2025届高三数学一轮总复习 第八章 第一讲 随机抽样配套课件

第一讲随机抽样2025年高考一轮总复习第八章

统计与统计分析1.简单随机抽样(除非特殊声明，通常指不放回简单随机抽样)(1)不放回简单随机抽样的抽取方式：通常为逐个不放回抽取；(2)每个个体被抽到的概率相等；(3)常用方法：抽签法和随机数法.2.样本从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量.3.分层随机抽样

(1)一般地，按一个或多个变量把总体划分为若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样.

(2)每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.【名师点睛】(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的.(2)在比例分配的分层随机抽样中，每层抽取的个体的比例是相同的，即(3)当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机抽样.

考点一简单随机抽样

1.为了了解某中学高二年级参加数学测试的1000名学生的数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生的数学成绩是()A.总体C.样本

B.个体D.样本量

解析：在这个问题中，1000名学生的数学成绩是总体，被抽取的200名学生的数学成绩是样本，每个学生的数学成绩是个体，样本量为200.故选C.答案：C

2.(2023年梧州市期中)某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第1行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是()86362616676227073661601114575124A.3606474373637162339577742453323732 B.16

9647 8045 4281 3607C.11

4698 1410 2042 5179D.14

解析：利用题中的随机数表，从第1行第3列开始，由左至右依次读取，即从47开始读取，在编号范围内的提取出来，则5个编号依次为36，33，26，16，11，所以选出来的第5个零件编号是11.故选C.答案：C3.(多选题)下列抽样方法不是简单随机抽样的是()

A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本 B.某饮料公司从仓库中的1000箱饮料中逐个不放回地抽取20箱进行质量检查 C.某连队从120名战士中，挑选出50名优秀的战士去参加抢险救灾活动 D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号)

解析：对于A，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故A中的抽样方法不是简单随机抽样；B中的抽样方法是简单随机抽样；对于C，挑选的50名战士是优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C中的抽样方法不是简单随机抽样；对于D，易知D中的抽样方法是简单随机抽样.故选AC.答案：AC【题后反思】应用简单随机抽样应注意的问题(1)简单随机抽样需满足：①被抽取样本的总体的个体数有限；②等可能抽取.

(2)简单随机抽样常用的方法有抽签法(适用于总体中个体数不多的情况)、随机数法(适用于总体中个体数较多的情况)等.

考点二分层随机抽样及其应用 考向1求某层入样的个体数

[例1](2023年顺义区校级期中)某中学高一年级有200名学生，高二年级有340名学生，高三年级有260名学生，为了了解该校高中学生完成作业的情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为()A.10B.13C.17D.26

解析：因为某中学高一年级有200名学生，高二年级有340名学生，高三年级有260名学生，则总体容量为800，则抽样比例为

40800＝

120，则高二年级抽取的人数为340×

120＝17，故选C.答案：C

考向2求总体或样本容量

[例2]某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图8-1-1所示，现在用分层随机抽样的方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________.测试结果为从第一、二、三分厂抽取出的产品的平均使用寿命分别为1020h，980h，1030h，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________h.图8-1-1解析：由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件).

由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命约为1020×50%＋980×20%＋1030×30%＝1015(h).答案：501015

【题后反思】(1)分层随机抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，各层之间的样本差异要大，且互不重叠.

【考法全练】

1.(考向1)(2023年东莞市校级期中)一个田径队有男运动员56人，女运动员42人.比赛后立即用分层抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为7的样本进行尿样兴奋剂检查，其中应抽男运动员的人数为()A.4B.3C.2D.1解析：从全体队员中抽出一个容量为7的样本进行尿样兴奋答案：A

2.(考向2)我国古代数学名著《九章算术》中有一抽样问题：今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？其大意为：今某地北面有若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人(用分层随机抽样的方法)，则北面共有多少人？所以算得的人数为()A.8000B.8100C.8200D.8300解析：设北面人数为x，根据题意知解得x＝8100，所以北面共有8100人.故选B.答案：B⊙分层随机抽样的创新应用

[例3](2021年湖南省调研)某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年的销售额都在区间[2，22](单位：百万元)内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2，6)，[6，10)，[10，14)，[14，18)，[18，22]，并绘制出频率分布直方图(如图8-1-2).图8-1-2(1)求a的值，并计算完成年度销售任务的人数；(2)用分层随机抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；

(3)现从(2)中样本内完成年度销售任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.解：(1)由题意得(0.02＋0.08＋0.09＋2a)×4＝1，解得a＝0.03，∴完成年度销售任务的人数为2×0.03×4×200＝48.(2)由题意得第1组应抽取的人数为0.02×4×25＝2，第2组应抽取的人数为0.08×4×25＝8，第3组应抽取的人数为0.09×4×25＝9，第4组应抽取的人数为0.03×4×25＝3，第5组应抽取的人数为0.03×4×25＝3.获得此奖励的2名销售员在同一组共有6种可能，故所求概(3)(2)中样本内完成年度销售任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为A1，A2，A3；第5组有3人，记这3人分别为B1，B2，B3.从这6人中随机选取2人，共有15种可能，为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，【反思感悟】解决分层随机抽样与样本数据分析问题的注意点：(1)弄清分层随机抽样问题中每层的数据.(2)求解概率时注意概率类型的判断.【高分训练】

1.(2021年重庆市模拟)某社区为了了解该社区退休老人每天的平均户外活动时间，从该社区退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外活动时间(单位：h)，活动时间按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图8-1-3所示.图8-1-3(1)求图中a的值；(2)估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数；

(3)在[1，1.5)，[1.5，2)这两组中采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一个组的概率.解：(1)根据题意得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.50＋a＋0.14＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.(2)设中位数为mh.

因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47<0.5，所以2<m<2.5.所以0.50×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.故可估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数为2.06h.人恰好在同一个组的概率P=

(3)由题意得平均户外活动时间在[1，1.5)，[1.5，2)内的人数分别为15，20，则按分层随机抽样的方法在[1，1.5)，[1.5，2)内分别抽取3人、4人，再从7人中随机抽取2人，共有21种抽取方法，抽取的两人恰好都在同一个组有9种抽取方法，故抽取的2

2.某公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩(单位：分)