2025届高三数学一轮总复习 第四章 第四讲 数列求和配套课件

第四讲数列求和2025年高考一轮总复习第四章

数列1.公式法2.几种数列求和的常用方法(1)分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和.(3)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.(4)倒序相加法

如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.(5)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)n

f(n)类型，可采用两项合并求解.

考点一分组转化法求和解：(1)依题意，Sn＝2an－1，当n＝1时，a1＝2a1－1，得a1＝1；当n≥2时，由Sn＝2an－1，得Sn－1＝2an－1－1，两式作差可得：an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1(n≥2)，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝2n-1(n∈N*).

【题后反思】

【变式训练】

(2023辽阳市期末)记正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝3.可得Sn＝n2，当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，上式对n＝1和n＝2也成立，所以an＝2n－1.考点二裂项相消法求和【题后反思】裂项相消法求数列{an}的前n项和的基本步骤【变式训练】

考点三错位相减法求和

[例3](2023年信阳市期末)我国元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》中研究过高阶等差数列问题，如数列{an}满足{an＋1－an}为等差数列，称{an}为二阶等差数列.已知二阶等差数列1，2，4，7，… (1)求{an}的通项公式；解：(1)已知数列{an}满足{an＋1－an}为等差数列，又a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝7，则a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3.即数列{an＋1－an}是以1为首项，1为公差的等差数列.∴an＋1－an＝1＋(n－1)×1＝n.∴an－an－1＝n－1，【题后反思】错位相减求和方法(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn.(2)基本步骤(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误.

【变式训练】

考点四并项法求和

[例4]已知等差数列{an}中，a3＝3，a2＋2，a4，a6－2成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式；解：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋2，a4，a6－2成等比数列，所以a＝(a2＋2)(a6－2).所以(a3＋d)2＝(a3－d＋2)(a3＋3d－2).又因为a3＝3，所以(3＋d)2＝(5－d)(1＋3d)，化简得d2－2d＋1＝0，解得d＝1.所以an＝a3＋(n－3)d＝3＋(n－3)×1＝n.

【题后反思】(1)用并项求和法求数列的前n项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和.可用并项求和法的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符号；二是数列的通项公式中含有符号因子“(－1)n”；三是数列{an}是周期数列.(2)运用并项求和法求数列的前n项和的突破口是会观察数列的各项的特征，如本题，数列{bn}的通项公式为易知数列{bn}是摆动数列，所以求和时可以将各项进行适当合并.(3)能求出an＋an＋1的表达式时，宜采用并项求和法.若项数为偶数，并项方式为(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)；若项数为奇数，并项方式为a1＋(a2＋a3)＋…＋(an－1＋an).【变式训练】则2Sn＋1＝an＋1＋2(n＋1)2＋2.两式相减得2an＋1＝an＋1－an＋4n＋