2025届高三数学一轮总复习 第六章 第六讲 空间坐标系与空间向量配套课件

第六讲空间坐标系与空间向量2025年高考一轮总复习第六章

立体几何名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量1.空间向量的有关概念2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).项目向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角余弦值cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝4.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l垂直于平面α，直线l的方向向量a叫做平面α的法向量.位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l

αl∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝05.空间位置关系的向量表示【常用结论】

考点一空间向量的线性运算1.如图6-6-1，在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的列表示正确的是()图6-6-1答案：D图6-6-2解析：如图D53，连接ON.图D53【题后反思】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.考点二共线定理、共面定理的应用[例1]如图6-6-3，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：BD∥平面EFGH.图6-6-3图6-6-4由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面.所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD

平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.【题后反思】证明三点共线和空间四点共面的方法比较【变式训练】图6-6-5

2.如图6-6-6，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1

中，AB∥CD，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2CD＝4，E，F，G分别为棱DD1

，A1D1，BB1的中点.(2)求证：C，E，F，G四点共面.图6-6-6

(1)解：以

A为原点，AD，AA1，AB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图D54所示的空间直角坐标系.

C(2，0，2)，E(2，2，0)，F(1，4，0)，G(0，2，4).图D54

考点三空间向量数量积及其应用

[例2]如图6-6-7所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点. (1)求证：EG⊥AB； (2)求EG的长；(3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.图6-6-7【题后反思】空间向量数量积的应用【变式训练】已知A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).(2)设a＝(x，y，z)，所以向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1).考点四向量法证明平行、垂直

[例3]如图6-6-8，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角.求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.图6-6-8证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图6-6-9所示的空间直角坐标系Cxyz.图6-6-9∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，又∵PA∩DA＝A，PA，DA⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD.又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.平行关系证明方法线线平行两直线的方向向量平行线面平行平面外直线的方向向量与平面的法向量垂直面面平行两平面的法向量平行【题后反思】(1)用向量证明平行的方法垂直关系证明方法线线垂直两直线的方向向量垂直线面垂直直线的方向向量与平面的法向量平行面面垂直两个平面的法向量垂直(2)用向量证明垂直的方法

【变式训练】

如图6-6-10所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点. (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由.图6-6-10

(1)证明：以

A

为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图D55所示的空间直角坐标系.设|AB|＝a，则图D55BCEF？若存在，求出

⊙用空间向量解决有关位置关系的探索性问题

[例4]如图6-6-11，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求证：AC⊥BF；图6-6-11(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面的值；若不存在，请说明理由.

(1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF， ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC.

过点A作AH⊥BC于点H，∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面FAB.∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF.图6-6-12

假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z).【题后反思】解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.

(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如Oxy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；④直线接利用向量运算.【高分训练】(2021年泰安市一模)如图6-6-13，在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝PB＝2，BC＝2，E，G分别为PC，PA的中点. (1)求证：平面BCG⊥平面PAC； (2)在线段AC上是否存在一点N，使PN⊥BE？证明你的结论.

图6-6-13(1)证明：∵PB⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PB，又AB⊥BC，AB∩BP＝B，∴BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.又∵AB＝PB＝2，△PAB为等腰直角三角形，G为斜边PA的中点，∴BG⊥PA，又BG