质得出∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，推出∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°即可．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∵∠A＝36°，∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5个，故选：D．【点评】本题考查了角平分线性质、平行线性质、三角形内角和定理，三角形外角性质，以及等角对等边的性质等知识点的应用，题目比较好，难度适中．11．（2023•东海县三模）在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝80°、50°、20°时，△ABC是等腰三角形．【分析】此题要分三种情况进行讨论①∠B、∠A为底角；②∠A为顶角，∠B为底角；③∠B为顶角，∠A为底角．【解答】解：∵∠A＝80°，∴①当∠B＝80°时，△ABC是等腰三角形；②当∠B＝（180°﹣80°）÷2＝50°时，△ABC是等腰三角形；③当∠B＝180°﹣80°×2＝20°时，△ABC是等腰三角形；故答案为：80°、50°、20°．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等角对等边，注意考虑全面，不要漏解．12．（2022秋•姜堰区期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B均在格点上，在图中给出的C1、C2、C3、C4四个格点中，能与点A、B构成等腰三角形，且面积为2的是（）A．C1 B．C2 C．C3 D．C4【分析】先判断等腰三角形，然后计算等腰三角形的面积，进而作出判断．【解答】解：根据图形可知△ABC2，△ABC3是等腰三角形，则S＝2，S＝2×3﹣1×2﹣＝．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键．13．（2022秋•鼓楼区期末）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分别画出以A点和B点为顶点的等腰三角形，再画出C为顶点的等腰三角形即可．【解答】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：所以符合条件的点C的个数为3个，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．14．（2022秋•邗江区月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BD＝4，则AD长是（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠BDC＝30°，然后利用三角形外角的性质可得∠ABD＝15°，从而可得∠A＝∠ABD＝15°，即可解答．【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，∵∠A＝15°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，∴∠A＝∠ABD＝15°，∴AD＝BD＝4，故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．15．（2022秋•广陵区校级期末）用一条长为21cm的铁丝围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？【分析】（1）设底边长为xcm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；（2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解．【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm，根据题意得：x+3x+3x＝21，解得：x＝3，则3x＝3×3＝9，∴三角形的三边长分别为3cm、9cm、9cm．（2）能，理由如下：①若底边长为5cm时，腰长＝三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，能围成三角形，若5cm为腰时，底边＝21﹣5×2＝11，三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm，∵5+5＝10＜11，∴不能围成三角形，综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．16．（2022秋•镇江月考）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（）A．5 B．6 C．8 D．9【分析】分三种情况：当BA＝BC时，当AB＝AC时，当CA＝CB时，然后进行分析即可解答．【解答】解：如图：分三种情况：当BA＝BC时，以点B为圆心，BA长为半径作圆，点C1，C2，C3即为所求；当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，点C4，C5，C6，C7，C8即为所求；当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，综上所述：满足条件的格点C的个数是8，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．17．（2022秋•邳州市期末）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【解答】解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解．18．（2022秋•亭湖区期末）如图所示，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝或12s时，△POQ是等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即12﹣3t＝2t，解得，t＝s；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，即3t﹣12＝2t，解得，t＝12s故答案为或12．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键．三．等腰三角形的判定与性质（共9小题）19．（2022秋•大丰区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为（）A．3 B．4 C．3.5 D．2【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．判断出∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，判断出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，即BD＝DF，FE＝CE，然后利用等量代换即可求出线段CE的长．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，∴BD＝DF＝4，FE＝CE，∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．故选：A．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，平行线段性质的理解和掌握，关键利用两直线平行内错角相等．20．（2022秋•铜山区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；④△ADE的周长＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC，①②④正确，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．21．（2022秋•沭阳县期末）如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于E，F，则△AEF的周长是14．