2025届高三数学一轮总复习 第六章 第七讲 立体几何中的向量方法配套课件

第七讲立体几何中的向量方法2025年高考一轮总复习第六章

立体几何1.异面直线所成的角若异面直线l1，l2

所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则

2.直线与平面所成的角

如图6-7-1，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则图6-7-13.平面与平面的夹角

如图6-7-2，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.图6-7-2

若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1

和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则

【常用结论】

(1)线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.(2)二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是4.利用空间向量求距离(1)点到直线的距离图6-7-3

(2)点到平面的距离

如图6-7-4，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，且n是直线l的方向向量，则点图6-7-4

(3)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.注意体积法在求点到平面距离时的应用.【名师点睛】

(3)如图6-7-5，若两个法向量指向二面角的同侧，则二面角的余弦值是cos〈m，n〉的相反数；若两个法向量指向二面角的异侧，则二面角的余弦值与cos〈m，n〉相等.图6-7-5

考点一利用向量求空间的角考向1向量法求异面直线所成的角图6-7-6答案：C

(2)有公共边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________.

解析：设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD.因为等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以点O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图6-7-7所示的空间直角坐标系.图6-7-7【题后反思】(1)求异面直线所成角的思路：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v1，v2；(2)两异面直线所成角的关注点：两异面直线所成角的范围是

，两向量的夹角的范围是[0，π]，两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.考向2向量法求线面角

[例2](2023年广州市校级期末)如图6-7-8，△PAC和△ABC是等腰直角三角形，PA＝PC，AC＝BC.平面PAC⊥平面ABC，M为AB中点.图6-7-8(1)求证：AC⊥PM.(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值.(3)在线段PB上是否存满足平面CNM⊥平面PAB的点N？若(1)证明：取

AC中点D，连接MD，PD，如图6-7-9.图6-7-9∵M为AB的中点，∴MD∥BC.又AC⊥BC，∴MD⊥AC.∵PA＝PC，D为AC中点，∴PD⊥AC.又MD∩PD＝D，MD⊂平面PMD，PD⊂平面PMD，∴AC⊥平面PMD.又PM⊂平面PMD，∴AC⊥PM.(2)解：由(1)知，PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PD⊂平面PAC，∴PD⊥平面ABC.以D为原点，DA，DM，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图6-7-10所示的空间直角坐标系.图6-7-10

令z＝1，得x＝1，y＝1，即n＝(1，1，1)为平面PAB的一个法向量.设PC与平面PAB所成角为θ，【题后反思】(1)求线面角的思路①求出直线的方向向量a与平面的法向量b；

③线面角θ的正弦值sinθ＝|cos〈a，b〉|.(2)求线面角的关注点考向3向量法求二面角[例3](2023年全国乙卷理科)如图6­7­11，在三棱锥P­ABC中，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)证明：EF∥平面ADO； (2)证明：平面ADO⊥平面BEF； (3)求二面角D-AO-C的正弦值.

图6-7-11∴EF∥PC.又D，O分别为BP，BC中点，∴DO∥PC.∴EF∥DO.∵DO⊂平面ADO，EF

平面ADO，∴EF∥平面ADO. ∵AD2＝AO2＋DO2，∴AO⊥DO，AO⊥EF. ∵BF⊥AO，BF⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，BF∩EF＝F， ∴AO⊥平面BEF. ∵AO⊂平面ADO， ∴平面ADO⊥平面BEF.【题后反思】利用向量法确定二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

(3)将二面角转化为线面角求解.如图6-7-12所示，要求二面角P-AB-C，可作PH⊥AB，垂足为H，则二面角P-AB-C的大小即为PH与平面ABC所成角θ的大小，可用体积法求P到平面ABC的距离h，则sinθ＝图6-7-12【考法全练】

1.(考向1)在正三棱柱ABC-A1B1C1

中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点，则异面直线BP与AC1

所成角的余弦值为________.解析：如图D57，在正三棱柱ABC-A1B1C1

中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，图D57则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，

2.(考向2)已知三棱柱ABC-A1B1C1

的侧棱与底面边长都相等，A1

在底面ABC上的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为__________.

解析：由题知△ABC为正三角形，A1在底面ABC上的射影为点E，D为BC中点，AE＝y轴、z轴的正方向，建立如图D58所示的空间直角坐标系.图D58

3.(考向3)(2023年全国Ⅱ卷)如图6-7-13，在三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC中点.(1)证明BC⊥DA；图6-7-13(1)证明：连接

AE，DE，如图D59.图D59∵DB＝DC，E为BC中点，∴DE⊥BC.又DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，∴△ACD与△ABD均为等边三角形.∴AC＝AB，AE⊥BC.∵DE⊂平面ADE，AE⊂平面ADE，AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE.∵AD⊂平面ADE，∴BC⊥DA.(2)解：设

DA＝DB＝DC＝2. ∵AE2＋DE2＝DA2，∴AE⊥DE.

以E为原点，ED，EB，EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图D59所示空间直角坐标系.考点二求空间距离[例4]如图6­7­14，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1

的中点.(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1

到平面ABN的距离.图6-7-14解：建立如图6-7-15所示的空间直角坐标系，图6-7-15则A(0，0，0)，B(2

，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4)，∵N是CC1

的中点，∴N(0，4，2).【题后反思】求点到平面的距离的常用方法

(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，用解三角形方法求出的PQ的长度就是点P到平面α的距离.(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则可转化为求直线l上某一个点到平面α的距离.

(3)等体积法：把点到面的距离转化为某个三棱锥的高，先利用其他方法求出该三棱锥的体积与底面积，进而求得三棱锥的高. (4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是平面α内任意一点，则点P到平面α的距离为d＝【变式训练】

1.如图6-7-16，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为________.图6-7-16

解析：如图D60，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，图D60

2.(2023年天津卷)如图6-7-17，在三棱台ABC-A1B1C1

中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1

＝2，A1C1

＝1，M，N分别为BC，AB的中点.(1)求证：A1N∥平面C1MA；(2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值；(3)求点C到平面C1MA的距离.图6-7-17(1)证明：如图

D61，连接MN，可得MN为△ABC的中位线.

又A1C1＝1，AC∥A1C1，∴MN∥A1C1，MN＝A1C1.∴四边形MNA1C1为平行四边形.图D61∴A1N∥C1M.而A1N

平面C1MA，C1