数学同步练习：一次函数和二次函数第二小节

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2.2二次函数的性质与图象1．函数y＝－ax＋1与y＝ax2在同一坐标系的图象大致是图中的(）2．二次函数y＝－x2－2x＋1的顶点在第__________象限．()A．一B．二C．三D．四3．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞,4］上是减函数,则实数a的取值范围是…（）A．a≤－3B．a≥－3C．a≤5D．a≥34．若0<x〈eq\f（1,2），则函数y＝x(1－2x）的最大值为__________．5．下列四个函数中：A．y＝x2－3x＋2B．y＝5－x2C．y＝－x2＋2xD．y＝x2－4x＋4（1）图象经过坐标原点的函数是__________；（2)图象的顶点在x轴上的函数是__________；（3)图象的顶点在y轴上的函数是__________．1．函数f(x)＝eq\f(1，1－x(1－x))的最大值是(）A。eq\f（4,5)B.eq\f（5,4）C。eq\f（3,4）D。eq\f（4，3)2．若f（x)＝－x2＋2ax在区间［0，1]上是增函数，在区间[2,3]上是减函数，则实数a的取值范围是（)A．[1，2］B．[－1，0]C．［0，3］D．[0，1]3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c这四个式子中，值为正数的有(）A．4个B．3个C．2个D．1个4．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(m＋x)＝f（m－x)，则m等于__________．5．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一次函数y2＝kx＋m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4），B(8，2），如图所示,则能使y1〉y2成立的x的取值范围是__________．6．二次函数f(x)与g（x)的图象开口大小相同,开口方向也相同．已知函数g(x)的解析式和f(x）的图象的顶点，写出函数f(x）的解析式：(1）函数g(x)＝x2，f（x）图象的顶点是(4，－7）；(2)函数g（x）＝－2(x＋1）2，f(x)图象的顶点是（－3，2）．7．根据下列条件,求二次函数解析式:(1)图象过点(2，0)，(4，0)及点(0,3）;（2)图象顶点(1，2)且过点(0,4);(3)图象过点（1,1)、(0，2)、（3,5）．1．已知函数y＝ax＋b(a≠0）和y＝ax2＋bx＋c（a≠0），那么它们的图象可能是(）2．已知函数y＝ax2＋bx＋c,如果a〉b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是下列各图中的（)3.若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m］，值域为［－eq\f(25，4)，－4]，则m的取值范围是(）A．(0，4]B．［eq\f（3，2),4]C．［eq\f（3，2)，3］D．[eq\f（3,2)，＋∞）4．二次函数f（x)满足f（x＋2)＝f（2－x），又f（x)在(0，2）上是增函数,且f(a）≥f(0）,那么a的取值范围为（)A．a≥0B．a≤0C．0≤a≤4D．a≤0，a≥45．已知二次函数f（x)在x＝eq\f(t＋2，2)处取得最小值为－eq\f（t2,4）（t〉0)，f(1）＝0,则f(x）的表达式为__________．6．函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点,那么a的值为__________．7．已知二次函数f（x)满足f(1＋x)＝f(1－x），且f（0)＝0，f（1）＝1，若f(x）在区间［m,n]上的值域是[m，n]，则m＝__________,n＝__________。8．已知函数f（x)＝kx2－4x－8在[5,20]上是单调函数，求实数k的取值范围．9．设f（x)为定义在R上的偶函数,当x≤－1时，y＝f（x）的图象是经过（－2,0），斜率为1的射线;又在y＝f(x）的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过（－1,1)的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式,并作出图象．10．已知函数f（x)＝x2－2ax＋1,求f（x）在［1，2］上的最小值．答案与解析课前预习1．D因为函数y＝ax2一定经过坐标原点，所以先排除答案A、B。再对a＞0、a＜0两种情况进行讨论、分析、验证．2．By＝－x2－2x＋1＝－(x＋1)2＋2，∴顶点为（－1，2)．∴顶点在第二象限．3．A二次函数的对称轴为x＝1－a,由1－a≥4得a≤－3。4。eq\f(1,8）y＝－2(x－eq\f（1，4)）2＋eq\f（1,8）.∵eq\f(1，4）∈(0，eq\f(1，2)），∴ymax＝eq\f（1,8)。5．CDBA：y＝（x－eq\f(3，2))2－eq\f（1，4)；C：y＝－（x－1）2＋1；D：y＝（x－2)2，易得C、D、B分别符合①②③的条件．课堂巩固1．D首先讨论分母1－x(1－x）的取值范围是1－x(1－x)＝x2－x＋1＝（x－eq\f（1，2）)2＋eq\f(3,4）≥eq\f（3,4)，因此eq\f(1,1－x（1－x)）≤eq\f(4,3），所以f（x）的最大值为eq\f(4,3).2．A由题意得，1≤－eq\f(2a,2×（－1))≤2,解得1≤a≤2。3．B∵二次函数的图象开口向上,∴a〉0，又图象与x轴有两个交点．∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，即Δ＝b2－4ac〉0。