【分析】根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答．【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED，FD＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝14，∴△AEF的周长为：14，故答案为：14．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形是解题的关键．22．（2022秋•江都区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若DE＝7，EC＝3，则DB＝4．【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明OD＝DB．【解答】解：∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠DBO＝∠CBO，∠ECO＝∠BCO，∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB，∠EOC＝∠OCB，∴∠DBO＝∠DOB，∠EOC＝∠ECO，∴BD＝DO，OE＝CE＝3，∴BD＝DO＝DE﹣CE＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质．23．（2022秋•江都区校级月考）如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是cm2．【分析】延长AP交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP＝∠EBP，结合BP＝BP以及∠APB＝∠EPB＝90°即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP＝EP，根据三角形的面积即可得出S△APC＝SEPC，再根据S△PBC＝S△BPE+SEPC＝S△ABC即可得出结论．【解答】解：延长AP交BC于点E，如图所示．∵AP垂直∠B的平分线BP于点P，∴∠ABP＝∠EBP．在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝EP．∵△APC和△EPC等底同高，∴S△APC＝S△EPC，∴S△PBC＝S△BPE+S△EPC＝S△ABC＝cm2．故答案为：cm2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积，根据三角形间的关系找出S△PBC＝S△ABC是解题的关键．24．（2022秋•江都区月考）如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC12m2．【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC＝S△ABC．【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC＝S△ABC＝×24＝12（m2），故答案为：12；【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键．25．（2022秋•崇川区期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝4，ED＝8，求EB+DC＝12．【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBG和△DFC是等腰三角形，从而可得EB＝EG，DF＝DC，进而可得EB+DC＝ED+FG，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABG＝∠CBG，∠ACF＝∠FCB，∴∠EBG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF，∴EB＝EG，DF＝DC，∵FG＝4，ED＝8，∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝12，故答案为：12．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．26．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝7．（1）求∠BOC的度数；（2）求∠AMN的周长．【分析】（1）根据三角形的内角和为180°及角平分线的定义即可得出答案；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，进而可得C△AMN＝AB+AC，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣∠A，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A＝90°+40°＝130°；（2）∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠CBO，∴∠ABO＝∠MOB，∴MO＝BM，同理可得，NO＝NC，∴AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+AN+NC＝AB+AC，∵AB＝5，AC＝7，∴AB+AC＝12，∴△AMN的周长＝AB+AC＝12．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．27．（2022秋•姑苏区校级期中）如图，点E是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF的两条角平分线的交点，过点E作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N，若BM﹣CN＝6，则线段MN的长度为6．【分析】根据角平分线的定义得到∠MBE＝∠CBE，根据平行线的性质得到∠MEB＝∠CBE，等量代换得到∠MBE＝∠MEB，求得BM＝EM，同理，CN＝EN，于是得到结论．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE，∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠CBE，∴∠MBE＝∠MEB，∴BM＝EM，同理，CN＝EN，∵BM﹣CN＝9，∴MN＝ME﹣EN＝BM﹣CN＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•灌南县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．【解答】解：AB＝AC，∠ABC＝36°，∴∠BAC＝108°，∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键，难度适中．2．（2022秋•溧水区期中）已知一个等腰三角形的两边长分别是2cm，4cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，所以这个等腰三角形的两条腰长应该是8厘米，由此把三条边加起来即可．【解答】解：∵2+2＝4（cm），4cm＝4cm，不符合三角形三边条件，∴这等腰三角形的两条腰长是4cm，∵4+4+2＝10（cm），∴这个等腰三角形的周长是10cm．故选：C．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的三边关系，是解答此题的关键．3．（2023春•洪泽区期中）等腰三角形有两条边的长分别为3和4，则该三角形的周长为（）A．10 B．10或11 C．11 D．7或11【分析】等腰三角形两边的长为3和4，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【解答】解：①当腰是3，底边是4时，3+3＞4，能构成三角形，则其周长＝3+3+4＝10；②当底边是3，腰长是4时，3+4＞4，能构成三角形，则其周长＝3+4+4＝11．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4．（2022秋•淮安区期中）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝15，AC＝18，则△AMN的周长为（）A．15 B．18 C．30 D．33【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，然后利用等量代换可得△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴MB＝MO，NO＝NC，∵AB＝15，AC＝18，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MO+NO+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC＝33，故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．5．（2022秋•泗阳县期中）如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转当A端落地时，∠OAC＝25°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A'OA）是（）A．25° B．50° C．60° D．80°【分析】当B端着地时，如图，∠A′OA即为上下转动的最大角度，利用三角形外角的性质即可解决问题；【解答】解：当B端着地时，如图，∠A′OA即为上下转动的最大角度，∵O是AB的中点，∴OA＝OB∵OA＝OB′，∴∠A＝∠B′＝25°∴∠A′OA＝∠A+∠B′＝50°．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及邻补角的定义等知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．二．填空题（共5小题）6．（2022秋•大丰区期中）如图，直线a，b交于点O，∠α＝40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB＝40或70或100°．【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB＝AB时，②当OA＝AB时，③当OA＝OB时，分别求得符合的点B，即可得解．【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：①当OB1＝AB1时，∠OAB＝∠1＝40°；②当OA＝AB2时，∠OAB＝180°﹣2×40°＝100°；③当OA＝OB3时，∠OAB＝∠OBA＝×（180°﹣40°）＝70°；综上所述，∠OAB的度数是40°或70°或100°，故答案为：40或70或100．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．7．（2022秋•姑苏区期中）在△ABC中，∠A＝70°，当∠B＝55°、70°、40°时，△ABC为等腰三角形．【分析】运用分类讨论的数学思想，借助三角形的内角和定理求出∠B的值，即可解决问题．【解答】解：若∠A为顶角，且∠A＝70°，则∠B＝∠C＝＝55°；若∠A为底角，且∠B为底角，则∠B＝∠A＝70°；若∠A为底角，且∠B为顶角，则∠A＝∠C＝70°，∠B＝180°﹣140°＝40°，故答案为55°、70°、40°．【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是运用分类讨论的数学思想，借助三角形的内角和定理来逐一判断、解析．8．（2022秋•沭阳县期中）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝5，AC＝7，则△AMN的周长为12．【分析】利用角平分线的定义和平行线的性质可证△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根据等量代换可得△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，AC＝7，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC＝5+7＝12，故答案为：12．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．9．（2022秋•鼓楼区校级期中）如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S．当S＝或2时，满足条件的点C恰有三个．【分析】分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于点C1，过点C1作直线l∥AB，分别交两圆于点C2，C3；分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，在两圆上方作直线l∥AB，与两圆分别相切于点C2，C3，再根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）如图所示：分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于点C1，过点C1作直线l∥AB，分别交两圆于点C2，C3，此时满足条件的点C恰好有3个，△ABC1为边长为2的等边三角形，其高为∴S＝×2×＝（2）如图所示：分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，在两圆上方作直线l∥AB，与两圆分别相切于点C2，C3，点C1为l与线段AB的垂直平分线的交点，此时满足条件的点C恰好有3个，△ABC2和△ABC3均为腰长为2的等腰直角三角形，△ABC1为底边为2，高为2的等腰三角形∴S＝×2×2＝2故答案为：或2．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，构造圆，结合圆的切线性质及平行线的性质分类讨论，是解题的关键．10．（2022秋•泗洪县期中）如图，已知直线OM垂直于直线ON，点A在直线OM上，且∠OAB＝30°，点B在直线ON上，在直线OM或直线ON上找一点C（与A、B不重合），使△ABC成为一个等腰三角形，这样的点C能找到6个．【分析】分两种情况讨论，当AB是底边时，当AB是腰时，即可求解．【解答】解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线，分别与AO，线段BO的延长线相交，共两个交点，都符合题意；（2）当AB是腰时①以A圆心AB长为半径画圆交直线OM于两点，交线段BO延长线于一点（该点与前面的点重合），有两个交点符合题意；②以B圆心AB长为半径画圆交直线ON于两点（有一个点与前面的点重合），交线段AO延长线于一点，有两个交点符合题意，因此这样的点C能找到6个，使△ABC成为等腰三角形．故答案为：6．【点评】本题考查等腰三角形，关键是分两种情况讨论，并注意有重合的点．三．解答题（共3小题）11．（2022秋•邗江区期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE，过D作DG∥AC交BC于G．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】首先根据题意证明出△GDF≌△CEF（ASA），然后得到DG＝CE，结合得到∠ABC＝∠ACB，即可证明出△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵DG∥AC∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA）；∴DG＝CE，又∵BD＝CE，∴DG＝BD，∴∠DBG＝∠DGB，∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．12．（2022秋•东海县期中）用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的2倍，那么底边长为3.2cm；（2）能围成腰长是4cm的等腰三角形吗？为什么？【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，则2x+2x+x＝16解得，x＝3.2，∴底边长为：3.2cm；故答案为：3.2cm；（2）不能围成有长是4cm的等腰三角形，当4cm为腰时，底边＝8cm，因为4+4＝8，故不能构成三角形，故舍去；故不能构成腰长为4cm的等腰三角形．