又－eq\f（b,2a）∈(0,1)，即－b<2a，b<0.∴2a＋b>0，又f(0）＝c<0，∴abc>0。又由图象可知f(1）＝a＋b＋c<0。4．－eq\f（b,2a）由f（m＋x）＝f(m－x）可得x＝m为函数f（x)图象的对称轴，∴m＝－eq\f（b，2a).5．x<－2或x〉8由题图可知，当x＝－2或x＝8时有y1＝y2，故使y1>y2成立的x的取值范围为x〈－2或x〉8.6．解:如果二次函数的图象与y＝ax2的图象开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标为（－h，k），则其解析式为y＝a(x＋h)2＋k。（1)因为f（x)与g（x）＝x2的图象开口大小相同，开口方向也相同，f（x）的图象的顶点是（4，－7），所以f（x)＝（x－4）2－7＝x2－8x＋9。（2)因为f(x)与g(x)＝－2（x＋1)2的图象开口大小相同,开口方向也相同,且g（x）＝－2（x＋1）2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向也相同．又因为f（x)图象的顶点是（－3，2），所以f（x)＝－2（x＋3）2＋2＝－2x2－12x－16.点评：(1)二次函数的二次项系数决定了抛物线的开口方向与开口大小．(2）若二次函数的二次项系数为a，顶点坐标为（h，k），则此二次函数可设为y＝a（x－h）2＋k.7．解:(1)设二次函数解析式为y＝a(x－2）（x－4)（a≠0）,即y＝ax2－6ax＋8a.又∵图象过（0,3)，∴8a＝3.∴a＝eq\f(3,8）。∴函数解析式是y＝eq\f（3，8)（x－2）(x－4）．(2）设二次函数解析式为y＝a(x－1)2＋2(a≠0)，即y＝ax2－2ax＋a＋2.又∵图象过(0,4）,∴a＋2＝4。∴a＝2。∴函数解析式为y＝2（x－1）2＋2。（3）设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0)，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,c＝2，,9a＋3b＋c＝5，)）∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝1，,b＝－2,，c＝2。））∴函数的解析式为y＝x2－2x＋2.点评：二次函数的解析式常用的有三种形式：（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0）；(2)项点式y＝a(x－h）2＋k(a≠0）；（3）两根式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0)，要灵活选用表达式,使运算简化．课后检测1．C作定性分析,即确定二次函数或一次函数图象来确定另一个函数的图象．如A:由开口向上得a>0,对称轴方程x＝－eq\f(b，2a)>0，∴b〈0，易得一次函数图象不恰当．故A错；B、D同理可得．2．D由a>b>c且a＋b＋c＝0可得a>0，c<0，f（1)＝0。∴只有D符合条件．3．C∵y＝(x－eq\f(3,2））2－eq\f(25，4)，∴当x＝eq\f(3，2)时，ymin＝－eq\f（25，4）.∴m≥eq\f（3,2）.令x2－3x－4＝－4,得x＝0或x＝3。∴eq\f（3,2)≤m≤3.4．C由f(2＋x)＝f(2－x），可得二次函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，又f（x)在(0，2)上是增函数，∴当x∈[0,2］时，f(x）≥f(0）．由对称性，可得当x∈[2，4]时,f(x）≥f(0)也成立，∴a∈［0，4]．点评：若函数f（x）满足f（a＋x）＝f(a－x)，则f（x)的图象关于x＝a对称．5．y＝x2－(t＋2）x＋t＋1由题意可设f(x)＝a（x－eq\f（t＋2,2））2－eq\f（t2，4）(a≠0），又f(1）＝0，即a(1－eq\f（t＋2,2）)2－eq\f(t2,4)＝0,得a＝1，∴f（x)＝（x－eq\f(t＋2，2))2－eq\f(t2,4)＝x2－（t＋2）x＋t＋1。6．0或1或9当a＝0时，y＝3x＋1,显然与x轴只有一个交点；当a≠0时,须满足Δ＝（3－a）2－4a＝0，得a＝1或9。点评：不要忘记讨论“a＝0”的情况．7．01由题意f（x）＝－（x－1)2＋1，且f(x)＝x有两个实根m,n，解得x1＝0，x2＝1，又m<n，∴m＝0,n＝1.8．解：(1)当k＝0时，f（x)＝－4x－8，显然在［5，20]上是单调递减函数．（2）当k≠0时，要在［5，20]上单调，只须满足:区间［5，20]在对称轴的左侧或右侧即可,即eq\f（2,k)≤5或eq\f(2，k）≥20.①当k>0时，由eq\f(2，k）≥20可得0<k≤eq\f(1,10），由eq\f(2,k）≤5可得k≥eq\f（2,5）.∴k∈(0，eq\f(1，10）]∪［eq\f（2,5)，＋∞）．②当k<0时，由eq\f（2,k)≥20知无解；由eq\f(2,k）≤5可得k≤eq\f（2,5），∴k<0.综上可知k的范围为（－∞，eq\f(1，10)］∪［eq\f（2，5),＋∞）．点评：若二次项系数含有参数时，必须讨论二次项系数是否为零，因为它能使函数的性质不同．9．解：当x≤－1时，设f(x)＝x＋b，则由f（－2)＝0可得b＝2，∴f(x)＝x＋2；当－1〈x<1时，设函数f(x)＝ax2＋2，则由f（－1)＝1得a＝－1，∴f（x）＝－x2＋2.当x≥1时,－x≤－1,∴f(x）＝f（－x)＝－x＋2。∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋2，x≤－1，,2－x2,－1<x<1，，－x＋2，x≥1，)）图象如图所示：10．解：f(x)＝（x－a)2＋1－a2,对称轴为直线x＝a.（1)当a<1时，f(x）在［1，2］