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．13．（2022秋•淮安区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）BP＝（16﹣t）cm（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发11秒或12秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出BP；（2）结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）cm；（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．故答案为：11秒或12．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．一．选择题（共6小题）1．若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为6cm，然后即可求得等腰三角形的周长．【解答】解：①6cm为腰，3cm为底，此时周长为6+6+3＝15cm；②6cm为底，3cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．故其周长是15cm．故选：C．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．2．等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm【分析】由于长为5cm的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．【解答】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（21﹣5）÷2＝8（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是21﹣5×2＝11（cm），∵5+5＝10＜11，∴不能够组成三角形．故该等腰三角形的底边长为：5cm．故选：A．【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm【分析】根据中点的定义得到DC=12BC，根据直角三角形的性质得到DE=【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，点E为AC的中点，∴DC=12BC，DE=∵△ABC的周长为20cm，∴△CDE的周长＝DE+EC+DC=12×故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质与判定，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵BD为△ABC的高，∴∠BDC＝90°．∵∠CBD＝20°，∴∠C＝90°﹣∠CBD＝90°﹣20°＝70°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝70°，又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°．∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．5．下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，2，3 D．2，2，4【分析】根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义解答．【解答】解：A、∵1+2＝3，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；B、∵3+4＞5，∴能组成三角形，但不是等腰三角形，故此选项不符合题意；C、∵2+2＞3，∴能组成三角形，且是等腰三角形，故此选项符合题意；D、∵2+2＝4，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系，要注意三角形的任意两边之和大于第三边．6．已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定【分析】由a2+b2﹣2ab＝0，可得出a＝b，结合a，b是△ABC的两条边长，即可得出△ABC为等腰三角形．【解答】解：∵a2+b2﹣2ab＝0，即（a﹣b）2＝0，∴a﹣b＝0，∴a＝b．又∵a，b是△ABC的两条边长，∴△ABC为等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及偶次方的非负性，利用偶次方的非负性，找出三角形的两边相等是解题的关键．二．填空题（共3小题）7．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，则CN＝2cm．【分析】根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，结合等腰三角形的判定可证得MO＝MC，NO＝NB，于是得到MN＝BM+CN，进而求出CN．【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，∴BM＝MO，ON＝CN，∴MN＝MO+ON，即MN＝BM+CN，∵BM＝3cm，MN＝5cm，∴CN＝MN﹣BM＝5﹣3＝2（cm），故答案为：2．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，根据角平分线的定义即平行线的性质证得MO＝MC，NO＝NB是解决问题的关键．8．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°-12∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是【分析】根据角平分线的定义得到∠PCB=12∠ACB，∠BCD=12∠BCF，根据垂直的定义得到CP⊥CD；故①正确；延长CB，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得到∠P=12∠A，故②正确；根据平行线的判定定理得到AB∥CD，推出△ABC是等边三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，于是得到假设不成立，故③错误；根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，推出∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，求得∠D＝90°-12∠A，故④正确；根据三角形的外角的性质得到∠EBC＝∠A+∠ACB，∠A＝∠ACB，求得∠EBD【解答】解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF，∴∠PCB=12∠ACB，∠BCD∵∠ACB+∠BCF＝180°，∴∠PCD＝∠PCB+∠BCD=12∠ACB+12∠BCF=12（∴CP⊥CD；故①正确；延长CB，∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH，∴BP平分∠ABH，∴∠PBH＝∠BCP+∠P，∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH，∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P，∴∠A＝2∠P，即：∠P=12∠A，故假设BC＝CD，∴∠CBD＝∠D，∵∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠D，∴AB∥CD，∴∠DCF＝∠A，∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF，∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴假设不成立，故③错误；∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠A+∠A